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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题4.5&4.6 三角形的中位线以及反证法大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．直角三角形两直角边的长分别为，连接这两条直角边中点的线段长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
4．如图，△ABC中，，，是的角平分线，是上的中线，过点作于，交于，连结，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，△ABC中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．1.5
7．如图，点，分别是△ABC的边，的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，，经测量得，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，、是角平分线，于点M，于点N．△ABC的周长为30，．则的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
9．在△ABC中，点，分别是，的中点，如图1，2的两种做辅助线的作法：
作法一： 延长到点， 使， 连接，，． 作法二： 过点作， 过点作， 与交于点．
其中能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A．作法一和作法二都可以 B．作法一和作法二都不可以
C．作法一可以，作法二不可以 D．作法一不可以，作法二可以
10．如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点E，且，连．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在△ABC中，是中位线，，那么 ；
12．如图，在△ABC中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上一点，连接，若，则的长为 ．
13．如图，的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．，的周长是，则的长为 ．
14．如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为
15．如图，在△ABC中，，是的中点，则与的周长之差为 ．
16．如图，在△ABC中，，，，，点为斜边的中点，点在边上，连结，若线段的垂直平分线恰好经过边的中点，则线段 ．
17．如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为 ．
18．如图，△ABC的周长为，连接△ABC三边中点构成第一个，再连接的各边中点构成第二个，依此类推，则第个三角形的周长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图， 在中， ， 为中线， 延长至点， 使， 连结， 点为的中点， 连结． 若 ， 求的长:
20．如图，在平行四边形中，，与相交于点O，点E、F、G分别是的中点．
(1)探究与的位置关系，并证明你的结论；
(2)探究与的数量关系，并证明你的结论．
21．如图，在中，E为边上一点，、分别平分、．
(1)求证：E为的中点；
(2)如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由．
22．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．
(1)如果，那么___________；如果，那么___________．
(2)中线与中位线的关系是_____________________．
23．如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点．
(1)若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由；
(2)连，取中点，连接，若，，求的长．
24．如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点．
(1)求证：，；
(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．
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专题4.5&4.6 三角形的中位线以及反证法大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果．
【详解】解：∵点，，分别为，的中点，
∴为△ABC的中位线，
∴；
故选：C．
2．如图，在△ABC中，，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中位线，熟练掌握中位线的定义和性质是解题的关键．由，分别是，的中点，可知是△ABC的中位线，利用中位线性质即可得．
【详解】解：∵，分别是，的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴，
故选：A．
3．直角三角形两直角边的长分别为，连接这两条直角边中点的线段长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，中位线的判定与性质，先由勾股定理算出斜边的长度，再根据连接这两条直角边中点形成的线段是这个直角三角形的中位线，故列式计算，即，进行作答．
【详解】解：∵直角三角形两直角边的长分别为，
∴斜边为，
依题意，连接这两条直角边中点形成的线段是这个直角三角形的中位线，
∴连接这两条直角边中点的线段长是，
故选：C
4．如图，△ABC中，，，是的角平分线，是上的中线，过点作于，交于，连结，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，
先根据角平分线的定义得，再根据，可得，进而得，然后根据求出，最后根据三角形中位线的性质得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，点F是的中点．
∵，
∴，
∵点F是的中点，是上的中线，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
5．如图，对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
利用平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，再根据三角形中位线定理得，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
是的中点，，
是的中位线，
．
故选：C．
6．如图，△ABC中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．1.5
【答案】C
【分析】本题考查了中位线的判定与性质，三角形外角性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是△ABC的中位线，以及得，可得，因为平分，故，进而可得，故，即可作答．
【详解】解：∵，分别是，的中点，，，
∴是△ABC的中位线，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
则，
故选：C
7．如图，点，分别是△ABC的边，的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，，经测量得，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟悉掌握尺规作图和相关性质定理．
根据题干描述得知为线段的垂直平分线，即是斜边上的中线，，是△ABC的中位线，．
【详解】解：根据题意可知：
为线段的垂直平分线，点是线段的中点，
，
是直角三角形，
∴是斜边上的中线，
，
∵点，分别是的边，的中点，
∴是的中位线，
．
故答案为：．
8．如图，在△ABC中，、是角平分线，于点M，于点N．△ABC的周长为30，．则的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，三角形中位线的有关求解等知识．延长、分别交于点F、G，根据为的角平分线，得出，故为等腰三角形，所以也为等腰三角形的中线，即．同理，根据三角形中位线定理即可得出结论．
【详解】解：∵的周长为30，．
∴．
延长、分别交于点F、G．如图所示：
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理，，，
∴为的中位线，，
∴．
故选：D．
9．在△ABC中，点，分别是，的中点，如图1，2的两种做辅助线的作法：
作法一： 延长到点， 使， 连接，，． 作法二： 过点作， 过点作， 与交于点．
其中能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A．作法一和作法二都可以 B．作法一和作法二都不可以
C．作法一可以，作法二不可以 D．作法一不可以，作法二可以
【答案】A
【分析】本题考查中位线判定定理，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质等．先证明作法一的合理性，先得到四边形是平行四边形，后得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案；再证明作法二，先证明，后得到四边形是平行四边形，再得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案．
【详解】解：作法一：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，；
作法二：，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
作法一和作法二都可以，
故选：A．
10．如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点E，且，连．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质；由平行四边形的性质及平分，可得是等边三角形，则，
则可判定①；由三角形外角性质得，从而得，由平行四边形的面积可判定②；由E是的中点可判定③；由三角形中位线及可判定④，最后可确定答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，；
∵平分，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，即点E是的中点，
∴，
故①正确；
∴，
∴，
∴，
平行四边形的面积，
故②正确；
∵E是的中点，
∴是△ABC的中线，
∴，
即，
故③正确；
由平行四边形的性质知，O是的中点，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
故④正确；
综上，四个全部正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在△ABC中，是中位线，，那么 ；
【答案】10
【分析】本题考查了中位线的性质，根据三角形的中位线平行且等于第三边的一半，进行作答即可．
【详解】解：∵在△ABC中，是中位线，
∴，
故答案为：10．
12．如图，在△ABC中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上一点，连接，若，则的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，再利用解题即可．
【详解】解：∵
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵点D、E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：1．
13．如图，的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．，的周长是，则的长为 ．
【答案】3
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
∵点分别是线段的中点，
∴，
故答案为：3．
14．如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为
【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理．利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵点E、G分别是、的中点，
∴，
故答案为：5．
15．如图，在△ABC中，，是的中点，则与的周长之差为 ．
【答案】
【分析】本题考查线段中点定义、三角形周长等知识，根据是的中点，得到，再由三角形周长表示出与的周长，作差即可得到答案，数形结合，准确表示出三角形周长是解决问题的关键．
【详解】解：是的中点，
，
在△ABC中，，
，，
，
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，，，，，点为斜边的中点，点在边上，连结，若线段的垂直平分线恰好经过边的中点，则线段 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和垂直平分线的性质，分两种情况讨论：当点位于点左侧时和当点位于点右侧时．
【详解】解：设线段的垂直平分线为．
∵，分别为，的中点，
∴，．
∵为的垂直平分线，
∴．
当点位于点左侧时，．
当点位于点右侧时，．
综上所述，．
故答案为：．
17．如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键．
如图，连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点C作于点H，
∵点D、E分别是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
18．如图，△ABC的周长为，连接△ABC三边中点构成第一个，再连接的各边中点构成第二个，依此类推，则第个三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第个三角形的周长与第一个三角形的周长的关系．根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解即可．
【详解】解：∵△ABC的周长为16，连接△ABC三边中点构成第一个，
∴，，，
∴第1个三角形周长为，
同理：第2个三角形的周长为；
以此类推，第个三角形的周长为；
所以第个三角形的周长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图， 在中， ， 为中线， 延长至点， 使， 连结， 点为的中点， 连结． 若 ， 求的长:
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度，结合题意知线段是的中位线，则．
【详解】解：在中，，，
∵为中线，
∴．
∵为中点，，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
20．如图，在平行四边形中，，与相交于点O，点E、F、G分别是的中点．
(1)探究与的位置关系，并证明你的结论；
(2)探究与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)，证明见解析；(2)，证明见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，，，再得到，再根据等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明： ，证明如下：
∵四边形是平行四边形，与相交于点O，
∴，，，
∵，
∴，
∵在中，，点E是的中点，
∴；
（2）证明：，证明如下：
∵，点G是的中点，
∴，
∵在中，点E、F分别是、的中点，
∴，
∵，
∴．
21．如图，在中，E为边上一点，、分别平分、．
(1)求证：E为的中点；
(2)如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析．
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定， 三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）如图，由得到，， 即，又由角平分线得到，从而，即可得到．同理得，即可得证；
（2）取的中点H，联结．根据中位线的性质得到，，从而推出，即可证明，得到，进而推出．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
，，
．
平分，
，
，
．
同理得．
，
，即E为的中点．
（2）解：．
取的中点H，联结．
、H分别是、的中点，
是的中位线，
∴，．
是CD中点，
，
，
．
∵，，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴．
22．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．
(1)如果，那么___________；如果，那么___________．
(2)中线与中位线的关系是_____________________．
【答案】(1)8；5(2)互相平分
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质；
（1）由D、E、F分别是△ABC各边的中点，结合三角形的中位线的性质可得答案；
（2）由三角形的中位线的性质证明四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质可得结论.
【详解】（1）解：∵在△ABC中，点E、F分别是、的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴且．
又，
∴，
∵，
同理，；
（2）解：互相平分，理由：如图，
∵D、E、F分别是△ABC各边的中点．
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴中线与中位线的关系是互相平分．
23．如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点．
(1)若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由；
(2)连，取中点，连接，若，，求的长．
【答案】(1)且．理由见解析(2)
【分析】本题考查了三角形中位线的性质、平行线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
（1）根据中位线的性质得出，，，，根据得出，根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余的性质得出即可得答案；
（2）连接、，根据中位线的性质得出，根据平行线的性质，结合得出，根据中位线的性质求出，，利用勾股定理即可得答案．
【详解】（1）解：（1）且．理由如下：
∵、、分别是、、的中点，
∴，，，，
∵，
∴．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴且．
（2）解：如图所示：连接、，
∵、分别是和的中点，
∴，，
由（1）可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵、、分别是、、的中点，
∴，，
∴．
24．如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点．
(1)求证：，；
(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．
【答案】(1)见详解(2)是等腰直角三角形，理由见详解(3)
【分析】（1）利用三角形中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，，得出、，最后用互余即可得出结论．
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论．
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【详解】（1）∵点P，N分别为，的中点，
∴，，
∵点M，P分别为，的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知，，
∵，，
∴，
∴，，
利用三角形的中位线得，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得，
∴，
同（1）的方法得，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：由（2）知是等腰直角三角形，，
∴当最大时，最大，的面积最大，
∴如图所示，当点D在的延长线上时，最大，
此时可有，
∴，
∴．
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