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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破六：平行四边形中最值问题（20道）
1．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，锐角△ABC中，分别是边上的点，，，，的平分线交边于点，，，分别是线段上的动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在△ABC中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，．、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
6．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图， 四边形 中，，，，点 M，N 分别为线段， 上的动点（含端点， 但点 M不与点B 重合）， 点 E， F 分别为， 的中点，则长度的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．2
7．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，∠B=90°，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在△ABC中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
10．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，于点，，点是直线上一动点，连结．若点是的中点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在等边三角形中，，P为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
13．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在△ABC中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．1 C． D．
15．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，，点，分别是，上的动点，连接，．点，分别是，的中点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
16．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，在△ABC中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是 ．
17．（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为 ．
18．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是 ．
19．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ．
20．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ．
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破六：平行四边形中最值问题（20道）
1．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取的中点，连接、、，作于，首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点，连接、、，作于，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
点在上，
的最大值为的长，最小值为的长，
的最大值为，最小值为，
的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值的差为：．
故选：．
2．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，锐角△ABC中，分别是边上的点，，，，的平分线交边于点，，，分别是线段上的动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，可证，根据全等三角形的性质可得：，再根据两点之间线段最短和垂线段最短得到当点、、三点共线且时，的值最小，根据四边形内角和定理可求，时，的值最小，利用勾股定理求出最小值即可．
【详解】解：如下图所示，连接，
，平分，
，
，
在和中，，
，
，
根据两点之间线段最短，可得：当点、、三点共线时，的值最小，
根据垂线段最短，可得：当时，的值最小，
，，
在四边形中，，
，
，
在中，，
当时，，
，
．
故选：C．
3．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．
在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
在中，，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，有最小值，
此时：，
故选：A．
4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在△ABC中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可．
【详解】解：如图，过点B作于H，连接；
∵F，M分别是的中点，
∴，
当取最小值时，的值最小，
由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，．、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接，过点作于，由勾股定理得，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
6．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图， 四边形 中，，，，点 M，N 分别为线段， 上的动点（含端点， 但点 M不与点B 重合）， 点 E， F 分别为， 的中点，则长度的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查三角形中位线定理、勾股定理，连接，根据三角形中位线定理可得，再根据当点N与点B重合时，的值最大，即的值最大，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵点 E， F 分别为， 的中点，
∴是的中位线，
∴，
当点N与点B重合时，的值最大，即的值最大，
∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
7．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】本题主要考查了正多边形性质及轴对称﹣最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．由正六边形的对称性质可知，点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可．
【详解】解：六边形为正六边形，
点B关于直线的对称点为点F，
如图，连接交于点P，连，
，
由“两点之间线段最短”知，此时最小，
六边形为正六边形，
和都为等边三角形，
，，
，
∴的最小值是10，
故选：A．
8．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，∠B=90°，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短问题，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，先根据勾股定理求出，由题意可知，是的中位线，得到，当最小时，的值最小，当时，最小，利用等面积法求出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
当最小时，的值最小，
当时，最小，
此时，，
即，
，
，
故选：C．
9．（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在△ABC中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出的值是解题的关键．过点B作于H，当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可．
【详解】过点B作于H，
∵F，M分别是的中点，
∴，
当取最小值时，的值最小，
由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，于点，，点是直线上一动点，连结．若点是的中点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先延长到F点，使，连接，作于H，使得线段成为的中线，借助含角的直角三角形三边关系，依次求出等线段的长度，计算求得的长度，由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，当点P在H点的位置时， 的值最小，最后借助三角形中位线定理求的最小值．
【详解】解：延长到F点，使，连接，作于H，如图，
在中，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
同理得：，
∵，，
∴为的中位线，
∴，当点P在H点的位置时， 的值最小，
∴的最小值为．
故选：B．
11．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，．先证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，，再证明为等腰直角三角形，有勾股定理得出，由三角形中位线判定和性质可得出，最后利用三角形三边关系即可得出答案．
【详解】解：过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，．
∵，
∴，
∴，
∵
∴
即，
在和中，
∴，
∴，，，
∵，是中点，，
∴，
又∵，S是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵是中点，S是的中点，
∴，
在中，
，
∴的最大值为．
故选：A．
12．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在等边三角形中，，P为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，故一定经过的中点O，当对角线最小值时，即与重合，且，结合等边三角形的性质，结合勾股定理列式即可作答．
【详解】解：如图：过
∵以为边作平行四边形，
∴一定经过的中点O，
当对角线最小值时，即与重合，，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∴，
则中，
∵，
∴，
故选：D．
13．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在△ABC中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】记、相交于点，过点做于点，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，当时最短，即与重合，然后根据等腰三角形和含角的直角三角形的性质即可求出的最小值．
【详解】解：记、相交于点，过点做于点，
四边形是平行四边形，
，，
要最短就是最短，当时最短，
即与重合，
，，
是等腰三角形，
，
，
根据直角三角形中角对应的边等于斜边的一半，
，
最小值，
故选：C．
14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可．
【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值的差为．
故选：C．
15．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，，点，分别是，上的动点，连接，．点，分别是，的中点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，过点A作于点N，证是等腰直角三角形，得，再由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作于点N，
四边形是平行四边形，，
，
，
是等腰直角三角形，
设，
即，
，
E、F分别为的中点，
是的中位线，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点G与点N重合时，的最小值为，
的最小值为．
故选：D．
16．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，在△ABC中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形．连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵F、G分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
当最小时，最小，
当时，最小，
在中，，，，
则，
当时，
，
∴，
解得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
17．（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了几何最值问题，涉及直角三角形的性质、坐标系的应用，以及求最短路径，正确做出辅助线是解题的关键．建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形，作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I，求出点G的坐标，从而求出，证明，从而得到从而的解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形，
作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I，
∵在中，，，，
∴，
∵点C关于的对称点D，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵的中点为点G，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，当且仅当点C、F、G三点共线时取最小值，
故答案为：．
18．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】作点关于线段的对称点，连接、，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而可得，当点与点重合时，则的最小值即为的长，由勾股定理以及含的直角三角形的性质求出的长度，进而可得的长度，即可得解．
【详解】解：作点关于线段的对称点，连接、，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图所示：
由轴对称的性质可知：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
当点与点重合时，则的最小值即为的长，
，
，
，
，，
，
，
，
，即的最小值为，
故答案为：．
19．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，根据题意添加合适的辅助线是解题关键．
过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质得，通过“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得，即当点、点、点三点共线，且时，有最小值，结合、即可求解的值．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
当点、点、点三点共线，且时，有最小值，即，
，，
．
故答案为：．
20．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键．
连接，由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案．
【详解】解：连接，如图：
平行四边形的坐标分别为、、、，
，，
若点关于的对称点为，
，
在中，由三角形三边关系可知：，
，即的最小值为，最大值为．
故答案为：，．
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