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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破七：平行四边形综合之探究问题（解答题压轴）（20道）
1．（24-25八年级下·浙江·期中）根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角尺
活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中为直角，，，把两直角顶点重合（点与点重合于点），旋转三角尺进行探究活动．
素材1 小明同学的探究结果如图2所示，三点在一条直线上．
素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材3 李老师提出问题，如图4，在上述操作过程中（），与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______．
任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据，并计算的面积．
任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由．
2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】
（1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长．
【解决问题】
（2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长．
（3）如图，在等腰与等腰中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________．
3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线．
(1)请利用图1完成例的证明．
(2)如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由．
4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）【三角形中位线定理】：如图1，是△ABC的中位线，则，
【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程．
【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长．
5．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）【类比学习】在八年级上学期，我们学习了全等三角形后，发现有些试题通过构造全等三角形，再利用全等三角形的性质就可以解决这类几何问题．本学期我们学习平行四边形，现在我们一起研究，通过构造平行四边形解决某类几何问题．
例：如图1，在中，，，，，求的值．
通过同学们的思考与交流，归纳以下四种构造平行四边形方法：
思路一：如图2，过点作，可以构造平行四边形，得，，，由勾股定理得，即；
思路二：如图3，过点作；
思路三：如图4，过点作；
思路四：如图5，过点作．
【迁移应用】利用在上述案例中学到的知识与方法，解决以下问题：
(1)如图6，、相交于点，，，，，垂足为；求的值；
(2)在中，，、分别为线段上一点，，，交于点．
①根据题意在图7上补全图形；
②直接写出的度数；
③猜想与的数量关系，并证明你的结论．
6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【提出问题】
（1）在数学活动课上，老师在黑板上写出了如下问题：如图1，线段，将线段向右下方的某个方向平移得到线段（点A的对应点是点C，点B的对应点是点D），连接．点E是的中点，连接．现让同学根据已知背景补充条件，并对相关线段关系或角的关系进行思考探究，然后给出计算或证明过程．
【问题思考】
①“希望小组”给出的补充条件为：延长交延长线于点F，可得出．
下面是“希望小组”给出的证明过程：
证明：由平移的性质可知：，，
∴，，
又∵点E是AC的中点，
∴，
∴，
∴．
②“兴趣小组”给出的补充条件为：将绕点E按逆时针方向旋转得到，当点F落到射线上时停止（如图2），最终得出．
请完成“兴趣小组”的证明过程；
③“智慧小组”受到“兴趣小组”的启发，在“兴趣小组”补充的条件基础上，补充：若，当是等边三角形时，可求出的长．
请根据“智慧小组”补充的条件直接写出的长为______
【问题拓展】
（2）如图3，若，，D是平面内一点，将线段沿方向平移的长度得到线段，连接，点F是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，直接写出线段长的取值范围：______．
7．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）【模型建构】
如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为．小明在学移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到．
【模型应用】
（1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题：
如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：．
方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明；
方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明．
请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程．
（2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题：
如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数．
（3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，， ，请直接写出的长．
8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【基础探究】
（1）如图1，△ABC中，，，点在边上，点在边上，且，，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，，请直接写出线段与的数量关系；
【变式探究】
（2）如图2，△ABC中，，，△ADE中，，，，点在△ABC内部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）如图3，△ABC中，，，△ADE中，，，，点在外部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，
①求证：；
②猜想线段与的数量关系，并说明理由．
9．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长．
小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图2，在△ABC中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：．
【学以致用】
（3）如图3，在△ABC中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：．
10．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究：
(1)操作猜想
如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________．
(2)探究证明
在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由．
(3)拓展延伸
如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）．
11．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题背景】
小明遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．通过尝试，他发现通过平移可以解决这个问题：
证明：过点C作，且使，连接．
∴四边形为平行四边形，
∴ ，
∵，
∴ ，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，即．
（1）请完成证明中的两个填空、处的内容；
参考小明同学思考的方法，继续解决问题：
（2）【类比运用】如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长；
（3）【联系拓展】如图3，△ABC的三条中线分别为，，．若△ABC的面积为10，则以，，的长为三边长的三角形的面积等于多少？ （请直接写出答案）．
12．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，△ABC与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转．
【特例感知】
(1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ；
【类比迁移】
(2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由；
【方法运用】
(3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值．
13．（24-25八年级上·河南许昌·期中）【问题背景】
在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系．
【初步探索】
（1）小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______．
【探索延伸】
（2）在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离．
14．（24-25八年级上·河南漯河·期中）（1）问题背景：
如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
（2）灵活运用：
如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）探索延伸：
如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系．
15．（24-25九年级上·湖北·期末）【提出问题】
如图1，在中，于点E，于点F．求证：；
【问题探究】
如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：；
【拓展延伸】
如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ．
16．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图1，在△ABC中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结．
【初步尝试】
（1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______．
【结论探究】
（2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明．
如图，延长至G，使，连结．
【拓展应用】
（3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长．
17．（2025七年级下·全国·专题练习）【探究】
（1）如图1，，和的平分线交于点，则________．
（2）如图2，，且和的平分线交于点，则________（用含的代数式表示）．
（3）如图3，，当和的平分线平行时，之间应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件“”改为“”，再分别作和的平分线，若它们所在的直线交于点，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
18．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）问题探究：
一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
（1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段．
分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明．
如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状），
∴；∵，，
∴是______（填的形状），∴．
当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）；
当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴．
问题解决：
（2）如图2，在△ABC中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，．
①求证：；
②求的值；
拓展应用：
（3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）．
19．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）
问题提出：
(1)如图1，在△ABC中，，点、分别是，的中点，则的长为___；
问题探究：
(2)如图2，在△ABC中，，点在上，，点在上，，连接，、分别为、的中点，求的长度？
问题解决：
(3)西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪内对角线右侧修建一个三角形池塘，如图，，，，为草坪入口，为草坪出口，在人行道的中点处有一个凉亭，在池塘处是一个观景台，游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？
20．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】
（1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长．
【类比拓展】
（2）如图2，△ABC中，平分，于，．求证：；
【学以致用】
（3）如图3，在△ABC，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长．
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破七：平行四边形综合之探究问题（解答题压轴）（20道）
1．（24-25八年级下·浙江·期中）根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角尺
活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中为直角，，，把两直角顶点重合（点与点重合于点），旋转三角尺进行探究活动．
素材1 小明同学的探究结果如图2所示，三点在一条直线上．
素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材3 李老师提出问题，如图4，在上述操作过程中（），与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______．
任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据，并计算的面积．
任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由．
【答案】（）；（）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，；（）与的面积比是定值，理由见解析．
【分析】（）在中，利用直角三角形的性质求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得即可，由求解；
（）根据平行四边形的判定定理解答即可，过点作于点， 交于点，利用，求得，利用， 求得，从而求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可；
（）作于，交延长线于，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出 ，从而得出结论．
【详解】解：（）在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵（已知）， （已知），
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
过点作于点， 交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）与的面积比是定值，理由：
作于，交延长线于，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与的面积比是定值．
2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】
（1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长．
【解决问题】
（2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长．
（3）如图，在等腰与等腰中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________．
【答案】（）四边形的周长为；（）；（）．
【分析】（）根据中位线定理即可求解；
（）连接，取中点，连接，过作，交延长线于点，由等边三角形的性质可得，，，再根据中位线定理可得，，，，然后求出，则，根据所对直角边是斜边的一半得到，最后由勾股定理即可求解；
（）连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点，由中位线定理可得，，，，则四边形是平行四边形，故有，再证明，得，，则有是等腰三角形，在根据三角形内角和定理，通过勾股定理得出，，然后过作于点，则，根据直角三角形的性质和面积公式即可求解．
【详解】解：（）∵点，，，，分别是边，，，的中点，
∴，，
∴四边形的周长为；
（）如图，连接，取中点，连接，过作，交延长线于点，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴；
（）如图，连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点，
∵点，，分别是，，的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，是等腰三角形，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，则，
∵，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线．
(1)请利用图1完成例的证明．
(2)如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)线段是四边形的等积线
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线间的距离；
（1）过作于，过作于，由得到，，根据夹在两条平行线间的垂线段相等得到，再根据等底（同底）等高的两个三角形面积相等证明即可．
（2）连接，，过作于，过作于，由得到，再根据线段是四边形的等积线，得到，即可推出，表示出面积即可得到；
（3）连接，，由和得到四边形是平行四边形，推出，得到，即可得到，线段是四边形的等积线．
【详解】（1）解：过作于，过作于，
∵，
∴，，
∵夹在两条平行线间的垂线段相等，
∴，
∵，，
∴，即是的等积线．
（2）解，连接，，过作于，过作于，
∵，
∴，
∵线段是四边形的等积线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）连接，，
由（2）可得，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵线段是四边形的等积线，
∴，
∴，
∴线段是四边形的等积线．
4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）【三角形中位线定理】：如图1，是△ABC的中位线，则，
【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程．
【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长．
【答案】活动一：见解析活动二：详见解析活动三：
【分析】活动一：证明，得出，，结合题意得出，再证明四边形为平行四边形，即可得解；
活动二：由中位线定理可得，，，，
结合，得出，即可得证；
活动三：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，由题意可得，，，证明，得出，，证明是中垂线，得出，求出的长即可得解．
【详解】活动一 ：解：∵是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，；
活动二：解：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
，
，
活动三：解：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，
∵是的中点，，
∴，，，
∴，
∴，，
，
∴是中垂线，
，
，
∴，，
∵，，
∴，，
，
∴，．
5．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）【类比学习】在八年级上学期，我们学习了全等三角形后，发现有些试题通过构造全等三角形，再利用全等三角形的性质就可以解决这类几何问题．本学期我们学习平行四边形，现在我们一起研究，通过构造平行四边形解决某类几何问题．
例：如图1，在中，，，，，求的值．
通过同学们的思考与交流，归纳以下四种构造平行四边形方法：
思路一：如图2，过点作，可以构造平行四边形，得，，，由勾股定理得，即；
思路二：如图3，过点作；
思路三：如图4，过点作；
思路四：如图5，过点作．
【迁移应用】利用在上述案例中学到的知识与方法，解决以下问题：
(1)如图6，、相交于点，，，，，垂足为；求的值；
(2)在中，，、分别为线段上一点，，，交于点．
①根据题意在图7上补全图形；
②直接写出的度数；
③猜想与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)；(2)①见解析；②；③，见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，可得，再利用勾股定理即可解答；
（2）①按照题意补全图形即可；
②过点作，且，连接、，证明，得到为等腰直角三角形，即可得到，再证明四边形为平行四边形即可解答；
③根据②的解题过程即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作，交的延长线于点，
，，
四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
；
（2）解：①根据题意补全图形，如图2；
②如图，过点作，且，连接、，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
四边形为平行四边形，
，
；
③是等腰直角三角形，
，
．
6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【提出问题】
（1）在数学活动课上，老师在黑板上写出了如下问题：如图1，线段，将线段向右下方的某个方向平移得到线段（点A的对应点是点C，点B的对应点是点D），连接．点E是的中点，连接．现让同学根据已知背景补充条件，并对相关线段关系或角的关系进行思考探究，然后给出计算或证明过程．
【问题思考】
①“希望小组”给出的补充条件为：延长交延长线于点F，可得出．
下面是“希望小组”给出的证明过程：
证明：由平移的性质可知：，，
∴，，
又∵点E是AC的中点，
∴，
∴，
∴．
②“兴趣小组”给出的补充条件为：将绕点E按逆时针方向旋转得到，当点F落到射线上时停止（如图2），最终得出．
请完成“兴趣小组”的证明过程；
③“智慧小组”受到“兴趣小组”的启发，在“兴趣小组”补充的条件基础上，补充：若，当是等边三角形时，可求出的长．
请根据“智慧小组”补充的条件直接写出的长为______
【问题拓展】
（2）如图3，若，，D是平面内一点，将线段沿方向平移的长度得到线段，连接，点F是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，直接写出线段长的取值范围：______．
【答案】（1）②见解析；③或；（2）
【分析】（1）②延长交延长线于点H，仿照①证明，得到，，结合旋转性质得，进而利用等角对等边可得结论；
③如图2，连接，利用等角对等边和三角形的内角和定理， ，，则，设，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理推导出，在中，由勾股定理列方程求得x值，结合已知可得结论；
（2）连接交于M，延长、交于点N，连接，取的中点K，连接，，利用折叠性质和三角形的中位线性质可得，则只需求得的取值范围即可；证明得到，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再利用勾股定理求得，结合三角形的三边关系求得的取值范围即可求解．
【详解】解：（1）②证明：如图2，延长交延长线于点H，
由平移的性质可知：，，
∴，，
又∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，，
由旋转性质得，
∴，
∴，
∴；
③如图2，连接，
由②知，，
∴，又，
∴，则，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，则，
设，，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，整理得，
解得，，
∴点F在线段上，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，整理得，
解得，，
∴或；
（2）连接交于M，延长、交于点N，连接，取的中点K，连接，，，
由折叠性质得，，则，
∴为的中位线，
∴，则只需求得的取值范围即可；
由平移性质得，，
∴，，又，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，又，
∴，
∴，当A、M、K共线时取等号，
∴，
∴．
7．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）【模型建构】
如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为．小明在学移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到．
【模型应用】
（1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题：
如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：．
方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明；
方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明．
请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程．
（2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题：
如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数．
（3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，， ，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到；方法一：如图1，过点作，且，连接，，证明四边形是平行四边形．得到，，再证明，，进而证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到即可．
方法二：如图2，过点作，且，四边形是平行四边形．由，证明，得到，，再证明是等边三角形得到即可．
（2）方法一：如答图3，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明得到即可得结论；
方法二：如答图4，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形得到，，再证明，得到，，进而求得即可；
（3）如答图5，过点作，且，连接，作于点，证明四边形是平行四边，得到，，进而，则，在中，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：（1）证明：，，
，
方法一：如图1，过点作，且，连接，
四边形是平行四边形．
，，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
．
方法二：如图2，过点作，且，连接，
四边形是平行四边形．
，，
，
，，
，
即，
，
，
，
，，
，，
，
是等边三角形，
．
（2）方法一：如图3，过点作，且，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
；
方法二：如图4，过点作，且，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图5，过点作，且．连接，作于点，
四边形是平行四边形．
，，
，
，
在中，
由勾股定理，得．
于点，
，
中，有．
8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【基础探究】
（1）如图1，△ABC中，，，点在边上，点在边上，且，，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，，请直接写出线段与的数量关系；
【变式探究】
（2）如图2，△ABC中，，，△ADE中，，，，点在△ABC内部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）如图3，△ABC中，，，△ADE中，，，，点在外部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，
①求证：；
②猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①见解析；②，理由见解析
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得，再根据得，证明是的中位线，是的中位线，则，，进而得，则是等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出线段与的数量关系；
（2）连接，，与的延长线交于点M，先证明和全等得，，进而得，则，再证明是的中位线，是的中位线，则 ，， ，进而得，，则是等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出线段与的数量关系；
（3）①先证明，进而可依据“”判定和全等，然后个根据全等三角形的性质可得出结论；
②连接，设与交于点N，先证和全等得，由此得，证明是的中位线，是的中位线，则，，进而得，则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出线段与的数量关系．
【详解】解：（1），理由如下：
连接，
∵在中，，
， ，
，
，
，
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，
，
，
，即，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：．
（2），理由如下：
连接，，与的延长线交于点M，
，
， ，
，
∴在和中，
，
，，
，
，
即，
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
是的中位线，是的中位线，
， ，，
，
，
，即，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：．
（3）①证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
②，理由如下：
连接，设与交于点N，
在中，，
，
，
，
$
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
是的中位线，是的中位，
， ，，
，
，，
是等边三角形，
9．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长．
小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图2，在△ABC中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：．
【学以致用】
（3）如图3，在△ABC中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长；
（2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证；
（3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证．
【详解】解：（1）连接，交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）如图，延长交的延长线于点G，
∵平分，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
取的中点F，连接，则有，且，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）如图，连接，取中点H，连接，
∵E，F分别为和中点，
∴和分别为和的中位线，
∴且，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究：
(1)操作猜想
如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________．
(2)探究证明
在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由．
(3)拓展延伸
如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）．
【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)
【分析】（1）由翻折的性质得出，，由平移的性质得出，，由平行线的性质得出，进而可得出，再证明，由全等三角形的性质得出．
（2）同（1）过程一致．
（3）先得出，平移平移到，则，证明点C，B，G三点共线，进而可得出，再得出，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质以及角度的和差关系即可得出答案．
【详解】（1）解：，
∵沿着翻折得到，
∴，，
将平移至位置，
∴，，
∴
∴，
在与中，
∴
∴．
（2）解：成立，理由如下：
∵沿着翻折得到，
∴，，
将平移至位置，
∴，，
∴
∴，
在与中，
∴
∴
即的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立．
（3）解：∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴．
如下图平移平移到，则，
∴，
∵点A，B，F三点共线，
∴点C，B，G三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
则，
则，且，
∴四边形为平行四边形，
设，
∴，
，
∴，
∴．
11．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题背景】
小明遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．通过尝试，他发现通过平移可以解决这个问题：
证明：过点C作，且使，连接．
∴四边形为平行四边形，
∴ ，
∵，
∴ ，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，即．
（1）请完成证明中的两个填空、处的内容；
参考小明同学思考的方法，继续解决问题：
（2）【类比运用】如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长；
（3）【联系拓展】如图3，△ABC的三条中线分别为，，．若△ABC的面积为10，则以，，的长为三边长的三角形的面积等于多少？ （请直接写出答案）．
【答案】（1），；（2）10；（3）
【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可；
（2）作，，两线交于F，连接，证是直角三角形，得，再证是等边三角形，得，根据四边形是平行四边形可得答案；
（3）连接，，过作交直线于点，连接，，交于点，由的三条中线分别为，，，得到和都是的中位线，再证明四边形、、是平行四边形，得到，，再根据三角形中线有关的面积规律求出以，，的长度为三边长的三角形的面积等于．
【详解】（1）证明：过点C作，且使，连接．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，即．
故答案为：，；
（2）解：过A作，过D作，两直线交于F，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：连接，，过作交直线于点，连接，，交于点，
∵的三条中线分别为，，，
∴和都是的中位线，
∴，，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴以，，的长度为三边长的三角形的面积等于．
12．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，△ABC与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转．
【特例感知】
(1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ；
【类比迁移】
(2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由；
【方法运用】
(3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值．
【答案】(1)等边三角形(2)等边三角形，见解析(3)或
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形；
（2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形；
（3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到．
【详解】（1）解：由题意可得，，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
、、三点共线
，，
是等边三角形
故答案为：等边三角形．
（2）解：是等边三角形，理由如下，
如下图，连接，交分别、于点、，
，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
，，
点在线段的延长线上
，即
，
是等腰三角形
又，
是等边三角形
（3）解：①如下图，连接、
同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形
有
设，则，
是直角三角形，
取的中点，连接
此时在边上
②如下图，连接、
同①，可证是直角三角形，，
此时在边上
综上所述，或．
13．（24-25八年级上·河南许昌·期中）【问题背景】
在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系．
【初步探索】
（1）小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______．
【探索延伸】
（2）在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）（2）成立，见解析（3）210海里
【分析】（1）延长到点G，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，解答即可．
（2）延长到点H，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，解答即可．
（3）根据题意，得，，且 ，满足了探索延伸的基本条件，得到结论，解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，方向角，四边形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，方向角是解题的关键．
【详解】（1）延长到点G，使，连接，
∵，，
∴；
∵,
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：结论成立．理由如下：
延长到点H，使，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：延长，，两线交于点C，连接，设与y轴交于点N，
根据题意，得，，，，，
根据题意，得，，且，满足了探索延伸的基本条件，故，
∵（海里），（海里），
∴（海里），
故此时两舰艇之间的距离为210海里．
14．（24-25八年级上·河南漯河·期中）（1）问题背景：
如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
（2）灵活运用：
如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）探索延伸：
如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）（2）仍然成立，理由见解析
（3）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用、四边形的内角和是，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意∶同角的补角相等．
（1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，先根据判，进而得出，，再根据判定，可得出 ；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）．理由如下：
理由∶如图1，延长到点G，使，连接．
，
．
，
．
在与中
．
，．
，，
．
，
．
，即．
．
在与中
．
．
，
．
（2）仍然成立．理由如下：
理由∶如图2，延长到点G，使，连接．
，，
．
在与中
．
，．
，
．
，
在与中
．
．
，
．
（3），证明如下：
如图3，在延长线上取一点G，使得，连接．
，
．
，
，即．
在与中
．
，．
，，
在与中
．
．
，
．
．
即．
．
15．（24-25九年级上·湖北·期末）【提出问题】
如图1，在中，于点E，于点F．求证：；
【问题探究】
如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：；
【拓展延伸】
如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ．
【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸：
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理；
提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明；
问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，；
拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可．
【详解】解：提出问题：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则，
∵G是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图1，在△ABC中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结．
【初步尝试】
（1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______．
【结论探究】
（2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明．
如图，延长至G，使，连结．
【拓展应用】
（3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长．
【答案】（1）5，3；（2）见解析；（3）见解析，11
【分析】（1）证明四边形是矩形，再利用三角形中位线定理解决问题即可；
（2）利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理可得结论；
（3）如图3中，延长至G，使，连结，设，利用勾股定理构建方程求解．
【详解】（1）解：∵点点都是中点
∴、都是中位线
（2）证明：如图1中，延长至，使，连结．
,
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3中，延长至，使，连结．设．
易证
∴
∴
∴
，
，
，
，
．
17．（2025七年级下·全国·专题练习）【探究】
（1）如图1，，和的平分线交于点，则________．
（2）如图2，，且和的平分线交于点，则________（用含的代数式表示）．
（3）如图3，，当和的平分线平行时，之间应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件“”改为“”，再分别作和的平分线，若它们所在的直线交于点，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【答案】探究：（1）；（2）；（3），证明见解析；挑战：，图见解析
【详解】（1）提示：因为和的平分线交于点，所以，．在四边形中，因为，所以，所以．
（2）提示：由（1），得，，所以．
（3）．证明如下：
当时，．因为平分平分，所以，所以，所以，所以．
【挑战】如图即为所求，此时．提示：根据题意，得，，所以，所以．因为，所以．
18．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）问题探究：
一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
（1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段．
分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明．
如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状），
∴；∵，，
∴是______（填的形状），∴．
当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）；
当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴．
问题解决：
（2）如图2，在△ABC中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，．
①求证：；
②求的值；
拓展应用：
（3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）．
【答案】（1）平行四边形，等边三角形，；（2）①见解析；②；（3）
【分析】（1）根据证明过程即可求解；
（2）①作且，连接，可得四边形是平行四边形，进而得，，，
证即可；②作，可推出；设，则；结合，可得，进一步可得，根据即可求解；
（3）作且，连接，作，则四边形是平行四边形，，，可证是等边三角形；根据可得，结合可得，即可求解
【详解】解：（1）作且，则四边形是平行四边形；
∵，，
∴是等边三角形；
由三角形三边关系可知，，
当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，
∴；
故答案为：平行四边形，等边三角形，；
（2）①作且，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴；
②作，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
（3）作且，连接，作，如图所示：
则四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
19．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）
问题提出：
(1)如图1，在△ABC中，，点、分别是，的中点，则的长为___；
问题探究：
(2)如图2，在△ABC中，，点在上，，点在上，，连接，、分别为、的中点，求的长度？
问题解决：
(3)西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪内对角线右侧修建一个三角形池塘，如图，，，，为草坪入口，为草坪出口，在人行道的中点处有一个凉亭，在池塘处是一个观景台，游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？
【答案】（1）2；（2）；（3）相等，理由见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求解；
（2）连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，过点作，交的延长线于点，根据中位线的性质求得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求得，进而在中，勾股定理即可求解；
（3）取的中点，的中点，连接，根据中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，三角形的外角的性质，证明，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）∵在中，，点、分别是，的中点，
∴，
故答案为：．
（2）如图所示，
连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，过点作，交的延长线于点，
∵、分别为、的中点
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，；
（3）解：相等，理由如下，
如图所示，取的中点，的中点，连接，
∵是的中点，
∴，，
∴，，
∴
∵，则，
∴，，
∴
∵，为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
即游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等．
20．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】
（1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长．
【类比拓展】
（2）如图2，△ABC中，平分，于，．求证：；
【学以致用】
（3）如图3，在△ABC，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）连接，交于点，易得，勾股定理求出的长，即可；
（2）延长交的延长线于点，先证明，得到，取的中点，连接，利用中位线定理，得到，且，证明，得到，即可得出结论；
（3）连接，取中点，连接，，利用中位线定理，得到是等边三角形，是等边三角形，设，进而利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的值，进一步求解即可．
【详解】解：（1）连接，交于点，如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，，
，
；
（2）证明：如图，延长交的延长线于点，
平分，，
，，
又，
，
，
取的中点，连接，则有，且，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，取中点，连接，，
、分别为和中点，
和分别为和的中位线，
且且，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
设，则，在中，由勾股定理得，，
解得，
即，
，
．
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