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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破三：平行四边形综合证明（培优版）（20道）
1．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
(1)求证；
(2)求的面积．
2．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，平行四边形，对角线交于点O，的平分线交的延长线于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，连接；
若，求平行四边形的面积；
设，试求m与k满足的关系．
3．（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，，当，求的长．
4．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒．
(1)求与间的距离；
(2)为何值时，四边形为平行四边形；
(3)直接写出为何值时，．
5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在△ABC中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．
(1)若的面积为4，则四边形的面积为 ．
(2)求证：四边形是平行四边形．
(3)判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论．
6．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，D、E分别是、的中点，连接，点F是的中点，连接并延长交的延长线于点G，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
7．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点，若，，，求，的长．
8．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：________（只填写一个序号）
添加条件后，请证明：四边形为平行四边形．
9．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点，若，求的周长．
10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，．
知识应用
（2）在△ABC中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论
11．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在△ABC中，，为上的中线，点F为中点，点E为上一点，连接．
(1)从①；②这两个信息中，选择一个作为条件，另一个作为结论，并证明；
你选择的条件是 ，结论是 ；（填写序号即可）
(2)在（1）的条件下，当时，求的度数．
12．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在△ABC中，与的平分线相交于点．
(1)如果，求的度数；（用含的式子表示）
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______；
(3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数．
13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）点P是平行四边形的对角线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线作垂线，垂足分别为点E、F．点O为的中点．
(1)如图1，当点P与点O重合时，线段和的关系是______；
(2)当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立请说明理由．
(3)当点P在线段上运动，且时，请在备用图中画出图形并直接写出线段，，之间的关系，不需说明理由．
14．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知△ABC为等边三角形，点，分别在，边上，，与相交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，过点作交延长线于点，请直接写出图2中所有长度等于的线段．
15．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图1，点是对角线上一点，连接并延长至点，使，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，设与的交点为，且为中点，连接，若，求证：．
16．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）小明在完成作业时遇到了困难，请你帮帮他：
(1)如图1，在中，平分于点E，点F是的中点．的延长线与边相交于点D，求证：．
(2)如图2，在梯形中，，E、F分别是对角线的中点，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论：________________．
17．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若平分，，且，，求的长．
18．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）在平行四边形中，，点分别在边上，，，．
(1)如图1，求证；
(2)如图1，求的值；（用含的式子表示）
(3)如图2，连接，点是的中点，若，，求的长．
19．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
20．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，当为等腰三角形时，求的长；
(3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______．
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破三：平行四边形综合证明（培优版）（20道）
1．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
(1)求证；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意得到，可证明，即可得到结论；
（2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，
∴，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得；
，
，
由（1）知，
，
，
，，
∴．
2．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，平行四边形，对角线交于点O，的平分线交的延长线于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，连接；
若，求平行四边形的面积；
设，试求m与k满足的关系．
【答案】(1)详见解析(2)；
【分析】（1）由平行四边形的性质、角平分线及等边三角形的判定即可证明；
（2）①由，得为等边三角形．由得点C是的中点，即；再由勾股定理求得，即可求得平行四边形的面积；
②易证为等边三角形，再证明，则有，从而得，由此即可求得m与k的关系．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
（2）解：①∵，
∴为等边三角形．
∵，
∴，
∴．
在中，，
由勾股定理得：，即，
∴．
∴平行四边形的面积为．
②∵为等边三角形，，
∴，
∴为等边三角形．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
＝
，
∴．
3．（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，，当，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，然后根据等式的性质即可得证；
（2）由全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三线合一的性质得出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解．
【详解】（1）证明∶设、相交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒．
(1)求与间的距离；
(2)为何值时，四边形为平行四边形；
(3)直接写出为何值时，．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；
（2）证明，得出，结合，可知只需时，四边形便是平行四边形，即，可得答案；
（3）分情况讨论：当第一次等于时，过点作于点，过点作于点，先证明，再证明四边形是平行四边形，即可求解；当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点，证明四边形是平行四边形，推出，利用等腰三角形性质得出，并求解，再求，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴,
如图，过作于，
则由，
得，
∵，
∴与间的距离为；
（2）解：∵，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴只需时，四边形便是平行四边形，
∴，
∴，
∴时，四边形为平行四边形；
（3）解：如图，当第一次等于时，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图，当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点，
∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．
5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在△ABC中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．
(1)若的面积为4，则四边形的面积为 ．
(2)求证：四边形是平行四边形．
(3)判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论．
【答案】(1)8(2)见解析(3)，证明见解析
【分析】本题考查三角形面积公式，平行四边形面积公式，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质，中位线判定定理及性质定理等．
（1）由三角形面积公式即可得出，后由平行四边形面积公式即可得出本题答案；
（2）延长交于点，证明，后得到为的中位线，继而得到本题答案；
（3）由平行四边形性质得，后得，再由全等三角形性质可得，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：过点作，
，
∵点D是边的中点，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形的面积：，
故答案为：8；
（2）解：延长交于点，
，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：判断：，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，D、E分别是、的中点，连接，点F是的中点，连接并延长交的延长线于点G，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解(2)的长为
【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定以及勾股定理．熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定以及勾股定理是解题的关键．
（1）通过“”证明三角形全等得到线段相等，进而根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形；
（2）先利用三角形中位线定理求出的长度，再根据平行四边形的性质得出的长度，从而得到的长度，最后在中运用勾股定理求出所求线段长度即可．
【详解】（1）证明： D、E分别是、的中点，
，即，
，
点F是的中点，
，
在与中
，
，
，
且，
四边形是平行四边形．
（2）解： D、E分别是、的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
则．
的长为．
7．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点，若，，，求，的长．
【答案】(1)证明见解析(2)，的长为
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，，再由勾股定理求出，，最后由平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明: ∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）解: 由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
即的长为．
8．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：________（只填写一个序号）
添加条件后，请证明：四边形为平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
选择①时，先由即可，再由证明，得到，，则，即可证明四边形是平行四边形；选择②时，先由即可，再由证明，得到，，则，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），
证明：当选取①时，
在与中，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
证明：当选取②时，
在与中，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
9．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点，若，求的周长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明是的中位线，得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由是的中位线，得，，，由勾股定理求出，故，，由四边形为平行四边形得，，再由勾股定理求出，即，最后由的周长为即可求解．
【详解】（1）证明：，
是的中点，
又是的中点，
∴是的中位线，
，
点在的延长线上，
，
又，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：，
，且，
，
于点，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
的周长为：．
10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，．
知识应用
（2）在△ABC中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明；
（2）过点作交于，连接，则，先证明是等边三角形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图所示，过点作交于，连接，
，
，
，即，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
互相平分，
点为的中点，
三点共线，
，
在中，
，
，
，
．
11．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在△ABC中，，为上的中线，点F为中点，点E为上一点，连接．
(1)从①；②这两个信息中，选择一个作为条件，另一个作为结论，并证明；
你选择的条件是 ，结论是 ；（填写序号即可）
(2)在（1）的条件下，当时，求的度数．
【答案】(1)条件为①，结论为②，证明见解析；条件为②，结论为①，证明见解析(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）条件为①，结论为②，由三线合一定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得；条件为②，结论为①，由三线合一定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，再根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论；
（2）证明为的中位线，得到，则，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）解：条件为①，结论为②，证明如下：
∵，为上的中线，
∴，
∵，点F为中点，
∴，
∴；
条件为②，结论为①，证明如下：
∵，为上的中线，
∴，
∵点F为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∵为上的中线，点F为中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在△ABC中，与的平分线相交于点．
(1)如果，求的度数；（用含的式子表示）
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______；
(3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，外角和性质，多边形内角和等．
（1）根据可得，再利用角平分线定义可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案；
（2）根据角平分线定义得出，再由四边形内角和定理可得结论；
（3）先求出，后得到，，，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵作外角，的角平分线交于点，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∵四边形内角和为，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）点P是平行四边形的对角线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线作垂线，垂足分别为点E、F．点O为的中点．
(1)如图1，当点P与点O重合时，线段和的关系是______；
(2)当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立请说明理由．
(3)当点P在线段上运动，且时，请在备用图中画出图形并直接写出线段，，之间的关系，不需说明理由．
【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)
【分析】（1）证明即可得出结论；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得：，，再利用，得是等腰直角三角形，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】（1）解：，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
，
∵，
∴
∴；
（2）解：如图2，（1）中的结论仍然成立，理由是：
延长交于G，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，；
（3）解：，理由是：
如图3，延长、交于G，
同理得：
∴，，
在中，，
，
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
即．
14．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知△ABC为等边三角形，点，分别在，边上，，与相交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，过点作交延长线于点，请直接写出图2中所有长度等于的线段．
【答案】(1)见解析(2)、、、
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
（1）先证明，推出，，再证明
，推出，即可证明四边形为平行四边形；
（2）延长交于点，连接，，根据和均为等边三角形，四边形为平行四边形，利用线段的和与差证明得到；证明四边形为平行四边形，推出，再证明四边形是平行四边形，即可得到所有长度等于的线段．
【详解】（1）证明：连接，如图，
由旋转得，，，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
.∴.，，
又∵，
∴.，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：延长交于点，连接，，如图，
∵和均为等边三角形，且，
∴，即；
由（1）知四边形是平行四边形，
∴，；
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即；
∵，即，
∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，即，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
综上，与相等的线段有、、、
15．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图1，点是对角线上一点，连接并延长至点，使，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，设与的交点为，且为中点，连接，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接交于点，由平行四边形的性质可得，结合题意得出为的中位线，再由三角形中位线的性质即可得证；
（2）证明得出，证明得出，再由平行四边形的性质可得，即可得证．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，即为中点，
，
为中点，
为的中位线
，即；
（2）解：由（1）得，，
，
又，为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
又，，
，
．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
16．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）小明在完成作业时遇到了困难，请你帮帮他：
(1)如图1，在中，平分于点E，点F是的中点．的延长线与边相交于点D，求证：．
(2)如图2，在梯形中，，E、F分别是对角线的中点，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论：________________．
【答案】(1)见详解(2)
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质．
（1）先根据，得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，所以，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）取的中点，连接，结合题意得出是的中位线，是的中位线，即可得，证明三点共线，即可得出．
【详解】（1）证明：∵平分，
，
又 ∵于点，
，
，
，
∴是的中点，
又 ∵点是的中点，
∴是的中位线，
．
（2）解：，
证明：取的中点，连接，
∵点E、F分别是对角线的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴．
17．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若平分，，且，，求的长．
【答案】(1)证明过程见详解(2)的长为
【分析】（1）根据全等三角形的判定可得，，再根据平行四边形的性质，可得，由此即可求证；
（2）根据题意可得，根据垂直可得平行四边形是矩形，设，在和中，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
∵，且四边形为平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，则，
∴，
∴，
解得，，
∴的长为．
18．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）在平行四边形中，，点分别在边上，，，．
(1)如图1，求证；
(2)如图1，求的值；（用含的式子表示）
(3)如图2，连接，点是的中点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）根据平行四边形得和，则有和，得到即可判定垂直；
（2）设，则，，进一步求得，则，结合平行四边形的性质得，利用勾股定理得即可求得答案；
（3）过作的垂线，垂足为，交延长线于点，与的延长线交于，求得、和，结合平行线的性质得，则有，根据平行线的性质，证明，有和，利用勾股定理求得即可．
【详解】（1）证明：如图1，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
∴，
；
（2）解：设，则，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
；
（3）解：如图2，过作的垂线，垂足为，交延长线于点，与的延长线交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（平行四边形高相等），
，
，
为中点，
，
，
，
，，
，
，
．
19．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由作图可知，，再由平行四边形的性质得，则，则，然后由等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）过点作，交的延长线于点；同（2）中方法证明，得，利用是直角三角形求出，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【详解】（1）证明：由作图步骤可得，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作，交的延长线于点，如图；
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
由作图可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，当为等腰三角形时，求的长；
(3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______．
【答案】(1)见解析(2)或4(3)
【分析】（1）只需证明即可．
（2）分三种情况求解即可．
（3）先证明，得到，确定直线的解析式为，设点，则，其中，
求得直线的解析式，根据面积差为4，得到求解即可．
【详解】（1）证明：∵D是中点
∴四边形是平行四边形．
（2）由（1）得四边形是平行四边形，
，
∴．设，
（I）当时，则，
，
，
根据题意，得，
解得：，
故；
（II）当时，则，则，
根据题意，得，
解得：，（均舍去）；
（III）当时，则 ，故，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
故，
所以或4．
（3）如图，，点D是的中点，点E是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线的解析式为，
设点，则，其中，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为，
∵点是直线上的点，
，
解得．
，，
且四边形与的面积差为4，
∴，
∴，
解得，（舍去），
，
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