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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破五：平行四边形中动点问题（20道）
1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，锐角△ABC中，分别是边上的点，，，，的平分线交边于点，，，分别是线段上的动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，可证，根据全等三角形的性质可得：，再根据两点之间线段最短和垂线段最短得到当点、、三点共线且时，的值最小，根据四边形内角和定理可求，时，的值最小，利用勾股定理求出最小值即可．
【详解】解：如下图所示，连接，
，平分，
，
，
在和中，，
，
，
根据两点之间线段最短，可得：当点、、三点共线时，的值最小，
根据垂线段最短，可得：当时，的值最小，
，，
在四边形中，，
，
，
在中，，
当时，，
，
．
故选：C．
2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ）
A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动，
∴运动时间为（秒），
，的速度为每秒，到达的时间为（秒），
当在点以及点的左边时，即时，，
当在的右边时，即时，，
以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
①当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得：；
②当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得，
综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故选：C．
3．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】C
【分析】首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解．
【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为，
∵点P运动的速度为，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴， ， ，
∴点P从点B运动到点C所用的时间为：，
∴点P从点A运动到点C所用的时间为：，
∴；
分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图：
由图②可知：，
∴，
即：，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，， ，
由勾股定理的：，
∴点P从点C运动到点A所用的时间为：，
∴，
故选：C．
4．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图（1），点是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论．
【详解】解：根据点运动，可得，
设与间的距离是，
当点在上时，，
解得，
故选：A．
5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺（△ABC）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边恰好重合，已知，E，F分别是边上的动点，当四边形为平行四边形时，该四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．81
【答案】D
【分析】根据为平行四边形可得，利用解直角三角形得到，根据平行四边形面积计算公式即可得到结果．本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形性质是解答本题的关键．
【详解】解：为平行四边形，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形的面积：．
故选：D．
6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，且，，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向点A方向运动，点Q以的速度向点C运动，几秒后四边形是平行四边形（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题主要考查的是平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．由运动时间为t秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解．
【详解】解：设t秒后，四边形为平行四边形，
则，，
∵
∴，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
知：即可，
即：，
∴，
当时，，
综上所述，2秒后四边形是平行四边形，
故选：B．
7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握勾股定理，由三角形中位线定理得出是解题的关键．
由勾股定理得出，取中点，连接，证出是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，再由勾股定理求出即可．
【详解】解：∵，
，
取中点，连接，如图所示：
∵分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
8．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，点、分别为线段、上的动点（含端点，但点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度的可能为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理、勾股定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，与A重合时，最小，从而求得的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．
【详解】解：连接，
，，
，
最大时，最大，最小时，最小，
与重合时最大，
此时，
的最大值为6.5．
，，
，
，
长度的可能为5，
故选：B．
9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，将含角的三角尺（△ABC，）的长直角边与含角的三角尺（，）的斜边恰好重合放置，已知，P，Q分别是，上的动点，当四边形为平行四边形时，平行四边形的面积是 ．
【答案】36
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，由平行四边形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，根据含的直角三角形的性质可求解的长，即可求得，利用平行四边形的面积公式可求解．
【详解】由题意得，当四边形为平行四边形时，，
，
，
，
，，
，，
，
四边形的面积为：，
故答案为：36．
10．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，已知，点C、D在线段上且，P是线段上的动点，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连结，设的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，解题的关键是掌握中位线的性质．
分别延长、交于点，证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹为三角形的中位线．再求出的长，运用中位线的性质求出的长度即可．
【详解】解：如图，分别延长、交于点．连接，取的中点，连接，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．
∵为的中点，
∴也正好为中点，即在的运动过程中，始终为的中点，所以的运行轨迹为三角形的中位线．
，
∴，即的移动路径长为2．
故答案为：2．
11．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，点、分别在、上，，连接，点是线段上的动点，以点、、为顶点的三角形的面积为40，当以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，先证明四边形是平行四边形；再分和两种情况，过点M作于G，根据三角形面积计算公式求出的长，再求出，据此利用勾股定理可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
如图1所示，当时，过点M作于G，
∴，
∵以点、、为顶点的三角形的面积为40，
∴，
∴，
∴；
如图2所示，当时，过点M作于G，
同理可得，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
12．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则 ．
【答案】2或4或8
【分析】根据平行四边形性质得，依题意有以下两种情况①当时，过点作交延长线于，过点作于，设，则，在中，先求出，进而得，则，由勾股定理得，同理得，则，由勾股定理得，再由勾股定理得，则，由此解出，则或8；②当时，在中，先求出，则，综上所述即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
，
，
，
∵点是边上一动点，
∴当是直角三角形时有以下两种情况：
①当时，过点作交延长线于点，过点作于点，如图1所示：
设，则，
在中，，
，
又∵，
，
由勾股定理得：，
，
在中，
由勾股定理得：，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，
由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得：，
或；
②当时，如图2所示：
，
在中，，
，
综上所述：若是直角三角形，则或8或．
故答案为：4或2或8．
13．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒．
(1)求与间的距离；
(2)为何值时，四边形为平行四边形；
(3)直接写出为何值时，．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；
（2）证明，得出，结合，可知只需时，四边形便是平行四边形，即，可得答案；
（3）分情况讨论：当第一次等于时，过点作于点，过点作于点，先证明，再证明四边形是平行四边形，即可求解；当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点，证明四边形是平行四边形，推出，利用等腰三角形性质得出，并求解，再求，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴,
如图，过作于，
则由，
得，
∵，
∴与间的距离为；
（2）解：∵，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴只需时，四边形便是平行四边形，
∴，
∴，
∴时，四边形为平行四边形；
（3）解：如图，当第一次等于时，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图，当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点，
∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．
14．（2025八年级下·浙江·专题练习）已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数．
(2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长
(4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积．
【答案】(1)(2)4.8或8或9.6(3)的长为8(4)
【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答；
（2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案；
（3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题；
（4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
要使四边形是平行四边形，则，
设运动时间为秒，根据题意可知：，，，
①当时，，
，
解得，不合题意；
②当时，，
，
解得，；
③当时，，
，
解得，；
④当时，，
，
解得，；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形；
（3）解：如图3，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
的长为8；
（4）解：如图2，作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
．
15．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒．
(1)当点从向运动时，______，______；
当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）．
(2)当直线恰好平分的面积时，求的值．
(3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)，，
(2)当秒或秒时，直线恰好平分的面积；(3)的值为或．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积，则，分两种情况讨论，列式计算即可求解；
（3）分五种情况讨论，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：当点从向运动时，，，，；
当点从向运动时， ；（用含的代数式表示）．
故答案为：，，；
（2）解：当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴或，
解得或；
（3）解：设平行四边形的高为，则平行四边形的面积为，
当时，，，
由题意得，，解得；
当时，，，
由题意得，，解得（舍去）；
当时，，，
由题意得，，解得（舍去）；
当时，，，
由题意得，，解得（舍去）；
当时，，，
由题意得，，解得；
综上，的值为或．
16．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时：
①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由；
②请写出，之间的数量关系并说明理由；
③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________.
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②，理由见解析；③
【分析】（1）证明，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）①连接，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，则是等腰直角三角形，即可得结论；
②证明，利用全等三角形性质即可得到；
③过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：，，
，
．
，，
，
，
．
四边形是平行四边形；
（2）①，理由如下：
连接，如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，则，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
②，理由如下：
由上可知是等腰直角三角形，
∴，，
，
．
，
．
，，
，
，
．
③．
理由如下：过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
．
四边形是平行四边形，，
．
，，
，
，，
，
，
．
在中，，则．
，
．
故答案为：．
17．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？
【答案】经过，；经过或，
【分析】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定．①设经过，，此时四边形成为平行四边形，得，即可得关于t的方程，解方程即可；②设经过，，分两种情况，当四边形为等腰梯形时，；当四边形为平行四边形时，根据①可得结论．
【详解】解：①设经过，，
此时四边形成为平行四边形，
∴，
∴，
解得，
∴经过，且；
②设经过，，
如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线，，垂足分别为E，F，
当时，四边形为梯形（腰相等）或平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，，
当四边形为等腰梯形时，，
∴，
解得，
经过，；
当四边形为平行四边形时，经过，，
综上所述，经过，；经过或，．
18．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在的边上时，求的值．
(3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示．
(4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值．
【答案】(1)当时，．当时，
(2)或(3)(4)1或3
【分析】（1）由为的中点，根据点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，表示出线段长，再分类讨论即可求解；
（2）当点M在边上，可得，列出方程即可；当点在边上，可得，列出方程即可；
（3）根据题意分类讨论，表示出线段长，再根据面积公式求解即可；
（4）当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解；当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
，点D为的中点，
，
∵点P关于点D的对称点为点Q，
,
，
当时，，
．
当时，，
．
∴当时，．当时，．
（2）解：如图1，点M在边上时，，
由题意可知，，
，
，
，
解得；
如图2，点M在边上时，，
由题意可知，，
，
，
，
解得；
所以，t的值为或．
（3）解：当时，与重叠部分为，面积为4；
当时，与重叠部分为，
此时，，
；
当时，与重叠部分为，
此时，，
；
当时，与重叠部分为，面积为4；
所以，．
（4）解：t的值为1或3，理由如下：
如图3，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则，
，
解得；
如图4，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则，
，
解得；
综上所述，t的值为1或3．
19．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接．
(1)求的值．
(2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明．
(3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)，证明见解析(3)存在，
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、平移的性质、坐标与图形等知识．
（1）根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可得；
（2）过点P作，利用平行线的性质得到，则，即可得到答案；
（3）求出点的坐标分、，则，，得到点R的坐标为，点S的坐标为，，四边形是平行四边形，则，作于点H，则，当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即，进一步即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，；
（2），理由如下：
如图所示，过点P作，
∵
则，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，点Q的坐标为，理由如下：
由（1）可知，点的坐标分、．
∴，
∵线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，
∴点R的坐标为，点S的坐标为，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
作于点H，则
∵点Q是线段上的动点，
∴当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即，
此时，即的最大值为，
∵四边形的面积，
∴四边形的面积最大值为，
此时点Q的坐标为；
20．（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，请判定四边形的形状________；（直接填空）
(2)当时，求t的值．
(3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)平行四边形(2)或
(3)存在，当t为4或者或者时，为等腰三角形
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
（1）根据题意有：，进而有，当时，可得，结合，即可作答；
（2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案；
（3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过点于；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：结论：四边形是平行四边形．
理由：
根据题意有：，
∵，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当，四边形是平行四边形时，
即有：，则，解得，；
当时，四边形是等腰梯形时，
过点作于，过点于，如图，
根据，可得四边形是矩形，
则，
故，
∵梯形为等腰梯形，于，
，
根据（1）有，
，
∴，解得，
综上所述：或时，．
（3）解：存在，理由如下：
根据（1）有，
根据（2）有，
当为等腰三角形，且时，
过点于，如图，
根据（2）可知：时，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，解得，即此时；
当为等腰三角形，且时，如图，
∴，解得，即此时；
当为等腰三角形，且时，
过点于，过点于，如图，
根据（2）同理可知四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
∴，
解得：，
综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形．
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破五：平行四边形中动点问题（20道）
1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，锐角△ABC中，分别是边上的点，，，，的平分线交边于点，，，分别是线段上的动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ）
A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒
3．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
4．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图（1），点是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺（△ABC）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边恰好重合，已知，E，F分别是边上的动点，当四边形为平行四边形时，该四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．81
6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，且，，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向点A方向运动，点Q以的速度向点C运动，几秒后四边形是平行四边形（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为（ ）
A．6 B． C． D．
8．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，点、分别为线段、上的动点（含端点，但点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度的可能为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，将含角的三角尺（△ABC，）的长直角边与含角的三角尺（，）的斜边恰好重合放置，已知，P，Q分别是，上的动点，当四边形为平行四边形时，平行四边形的面积是 ．
10．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，已知，点C、D在线段上且，P是线段上的动点，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连结，设的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 ．
11．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，点、分别在、上，，连接，点是线段上的动点，以点、、为顶点的三角形的面积为40，当以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，则的长为 ．
12．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则 ．
13．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒．
(1)求与间的距离；
(2)为何值时，四边形为平行四边形；
(3)直接写出为何值时，．
14．（2025八年级下·浙江·专题练习）已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数．
(2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长
(4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积．
15．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒．
(1)当点从向运动时，______，______；
当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）．
(2)当直线恰好平分的面积时，求的值．
(3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值．
16．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时：
①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由；
②请写出，之间的数量关系并说明理由；
③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________.
17．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？
18．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在的边上时，求的值．
(3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示．
(4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值．
19．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接．
(1)求的值．
(2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明．
(3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，请判定四边形的形状________；（直接填空）
(2)当时，求t的值．
(3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由．
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