第五章特殊平行四边形单元测试（含答案）

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第五章特殊平行四边形单元测试浙教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
2．依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AB＝AD
4．如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形
6．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　）
A．125° B．115° C．55° D．135°
7．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
8．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2DM，BM平分∠ABC，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝3cm，则AB的长为（　　）
A．5.5cm B．5cm C．4.5cm D．4cm
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：4，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 　 　．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 　 　．
11．如图，菱形ABCD中，AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则DH＝ 　 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，点P是AB边上的一点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是 　 　 ．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．
14．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED、EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝6，AF＝2，求菱形CDEF的面积．
15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，且．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）若∠B＝60°，AF＝4，求出矩形ADFE的周长．
16．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是AD和BC的中点，且AF＝BF．在BC的延长线上取一点G，连接OG，使得．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）若AC＝8，EF＝6，求OG的长．
17．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点（不与B、C重合），CM是外角∠DCN的平分线，点F在射线CM上．
（1）当∠CEF＝∠BAE时，判断AE与EF是否垂直，并证明结论；
（2）若在点E运动过程中，线段CF与BE始终满足关系式CF＝BE．
①连接AF，证明的值为常量；
②设AF与CD的交点为G，△CEG的周长为a，求正方形ABCD的面积．
18.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．
（1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，
①求证：AE＝2EP；
②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
参考答案
一、选择题
1—8：DCDBCADD
二、填空题
9．【解答】解：如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，有两个内角的度数比为1：4，
∴AD∥BC，∠A＝4∠B，
∴∠A+∠B＝180°，
∴4∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠A＝144°，
∴平行四边形ABCD中较小内角的度数为36°，
故答案为：36°．
10．【解答】解：四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB，
∵点B的坐标为（0，﹣3），
∴OB＝3，
∴AB＝2OB＝6，
∴，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC8＝4（cm），OB＝ODBD6＝3（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5（cm），
∵S菱形ABCDAC BD＝AB DH，
∴DH（cm），
故答案为：cm．
12．【解答】解：如图，连接PC．
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，
∴AB2，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠C＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN＝PC，
当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时PC的最小值，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB，
∵DE＝BF，
∴OD+DE＝OB+BF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
（2）解：∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵四边形AFCE为平行四边形，OA＝4，
∴CE∥AF，OC＝OA＝4，
∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∵∠AEC＝60°，
∴△EAC是等边三角形，
∴AE＝AC＝8，
∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32，
∴四边形AFCE周长是32．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，点F在AB上，
∴CD∥EF，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE，
∴四边形CDEF是菱形．
（2）解：∵∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝90°，BC⊥EF，
∵四边形CDEF是菱形，AF＝2，
∴DE＝EF＝AE+2，
∵AE2+AD2＝DE2，AD＝BC＝6，
∴AE2+62＝（AE+2）2，
解得AE＝8，
∴EF＝8+2＝10，
∴S菱形CDEF＝EF BC＝10×6＝60，
∴菱形CDEF的面积为60．
15．【解答】（1）证明：连接DE．
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EFAB，
∵点D是边AB的中点，
∴ADAB．
∴AD＝EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DEBC．
∵AFBC，
∴DE＝AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC＝∠FEC＝90°，
∵AF＝4，
∴BC＝8，CF＝4，
∵∠C＝30°，
∴AC＝4，∠B＝60°，CE＝2，EF＝2，
∴AE＝2，
∴矩形ADFE的周长＝44．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E，F是AD和BC的中点，
∴AE＝DEAD，CF＝BFBC，
∴AE＝CF＝BF，
∵AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AF＝BF，
∴AE＝AF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴CE＝CF，CA⊥EF，
∴∠ACE＝∠ACF，
∴∠G∠ACE∠ACF，
∴∠ACF＝2∠G＝∠G+∠COG，
∴∠G＝∠COG，
∵∠COF＝90°，AC＝8，EF＝6，
∴GC＝OC＝OAAC＝4，OF＝OEEF＝3，
∴CF5，
作OH⊥BC于点H，则∠OHG＝90°，
∵S△COF5OH3×4，
∴OH，
∴CH，
∴GH＝GC+CH＝4，
∴OG，
∴OG的长是．
17．【解答】（1）解：垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠CEF＝∠BAE，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF；
（2）①证明：如图1，
作FG⊥BN于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCN＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∵CMP平分∠DCN，
∴∠DCM＝∠MCN＝45°，
∴CF＝，
∵CF＝，
∴BE＝CG＝CF，
∴BE+EC＝CG+EC，
∴BC＝EG，
∴EG＝AB，
∵∠FCG＝∠B＝90°，
∴△ABE≌△EGF（SAS），
∴AE＝EF，∠FEG＝∠BAE，
∴由（1）得：∠AEF＝90°，
∴＝；
②解：如图2，
在CB的延长线上截取BH＝DG，连接AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABH＝∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD＝BC＝CD，
∴△ABH≌△ADG（SAS），
∴∠DAG＝∠BAH，AH＝AG，
由①知：∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAG＝45°，
∴∠BAE+∠BAH＝45°，
∴∠EAH＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEH≌△AEG，
∴EG＝EH＝BH+BE＝DG+BE，
∴EG+CG+EC＝DG+BE+CG+EC＝CD+BC＝2BC＝a，
∴BC＝，
∴S正方形ABCD＝BC2＝．
18．【解答】（1）解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上．
理由：连接QC．∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BD⊥AC，OA＝OC，
∴QA＝QC，
∵QA＝QP，
∴QC＝QP，
∴点Q在线段PC的垂直平分线上；
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AC，∴∠ADO＝∠CDO，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO．
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD．
∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP+∠ABP＝90°，∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°
在 Rt△BPE 中，∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，
∴EPBE，
∵AE＝BE，
∴，
∴AE＝2EP；
②如图，连接QC．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形．∠APB＝90°，
∴BP＝CP，EP＝a，
∴AE＝2a，AP＝3a，
在Rt△APB中，∠APB＝90°，
∵，
∴，
∴，
∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，
△AOE≌△COQ（SAS），
∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO，
∴AE∥CQ，
∵∠APB＝90°，
∴∠QCP＝90°，
在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°，
由勾股定理得 PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQa．
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