第五章特殊平行四边形单元测试卷（一）（含答案）

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第五章特殊平行四边形单元测试卷（一）浙教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．菱形和矩形都是特殊的平行四边形，那么下列是菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．各角都相等 B．各边都相等
C．有两条对称轴 D．对角线相等
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
3．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　）
A． B． C． D．
4．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为（　　）
A．20 B．100 C．40 D．160
5．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（　　）
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形
B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形
C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形
D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5
6．如图，边长为4cm的正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（　　）cm2．
A．8 B．4 C．6 D．2
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4
8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；④四边形OECF的面积是1．
所有符合题意结论的序号是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．将对角线分别为5cm和8cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 　 cm．
10．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，CF＝5，则AF的长是 　 　．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△ABO的周长是 　 　cm．
12．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长．
15．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点．
（1）求证：EF+GH＝5cm；
（2）求当∠APD＝90°时，的值．
16．如图，在 ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）求证：四边形CDMN为菱形；
（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的长．
17．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）判断△CPF的形状，并说明理由．
（3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长．
18．如图，正方形ABCD中，E是CD边的中点，F是BC边上一点，∠FAE＝∠DAE．
（1）求证：AF＝AD+CF；
（2）已知正方形ABCD的边长为4．
①求AF之长；
②若P是AE上一点，且△DEP是等腰三角形，则线段EP的长为 　 　．
参考答案
一、选择题
1—8：CDCDCBAD
二、填空题
9．【解答】解：∵菱形的对角线分别为5cm和8cm，
∴菱形的面积S5×8＝20cm2，
∴正方形的边长是2（cm）．
故答案为：2．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠B＝DAB＝90°，
∴∠BAF+∠FAD＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠FAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△BAF和△ADE中，
，
∴△BAF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE＝15，
∵CF＝5，
∴BC＝BF+CF＝20，
∴AB＝BC＝20，
在Rt△ABF中，AB＝20，BF＝15，
由勾股定理得：AF25．
故答案为：25．
11．【解答】解：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴∠ABC＝90°，OA＝OBAC，
∴AC10（cm），
∴AO＝BO＝5cm，
∴△ABO的周长为OA+OB+AB＝16（cm）．
故答案为：16．
12．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴AB×PEPF×AD＝12，
∴5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴S菱形BMDN＝DM AB＝5×4＝20．
14．【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB＝90°，
∵BE∥AD，AE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3，
∴．
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：．
∵四边形ADBE是矩形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2．
∵，
∴．
15．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，AD＝10cm，
∴BC＝AD＝10cm．
∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，
∴EF+GHBPPCBC．
∴EF+GH＝5cm．
（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵∠APD＝90°，
在直角△APD中，AD2＝AP2+DP2，
同理，AP2＝AB2+BP2，PD2＝PC2+CD2＝PC2+AB2，
∴AD2＝AP2+DP2＝AB2+BP2+PC2+DC2＝BP2+（BC﹣BP）2+2AB2＝BP2+（10﹣BP）2+32，
即100＝2BP2﹣20BP+100+32，
解得BP＝2或8（cm），
当BP＝2时，PC＝8，EF＝1，GH＝4，这时，
当BP＝8时，PC＝2，EF＝4，GH＝1，这时，
∴的值为或4．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠CDM，
∵M、N分别是AD，BC的中点，
∴BN＝DM，
∵在△ABN和△CDM中，，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；
（2）证明：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，
∴NM＝AM＝MD，
∵BN＝NC＝AM＝DM，
∴NC＝MN＝DM，
∵NC∥DM，NC＝DM，
∴四边形CDMN是平行四边形，
又∵MN＝DM，
∴四边形CDMN是菱形．
（3）解：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，
∴MN＝MDAD，
∴∠1＝∠MND，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠CND，
∵∠1＝∠2，
∴∠MND＝∠CND＝∠2，
∴PN＝PC，
∵CE⊥MN，
∴∠CEN＝90°，
∠END+∠CNP+∠2＝180°﹣∠CEN＝90°，
又∵∠END＝∠CNP＝∠2，
∴∠2＝∠PNE＝30°，
∵PE＝1，
∴PN＝2PE＝2，
∴CE＝PC+PE＝3，
∴NC2．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；
（2）解：△CPF是等腰三角形，理由如下：
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
又∵CP⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE＝∠PCF，
又∵AD∥BF，
∴∠DAE＝∠CFP，
∴∠PCF＝∠PFC，
∴CP＝PF，
∴△CPF是等腰三角形；
（3）解：如图，连接DF，
∵∠PCF＝∠PFC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝MP，
∴MP＝PF，
又∵点N是DM的中点，
∴DF＝2NP＝6，
∴CF2．
18．【解答】（1）证明：如图1，过E点作EG⊥AF，垂足为G，连接EF，
（也可延长AE、BC交于P，用全等和等腰三角形知识解决），
∵EG⊥AF，
∴∠EGF＝∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠D＝90°，
在△AGE和△ADE中，
∴△AGE≌△ADE（AAS），
∴AD＝AG，GE＝DE，
∵E是CD边的中点，
∴CE＝DE，
∴GE＝CE，
在Rt△EGF和Rt△ECF中，
∴Rt△EGF≌Rt△ECF（HL），
∴GF＝CF，
∵AF＝AG+GF，
∴AF＝AD+CF；
（2）解：①设CF＝x，则BF＝4﹣x，AF＝4+x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝1，
∴AF＝4+x＝4+1＝5；
②分三种情况：
i）如图2，PD＝DE，过D作DG⊥AE于G，
∴EP＝2EG，
Rt△ADE中，AD＝4，DE＝2，
∴AE2，
∴S△ADE，
即，
∴DG，
由勾股定理得：EG，
∴EP＝2EG；
ii）如图3，EP＝DE＝2；
iii）如图4，PD＝PE，过P作PM⊥DE于M，则DM＝EM，
∵AD⊥CD，PM⊥DE，
∴AD∥PM，
∴AP＝PE，
∵AE＝2，
∴EP，
综上，EP的长是2或或．
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