第五章特殊平行四边形单元测试A卷（含答案）

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第五章特殊平行四边形单元测试A卷浙教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B，添加下列条件，不能保证四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AD∥BC B．AB＝CD C．AC＝BD D．∠A＝∠C
2．在下列条件中，能够判定 ABCD为菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AC＝AD C．AC⊥BD D．AB⊥BC
3．下列说法中，不正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
4．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
5．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（　　）
①矩形；②菱形；③对角线相等的四边形；④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是（　　）
A．3 B．4
C．4.8 D．5
7．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝24，BD＝10，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，矩形ABCD中，点G是AD边上任意一点，连接GB，GC．点E，F分别是GB，GC的中点，连接EF．若AB：AD＝2：3，S△GBC＝12，则EF的值为　 　．
10．在菱形ABCD中，对角线AC＝6，AB＝5，则菱形ABCD的面积为　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连接EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连接CE，若CE＝CF，则EF长为 　 ．
12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的两个点，连接AE、AF分别与对角线BD交于点G、H，连接GF，若AG⊥GF，DHBG，下列说法正确的序号是 　 　．
①AG＝FG；
②BG2+DH2＝GH2；
③∠BGE＝60°；
④若CE＝3，BE+DF值为3．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝3，求BF的长．
14．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
15．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．
16．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作 ECFG．
（1）证明 ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
17．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
18．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
（1）求证：AO＝BO；
（2）求证：∠HEB＝∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．
参考答案
一、选择题
1—8：CCBCCCDC
二、填空题
9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB：AD＝2：3，
∴设AB＝CD＝2a，AD＝BC＝3a，
∵S△GBC＝12，
∴，
解得a＝2，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
∵点E，F分别是GB，GC的中点，
∴，
故答案为：3．
10．【解答】解：如图，
由题意可得：AC⊥BD，，BO＝OD，
∴，
∴BD＝2BO＝8，
∴，
故答案为：24．
11．【解答】解：作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD为矩形，BD＝5，CD＝3，
∴AD＝BC＝5，∠CDE＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDEH为矩形，，
∴EH＝CD＝3，ED＝HC，
∵BF＝DE，CE＝CF，
设CE＝CF＝x，则BF＝DE＝4﹣x，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．【解答】解：答案为：①②③．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×3＝6，
∴∠AFB＝90°，AFAE6＝3，
∴BF3，
∴BF的长是3．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF4，
∴S矩形ABDF＝DF AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCDBD CD4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
15．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，BD⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OE＝OD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴OE⊥OA，
∵CF⊥AE，AB平分∠EAC，
∴BF＝OB，
∴Rt△AFB≌Rt△AOB（HL），
∴AF＝OA＝OC，
∵BF＝OB＝3，BE＝5，
∴EF，
∴OE＝OB+BE＝3+5＝8，
∵∠EFB＝∠AOE＝90°，∠FEB＝∠AEO，
即，
∴AE＝10，
∵AB平分∠EAC时，F应为AE的中点，且∠AEO＝30°，AO与AE的比值应为1：2，
∴AD＝AE＝10．
16．【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DMBD＝5．
方法二：∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC＝6，
过M作MH⊥CF于H，
则△MHF是等腰直角三角形，
∵△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AD＝8，
∵CF＝CE＝2，
∴MH＝FH＝1，
∴DM5．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO，
∵AB＝BE，
∴AD＝BE，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴AO＝BO；
（2）证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示：
则BF＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC＝∠AFB，
∵EB＝CF，BN＝CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN∥AF，
∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB；
（3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ＝90°，
∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠EBQ＝∠ABP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD＝90°，
由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP，
∴∠BEQ＝∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，，
∴△BEQ≌△BAP（ASA），
∴PA＝QE，QB＝PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQPB，
∴．
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