第五章特殊平行四边形（A卷）单元测试（含答案）

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第五章特殊平行四边形（A卷）单元测试人教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝80°，则∠A等于（　　）
A．40° B．80° C．100° D．140°
3．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等 D．正方形的对角线互相平分
4．已知四边形的四条边长分别为a，b，c，d，其中a，c为一组对边的边长，且满足，则四边形一定是（　　）
A．任意四边形 B．平行四边形
C．对角线相等的四边形 D．无法确定
5．在下列条件中，能够判定 ABCD为菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AC＝AD C．AC⊥BD D．AB⊥BC
6．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝（　　）
A．90° B．45° C．30° D．22.5°
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为（　　）
A． B． C．5 D．
8．如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．8
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结CG．给出下列四个结论：
①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④．
上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 　 　 ．
11．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，BE平分∠ABD，交AD于F，BE⊥DE，EG⊥AD于G，则下列说法：
①∠ADE＝∠ABE；②△BCD≌△BED； ③BF＝DE；④△BDF的面积为．
其中正确的有 　 　 ．（填序号）
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在边AB、CD上，且BE＝DF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在 ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点O．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）如图2，过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积．
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
16．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，AF⊥BE，垂足为M．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若正方形ABCD的边长是8，，点N是BF的中点，求MN的长．
17．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系xOy内，边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（a，b）且a、b满足（a+b﹣10）2＝0，点P是线段B上的动点，将△OCP沿OP翻折得到△OC′P．
（1）求点A和C的坐标；
（2）如图①，当点C′落在线段AP上时，求点P的坐标；
（3）如图②，当点P为线段BC中点时，求线段BC′的长度．
18．矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，且AE＝CF．
（1）如图，当时，求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若AB＝6，BC＝8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长．
参考答案
一、选择题
1—8：CDDBCDBC
二、填空题
9．解：过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM＝EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴平行四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴CG⊥AC，故③正确；
∴AC＝AE+CE＝CE+CGCD，故④错误；
∴正确结论的序号有①②③，
故答案为：①②③．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4.5，
∴OA＝OC，BD＝2OB＝9，
∵S菱形ABCD＝36，
∴，
∴AC＝8，
∵AH⊥BC，OA＝OC，
∴∠AHC＝90°，O为AC的中点；
在Rt△AHC中，O为AC的中点
∴．
故答案为：4．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∵BE⊥DE，
∴∠DEF＝∠BAD＝90°，
∵∠AFB＝∠DFE，
∴∠ADE＝∠ABE，
故①符合题意；
在矩形ABCD中，CD＝AB＝2，BC＝4，
延长DE交BA的延长线于点M，过点E作EN⊥AM于点N，如图所示：
则∠ENA＝∠ENM＝90°，
在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠NAG＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠AGE＝∠DGE＝90°，
∴四边形AGEN是矩形，
∴AN＝GE，NE＝AG，
∵BE⊥DE，
∴∠BED＝∠BEM＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△BED和△BEM中，
，
∴△BED≌△BEM（ASA），
∴BM＝BD，ME＝DE，
∵∠MAG＝∠EGD＝90°，
∴AM∥EG，
∴∠M＝∠GED，
在△MNE和△EGD中，
，
∴△MNE≌△EGD（AAS），
∴NE＝GD，MN＝GE，
∴AG＝GD＝2，
∴AB＝GD，
在△ABF和△GDE中，
，
∴△ABF≌△GDE（ASA），
∴BF＝DE，AF＝GE，
故③符合题意；
∵AB＝CD，AB≠DE，
∴△BCD和△BED不全等，
故②不符合题意；
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD2，
∴BM＝BD＝2，
∴AM＝22，
∴GE＝AN＝MN1，
∴AF＝GE1，
∴DF＝4﹣（1）＝5，
∴△BDF的面积5，
故④符合题意，
综上所述，符合题意的有①③④，
故答案为：①③④．
12．解：过M作MH⊥AB交BA延长线于H，交CD延长线于T，过E作EF⊥CD于K，如图：
设BE＝DF＝x，则CF＝AE＝4﹣x＝DK，
∴KF＝DF﹣DK＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，
∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段MF，
∴MF＝EF，∠MFE＝90°，
∴∠KFE＝90°﹣∠MFT＝∠TMF，
∵∠EKF＝90°＝∠CTM，
∴△EKF≌△FTM（AAS），
∴EK＝TF＝4，KF＝MT＝2x﹣4，
∴MH＝MT+TH＝2x﹣4+4＝2x，AH＝DT＝TF﹣DF＝4﹣x，
∴AM，
∴当x时，AM取最小值；
故答案为：．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝4，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EFDE＝2，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OFBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC，
即OC的长为．
14．【解答】（1）证明：∵AD＝AB，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC＝CD，
∴BC＝CD＝AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：如图，连接CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥CB，6
∴BE＝CE＝3，
∴AE，
∵AO＝OC，BE＝EC，
∴S△AOH＝S△OCH＝S△ECH＝S△BEH，
∴．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF∥OG，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是平行四边形，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝16，
∴BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝ODBD＝8，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴OC6，
由（1）可知，四边形EFGO是矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴OG⊥BC，
∴S△OBCBC OGOB OC，
∴OG4.8，
即OG的长为4.8．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAE＝∠ADF＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠DAF+∠AEM＝90°，
∵∠AEM+∠ABE＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AE＝DF；
（2）解：∵，
∴ED＝3AE，
∴AD＝4AE＝8，
∴AE＝2＝DF，
∴CF＝6，
∴BF＝＝10，
∵N是中点，∠BMF＝90°，
∴MN＝＝5．
17．解：（1）∵（a+b﹣10）2＝0，
∴．
解得：，
∴B（6，4），
又∵四边形OABC为矩形，
∴A（6，0），C（0，4）；
（2）由（1）可知：AO＝BC＝6，CO＝BA＝4，
∵AO∥BC，
∴∠CPO＝∠AOP，
由折叠易知：∠CPO＝∠C'PO，
∴∠AOP＝∠C'PO，
∴AO＝AP＝6，
在Rt△ABP中，PB．
∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2，
∴点P坐标为：（6﹣2，4）；
（3）连接CC'，交PO于点D，如图所示：
在Rt△PCO中，OC＝4，PC3，
∴OP，
由折叠易知：OP垂直平分线段CC'，即D为CC'的中点，
∴S△PCO，
∴CD，
在Rt△PDC中，PD，
又∵D为CC'的中点，P为BC中点，
∴PD为△CC'B的中位线，
∴BC'＝2PD＝2．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，G，H分别是AB，DC的中点，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴AGABDC＝CH，∠GAE＝∠HCF，
在△GAE和△HCF中，
，
∴△GAE≌△HCF（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴180°﹣∠AEG＝180°﹣∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：AE的长为1或9，
理由：连接GH，
∵AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°，
∴AG＝BGAB＝3，DH＝CHDC＝3，AC10，
∴BG∥CH，且BG＝CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH＝BC＝8，
∵以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，
∴EF＝GH＝8，
如图1，当AEAC时，四边形EGFH是矩形，
∵AE＝CF，且AE+EF+CF＝AC，
∴2AE+8＝10，
∴AE＝1；
如图2，当AEAC时，四边形FGEH是矩形，
∵AE＝CF，且AE﹣EF+CF＝AC，
∴2AE﹣8＝10，
∴AE＝9，
综上所述，AE的长为1或9．
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