第五章特殊平行四边形单元测试卷（含答案）

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第五章特殊平行四边形单元测试卷浙教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AB＝AD
2．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形
3．在下列条件中，能够判定 ABCD为菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AC＝AD C．AC⊥BD D．AB⊥BC
4．直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则斜边上的中线长是（　　）
A．10 B．5 C．3.5 D．2.5
5．如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
6.如图，在边长为10的正方形ABCD对角线上有E、F两个动点，，点P是BC中点，连接AE、PF，则AE+PF的最小值为（　　）
A． B． C． D．10
7.如图，矩形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，BC＝2CD，CD＝11DE，若线段OB，BC的长是正整数，则矩形ABCD面积的最小值是（　　）
A． B．81 C． D．121
8.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图的方式叠放在一起，AB＝AF．若AB＝3，BC＝9，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是　 　厘米．
10．如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　 　．
11．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若∠BCE＝70°，则∠EAD＝　 　．
12．如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在 ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）求证：四边形CDMN为菱形；
（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：∠DAC＝∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若AB，BD＝2，求OE的长．
15．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连结DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，请求出AE的长．
17．如图1，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE．
（1）求证：AF∥CE；
（2）如图2，连接AC，且AC＝BC，O为AC的中点．
①BC的中点为M，连接EO，EM，试判断四边形EMCO的形状，并说明理由；
②如图3，AG平分∠BAC交CE于点G，连接GO，若∠AGO＝90°，AB＝8，求AC的长．
18．如图1，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，EF与HC交于点O．
（1）求证：四边形CFHE是菱形；
（2）如图2，AB＝4，BC＝8，点H与点A重合时，求OF的长．
参考答案
一、选择题
1—8：DCCDBAAA
二、填空题
9．【解答】解：如图所示：
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC＝6cm，S菱形ABCD＝24cm2，
∴BD＝8cm，AO＝3cm，BO＝4cm，
在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2，
即有AB2＝32+42，
解得：AB＝5cm，
∴菱形的周长＝4×5＝20cm．
故答案为：20．
10．【解答】解：如图，连接CE，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，
x2+42＝（8﹣x）2
解得x＝3，
∴DE的长是3．
故答案为：3．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．
方法2：∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故答案为：20°．
12．【解答】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的AE＝a，AH＝b，
则，，，
∵S1+S2+S3＝40，
∴（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝40，
a2+b2+2ab+a2+b2+a2+b2﹣2ab＝40，
3a2+3b2＝40，
，
∴．
故答案是：．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠CDM，
∵M、N分别是AD，BC的中点，
∴BN＝DM，
∵在△ABN和△CDM中，，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；
（2）证明：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，
∴NM＝AM＝MD，
∵BN＝NC＝AM＝DM，
∴NC＝MN＝DM，
∵NC∥DM，NC＝DM，
∴四边形CDMN是平行四边形，
又∵MN＝DM，
∴四边形CDMN是菱形．
（3）解：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，
∴MN＝MDAD，
∴∠1＝∠MND，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠CND，
∵∠1＝∠2，
∴∠MND＝∠CND＝∠2，
∴PN＝PC，
∵CE⊥MN，
∴∠CEN＝90°，
∠END+∠CNP+∠2＝180°﹣∠CEN＝90°，
又∵∠END＝∠CNP＝∠2，
∴∠2＝∠PNE＝30°，
∵PE＝1，
∴PN＝2PE＝2，
∴CE＝PC+PE＝3，
∴NC2．
14．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OBBD＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2，
∴OE＝OA＝2．
15．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝2OE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴S△ABF，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
∴AE，
∴DF＝AE．
16．【解答】（1）证明：作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC，∠BAD＝90°，
∵EM⊥AD，EN⊥AB
∴EM＝EN，∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°
∴四边形ANEM是矩形，
又∵EM＝EN，
∴矩形ANEM是正方形，
又∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝∠MEN＝90°，
∴∠DEM+∠MEF＝90°，∠MEF+∠FEN＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
在△EMD和△ENF中，
，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，AD＝CD＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AG+AE＝CE+AE＝AC，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC，
∴AG+AE；
（3）作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，连接DF，如图2所示：
∵点F恰为AB的中点，AB＝4，
∴AFAB＝2，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF2＝AD2+AF2＝20，
由（1）可知：四边形DEFG是正方形，则DE＝EF，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝2EF2，
∴2EF2＝20，
∴EF，或EF（不合题意，舍去），
设EN＝x，
由（1）可知：四边形ANEM是正方形，
∴AN＝EN＝x，
∴FN＝AN﹣AF＝x﹣2，
在Rt△EFN中，由勾股定理得：EN2+FN2＝EF2，
∴AN＝EN＝3，
在Rt△AEN中，由勾股定理得：AE．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）解：①四边形EMCO为菱形．理由：
∵O为AC的中点，E为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥BC，OE＝BC．
∵E为AB的中点，BC的中点为M，
∴EM∥AC，EM＝AC，
∴四边形EMCO为平行四边形．
∵AC＝BC，
∴EO＝EM，
∴四边形EMCO为菱形．
②过点O作OH⊥EC于点H，过点G作GM⊥AC于点M，如图，
∵AC＝BC，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，AE＝AB＝4．
∵AG平分∠BAC交CE于点G，
∴∠GAE＝∠GAC，
∵GM⊥AC，GE⊥AB，
∴GE＝GM．
在Rt△AEG和Rt△AMG中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AMG（HL），
∴AE＝AM＝4．
∵CE⊥AE，OH⊥EC，
∴OH∥AE，
∵O为AC的中点，
∴OH＝AE＝2．
∵∠AGO＝90°，
∴∠AGE+∠OGC＝90°，∠AGM+∠OGM＝90°，
∵Rt△AEG≌Rt△AMG，
∴∠AGE＝∠AGM，
∴∠OGM＝∠OGH，
∵OM⊥GM，OH⊥GH，
∴OM＝OH＝2，
∴OA＝AM+OM＝6，
∵O为AC的中点，
∴AC＝2OA＝12．
18．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
即HE∥CF，
∴∠HEF＝∠EFC，
由翻折可知：∠EFC＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HE＝HF，
∵FC＝FH，
∴HE＝CF，
∵EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形；
（2）解：点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝BC﹣BF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CE＝AF＝8﹣x＝5，
∵CD＝AB＝4，
∴DE＝＝＝3，
如图，过点F作FM⊥AD于M，得矩形ABFM，矩形CDMF，
∴AM＝BF，DM＝CF，MF＝AB＝4，
∴ME＝8﹣3﹣3＝2，
由勾股定理得，EF＝＝＝2，
∴OF＝EF＝．
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