5.3正方形同步练习（含解析）

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5.3正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正方形的边长为1，顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形，又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形，……，以此类推，则第六个正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．四边都相等的四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形
3．如图所示：点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
4．将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A． B． C． D．
5．依次连接矩形各边中点所得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．如图，在四边形ABCD中，AC＝16，BD＝12，且AC⊥BD，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，下列说法错误的是（ ）
A．四边形EFGH是矩形 B．四边形ABCD的面积是92
C．四边形EFGH的面积是48 D．四边形EFGH的周长是28
7．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
8．图形分割是令人困惑有趣的．比如将一个正方形分割成若干锐角三角形，要求分割的锐角三角的个数尽可能少就是让人感兴趣的问题．下图即是将正方形分割成11个、10个、9个、8个锐角三角形的图形（如图 ①～④）：其中图④将正方形分割成8个锐角三角形不仅是一种巧妙的方法，而且图④还是一个轴对称图形，请找一找图④中全等三角形有（ ）对．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线相等 B．四条边相等
C．对角线互相垂直 D．每条对角线平分一组对角
11．我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC和CD上的两点，若AB＝1，△AEF为等边三角形，则CE＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，在正方形的外侧，作等边，则 ．

15．如图，将正方形纸片折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝ ．
16．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为(4，0)，C点的坐标为(0，6)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动在点P移动过程中，当P点到x轴的距离为5个单位时，点P移动的时间为
17．如图直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．以正方形对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD、CD交于G、H两点，若EF=2，S△ABE= ，则线段GH长度的最小值是 ．
三、解答题
18．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．
19．已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与C、D重合，CP=b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF．
观察计算：（1）如图1，当a=4，b=1时，四边形ABFD的面积为　 　；
（2）如图2，当a=4，b=2时，四边形ABFD的面积为　 　；
（3）如图3，当a=4，b=3时，四边形ABFD的面积为　 　；
探索发现：
（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？
综合应用：
（5）农民赵大伯有一块正方形的土地（如图5），由于修路被占去一块三角形的地方△BCE，但决定在DE的右侧补给赵大伯一块土地，补偿后的土地为四边形ABMD，且四边形ABMD的面积与原来正方形土地的面积相等，M、E、B三点要在一条直线上，请你在图5中画图确定M点的位置．并证明你的结论.
20．在正方形中：
(1)如图①，点E、F分别在上，且，垂足为M．求证：．
(2)如图②，如果点E、F、G、H分别在上，且，垂足M．那么相等吗？证明你的结论．
(3)如图③，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，你能猜想的度数吗？证明你的结论．
21．如图，在等腰直角三角形ABC中，，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点（点E不与端点A、C重合），且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝DO，连接DE、DF、GE、GF．
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
22．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．
（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
23．在平面直角出标系内，描出、、、四点，顺次连接四点，请直接写出四边形的形状．

24．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE，，，求证：四边形ABCD是正方形．
《5.3正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A B B D A C A
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.
【详解】顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形
则正方形的面积为
正方形的面积为
正方形的面积为
正方形的面积为
根据规律可得，第六个正方形的面积为
【点睛】本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.
2．C
【分析】利用正方形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故选项不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，正确，故选项不符合题意；
C、四边都相等的四边形不一定是正方形，错误，故选项符合题意；
D、邻边相等的矩形是正方形，正确，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
3．C
【分析】连接，先根据证明，则可得，进而可得，即可得解．
本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质、以及转化思想等知识点，转化思想的运用是解题关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
， ，
又，
， 且，
，，
∵是正方形的对角线，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
故选：C
4．A
【分析】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和．
【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为．
故选：A．
5．B
【分析】连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形为菱形．
【详解】解：连接、，
四边形是矩形，
，
、分别是、的中点，
，，
同理，，，，，，，
，
四边形为菱形，
故选：B．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
6．B
【分析】利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断选项A是否正确；由AC=8，BD=6，且AC⊥BD，可求出四边形EFGH和ABCD的面积，由此可判断选项CD是否正确；题目给出的数据求出四边形EFGH的周长，所以选项B不符合题意．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=AC，GH=AC，
∴EF=GH，同理EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形，故选项A正确，不符合题意；
∵AC=16，BD=12，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=AC BD=96，故选项B错误，符合题意；
∵四边形EFGH是矩形，且HG=AC=8，HE=BD=6，
∴四边形EFGH的面积6×8=48，故选项C正确，不符合题意；
∵EF=AC=8，HE=BD=6，
∴四边形EFGH的周长=2（6+8）=28，所以选项D正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．
7．D
【分析】设点C的横坐标为m，则点C的坐标为（m，﹣3m），点B的坐标为（﹣，﹣3m），根据正方形的性质，即可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设点C的横坐标为m，
∵点C在直线y=-3x上，∴点C的坐标为（m，﹣3m），
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC∥x轴，BC=AB，
又点B在直线y＝kx上，且点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴点B的坐标为（﹣，﹣3m），
∴﹣﹣m＝﹣3m，
解得：k＝，
经检验，k＝是原方程的解，且符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质以及解分式方程等知识点，灵活运用性质是解题的关键．
8．A
【详解】试题分析：根据轴对称图形的性质直接得出全等三角形即可．
解：∵图④是一个轴对称图形，∴图④中全等三角形有△AFC≌△EGC，△AFB≌△EGD，△BFN≌△DGN一个有3对．
故选；A．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定和轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
9．C
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，进而利用AAS可证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=1+9=10，
∴b的面积为10，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
10．A
【分析】根据菱形和正方形的性质逐项判断选择即可．
【详解】正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故A符合题意；
正方形和菱形的四条边都相等，故B不符合题意；
正方形和菱形的对角线都互相垂直，故C不符合题意；
正方形和菱形的每条对角线都平分一组对角，故D不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查菱形和正方形的性质．熟练掌握菱形和正方形的性质是解题关键．
11．D
【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：，
，
，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
12．D
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，AE＝EF＝AF，由“HL”可证△ABE≌△ADF，可得BE＝DF，设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE，进而求解．
【详解】解：∵四边形正方形ABCD，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，
在Rt△EFC中，FE2＝CF2＋CE2，
∴AB2＋BE2＝CF2＋CE2，
∴x2＋1＝2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x＋1＝0，
∴x＝2±，而x＜1，
∴x＝2﹣，
即BE的长为＝2﹣，
∴CE＝BC﹣BE＝1﹣（2﹣）＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等的判定与性质、勾股定理的应用，其中利用勾股定理建立等量关系是关键．
13．
【详解】因为阴影部分的面积=S正方形BCQW﹣S梯形VBCF，根据已知求得梯形的面积即不难求得阴影部分的面积了．
解：∵VB∥ED，三个正方形的边长分别为2、3、5，
∴VB：DE=AB：AD，即VB：5=2：（2+3+5）=1：5，
∴VB=1，
∵CF∥ED，
∴CF：DE=AC：AD，即CF：5=5：10
∴CF=2.5，
∵S梯形VBFC=（BV+CF） BC=，
∴阴影部分的面积=S正方形BCQW﹣S梯形VBCF=．
故答案为.
14．/15度
【分析】判断是顶角为的等腰三角形，求出的度数即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质及其应用．
15．45°/45度
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，
∴∠CEM=90°，
∴∠CME=90°-45°=45°
16．秒或秒
【分析】根据点P到x轴的距离为5，可知共有两种情况：P在AB边上或P在OC边上，进行分类讨论，根据点P的运动方向以及距离计算得到点的运动时间即可.
【详解】解：根据题意可知，点P距离x轴的距离为5时点P的坐标为（4,5）或（0,5）
当P的坐标为（4,5）时，P在AB边上，运动的距离为4+5=9，所以运动时间为
当P的坐标为（0,5）时，P在OC边上，运动的距离为4+6+4+1=15，所以运动时间为
∴点P的运动时间为或.
故答案为秒或秒
【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，掌握P点的运动轨迹和运动的距离是解题的关键.
17．1．
【详解】∵直线l经过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∴∠BAD=∠BDA=∠DFA=90°，AB=AD.
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF.
设AE=，则由EF=2，可得：AF==BE，
又∵S△ABE=，
∴，解得：，即AE=1，
∴BE=AF=EF-AE=2-1=1.
∴AB==AD=CD.
∵四边形ABCD是正方形，OG⊥OH，
∴∠AOD=∠GOH=90°，OA=OD，∠OAG=∠ODH=45°，
∴∠AOG+∠GOD=90°，∠GOD+∠DOH=90°，
∴∠AOG=∠DOH，
∴△AOG≌△DOH，
∴OG=OH.
∴GH=.
∴当OG最小时，GH最小.
∵当OG⊥AD时，OG最小，而此时由OA=OD，∠AOD=90°可得OG=AD=，
∴GH最小=.
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；
（2）首先利用去等三角形的性质得出CE，CF的长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，
∴BF＝DE＝6，
∵BC＝DC＝8，
∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，
在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确应用正方形的性质是解题关键．
19．16 16 16 相等与正方形PCEF的边长无关
【详解】试题分析：
（1）4×4+（1+4）×1÷2-1×5÷2=16；
（2）4×4+（2+4）×2÷2-2×6÷2=16；
（3）4×4+（3+4）×3÷2-3×7÷2=16；
（4）无论点P在CD边上的什么位置，四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积相等，与正方形PCEF的边长无关．
证明：连接BD，CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
同理∠FCE=45°，
∴BD∥CF，
∴S△BCD=S△BDF，
∴四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积相等；
（5）如图5，作BC的延长线CN，作∠DCN的角平分线交BE的延长线于点M，则四边形ABMD的面积与正方形ABCD的面积相等，点M即为所求．
考点：1等底等高三角形面积相等；2尺规作图．
20．(1)见解析
(2)相等，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用正方形的性质及垂直条件，可证明，由全等三角形的性质问题得证；
（2）结论：；分别过G、H作，证明，由全等三角形的性质即可解决；
（3）结论：；证明即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：结论：
分别过G、H作，垂足分别为T、N，两线交于点O，如图②，
∴，
∴，
∴，
∵，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）解：结论：．
∵是等边三角形，
∴；
在和中
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练运用这些知识是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，最小值为4
【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、∠ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；
（2）过点D作D⊥AC于，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．
【详解】（1）证明:连接CD，如图1所示.
∵为等腰直角三角形，，
D是AB的中点，
∴
在和中
，
∴ ，
∴,
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形.
∵O为EF的中点，，
∴，且，
∴四边形EDFG是正方形;
（2）解:过点D作于，如图2所示.
∵为等腰直角三角形，，
∴点为AC的中点，，
∴ (点E与点重合时取等号).
∴
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根据正方形的面积公式找出．
22．（1），5，0；（2）见解析；（3）①12；②或．
【分析】（1）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可；
（2）求出点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算出值即可．
【详解】解：（1）直线经过点，
，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，
，
（2）线段平行于轴，
点的纵坐标与点一样，
又点在直线上，
当时，，
即，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（3）①作于，
点在直线上，
设点的坐标为，
，，
由勾股定理，得，
即，
整理得或8（舍去），
，
，
当时，，
，
②，
当时，，
当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，
，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
23．如图所示，四边形是正方形．
【分析】根据直角坐标系中方格特点，描出各坐标对应的点，顺次连接各点后，根据正方形的判定即可得出图形的形状．
【详解】如图所示，四边形是正方形．

【点睛】本题考查直角坐标系的应用，正方形的判定，根据直角坐标系中格点的特点，能正确描出各坐标对应的点是解答的关键．
24．见解析
【分析】根据AAS证明可得，再结合四边形ABCD是矩形可得结论．
【详解】证明：在和中，
∴（AAS），
∴，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解答此题的关键．
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