6.2反比例函数的图像和性质同步练习（含解析）

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6.2反比例函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．反比例函数（，）的图象位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线经过原点，点为轴上一点，且的面积为，双曲线经过矩形的顶点、，连接，交双曲线于点，且，若平分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图，平行四边形OABC的对角线AC、OB交于点P，点P的坐标为（，1），AC∥x轴，若函数y（x＜0）的图像经过平行四边形OABC的顶点C，则点A的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（4，1） C．（4.5，1） D．（3.5，1）
6．要确定方程的解，只需知道一次函数和反比例函数的图象交点的横坐标．由上面的信息可知，k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，直线与双曲线交于点，，与两坐标轴分别交于点，，已知点，连接，，作直线，将直线向上平移个单位长度后，与双曲线有唯一交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
9．反比例函数在第一象限内的图象如图17-19所示，点M是图象上一点，MP⊥x轴，垂足为P.如果△MOP的面积为1，那么k的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
10．反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的图象上，顶点B在函数的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（　　）
A．16 B．12 C．8 D．4
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3，2)分别作轴、轴的垂线与反比例函数的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为 ．
14．如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，， ．
15．如图，已知点A在反比例函数图像上，轴于点M，且的面积为4，则反比例函数的解析式为 ．
16．如图，已知反比例函数和．点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB．若△BOC的面积为，AC：AB=2：3，则= ，= ．
17．如图，点A为反比例函数y＝（k＜0．x＜0）图象上的动点，过点A分别作x轴，y轴的平行线交反比例函数y＝于点B、点C，若AB AC＝9，则k的值为 ．
三、解答题
18．如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积．
19．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　 　．
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：　 　；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程-|x|＝5的解　 　；
②写出不等式-|x|≤1的解集　 　．
20．如图，反比例函数与一次函数交于两点．
(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若点A关于x轴的对称点为点D，求的面积．
21．如图，直线与双曲线交于，两点，连接，．
(1)求的面积；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集是 ．
22．[探究函数的图象与性质]
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下列四个函数图象中函数的图象大致是 ；
(3)对于函数，求当时，y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：∵
∴ ．
∵，∴ ．
[拓展运用]
(4)若函数，则y的取值范围 ．
23．已知点和都在反比例函数的图象上，比较与的大小．
24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．
《6.2反比例函数的图像和性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D A C C B B D
题号 11 12
答案 D A
1．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数中k的大小决定图像的位置判断即可．
【详解】当，时，反比例函数的图像位于第一象限．
故选：A．
2．C
【分析】连接，先由平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而AE//BD，再由平行线的性质得到和的面积相等，然后设点的坐标，结合得到点和点的坐标，最后结合的面积求出的值．
【详解】解：连接，
∵矩形的对角线经过原点，双曲线经过矩形的顶点、，
∴点是矩形对角线与的交点，
∴，即，
∴，
∵平分
∴，
∴，
∴AE//BD，
∵的面积为，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，角平分线的性质等知识．解题的关键是通过平行线的判定和性质得到和的面积相等．
3．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由图象可知，反比例函数，
A中不是反比例函数，故不符合要求；
B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求；
C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求；
D中不是反比例函数，故不符合要求；
故选：C．
4．D
【分析】根据反比例函数解析式可知反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，由此求解即可
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点在函数的图象上，，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，正确根据函数解析式得到反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大是解题的关键．
5．A
【分析】点C纵坐标与点P纵坐标相等，将y＝1代入解析式可得点C坐标，再根据中点坐标公式求解．
【详解】解：∵AC∥x轴，点P的坐标为（，1），
∴点C纵坐标与点P纵坐标相等为1，
将y＝1代入y中得：
x＝﹣2，
即点C坐标为（﹣2，1），
∵平行四边形OABC的对角线AC、OB交于点P，
∴点P为AC中点，
∴,
∴,
点A坐标为（3，1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．C
【分析】一次函数y=x+1和反比例函数的图象交点的横坐标是方程x+1=的解，整理后与方程x2+x-5=0比较即可求得结论．
【详解】解：∵一次函数y=x+1和反比例函数的图象交点的横坐标是方程x+1=的解，
方程x+1=整理得，x2+x-k=0，
由题意可知，k=5，
故选：C．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，明确一次函数y=x+1和反比例函数的图象交点的横坐标是方程x+1=的解是解题的关键．
7．C
【分析】根据，解出直线方程解析，双曲线解析式，从而确定直线的解析式，将直线向上平移个单位长度后，可将平移后的解析式表示出来，与双曲线有唯一交点，则含有的式子的判别式为零，由此即可求解．
【详解】解：直线与双曲线交于点，，
∴，，
解得，，
∴直线方程的解析式为，双曲线的解析式为，
∴，，且，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
将直线向上平移个单位长度后的解析式为，与双曲线有唯一交点，
∴，
整理得，，
∵有唯一解，
∴根的判别式，即，且
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查直线方程与反比例函数的综合应用，根与系数的关系，掌握直线方程，反比例方程图像的性质，运用根的判别式判断根的情况式解题的关键．
8．B
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线, 再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论．
【详解】过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE，
设A（x，），则B（2x，），
故CD=，AD=，
∵△ADO的面积为1，
∴AD OC=1，，
解得，
∴．
故选B．
9．B
【详解】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S=|k|即可求得k的值．
解：由于点M是反比例函数（k＞0）图象上一点，
则S△MOP=|k|=1；
又由于k＞0，则k=2．
故选B．
10．D
【分析】根据题意可得，进而根据一次函数图像的性质可得的图象的大致情况．
【详解】反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限．
观察选项只有D选项符合．
故选D
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得是解题的关键．
11．D
【分析】此题考查反比例函数的性质，30°的直角三角形的性质，设与轴的交点为，设点A的坐标为，则可得到，，根据三角形的面积得到 ，再根据和的取值范围求比值即可解题．
【详解】解：设与轴的交点为，点A的坐标为，
则，
，
，
，
∴，，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
故选：D．
12．A
【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后求k．
【详解】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
设A（a，b），
∵AB⊥x轴于点B，
∴ab＝16，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝16．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用面积法求k是解题的关键．
13．10．
【详解】试题分析：根据反比例函数的几何意义可得
所以四边形MAOB的面积为=10．
考点：反比例函数的性质、点与坐标．
14．
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得，即可求得结果．
【详解】解：∵点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，即图像上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积．掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．
15．
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义：过反比例函数图像上一点分别做坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为，据此即可得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为：，
反比例函数的图像在第二、四象限，
，
又轴于点M，且的面积为4，
，
，
反比例函数的解析式为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数中比例系数k的几何意义是解此题的关键．
16． 2 -3
【详解】解：设点A（0，a）
∵点A在y轴的正半轴上，
∴a＞0，
则点B（），点C（）．
∴OA= a，AB=（），AC=（），
AB=．
∵△BOC的面积为，
∴，即 ①．
又∵AC：AB=2：3，
∴，即②．
联立①②，解得=2，=－3．
故答案为：
17．﹣1或﹣4．
【分析】根据反比例函数y＝解析式设点A的坐标为（m，），根据点A、B、C的关系及反比例函数y＝，求得B（，），C（m，），根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：设点A的坐标为（m，），
∵过点A分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数y＝于点B、点C，
∴B（，），C（m，），
∴AB＝ m，AC＝ ，
∵AB AC＝9，
∴（ m）（ ）＝9，
∴k＝ 1或k＝ 4，
故答案为： 1或 4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意列出关于k的等式是解题的关键．
18．S△AOB＝．
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAP＝，S△OBP＝＝2，
∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP＝+2＝．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型．
19．(1)①1；②见解析，③见解析
(2)的图象关于轴对称轴（答案不唯一）
(3)①或；②或
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【详解】（1）①列表：当x=2时，，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：的图象关于y轴对称，
故答案为：的图象关于y轴对称；
（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
20．(1)；图象见解析
(2)或
(3)6
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用两点法画出函数图象，即可求解；
（2）由图象可知，关于x的不等式的解集为或，即可；
（3）根据点A关于x轴的对称点为点D，可得，再由三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
把A、B的坐标代入得∶
，
解得，
∴一次函数表达式为，
在网格中画出一次函数的图象如图：
（2）解：由图象可知，关于x的不等式的解集为或；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
21．(1)的面积为8；
(2)或
【分析】（1）根据点B的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点A的坐标，再求得直线与x轴交于点，根据的面积即可求解；
（2）根据图象即可求解．
【详解】（1）解：∵在双曲线上，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，即，
∴；
设直线与x轴交于点C，
令，则，
∴，
∴的面积；
（2）解：观察图象，不等式的解集是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．(1)
(2)C
(3)4，4
(4)或
【分析】（1）分母上由未知数，根据分母不为零，求出取值范围即可；
（2）根据中以及反比例函数的性质，，图象过一、三象限，进行判断即可．
（3）根据配方法进行作答即可；
（4）分和两种情况，利用（3）中的方法进行配方求解即可．
【详解】（1）函数的自变量x的取值范围是；
故答案为：；
（2）∵中以及反比例函数的性质，，图象过一、三象限可得：函数的图象大致是C；
故答案为：C；
（3）解：∵
∴．
∵，
∴．
故答案为：4，4
（4）①当时，
∵，
∴．
②当时，
∵，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟记函数的性质，准确理解和掌握题目中给出的求函数值的取值范围是解题的关键．
23．当时，；当时，．
【分析】分k＞0和k＜0两种情况分别按照反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：①∵当k＞0时，反比例函数的函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴点A（﹣2，），B（﹣1，）位于第三象限，且0＞＞．
∵3＞0，∴点C（3，）位于第一象限，
∴＞0，
∴；
②∵当k＜0时，反比例函数的函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴点A（﹣2，），B（﹣1，）位于第二象限，且＜＜0．
∵3＞0，
∴点C（3，）位于第四象限，
∴＜0，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
24．（1）k=10，b=3；（2）.
【详解】试题分析：(1)、将A点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k和b的值；(2)、首先根据一次函数求出点B的坐标，然后计算面积.
试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=，得k==2×5=10
把x=2，y=5代入y=x+b，得b=3
(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=×3×5=7.5
考点：一次函数与反比例函数的综合问题.
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