第二章一元二次方程同步练习（含解析）

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第二章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．关于x的方程有实根，则（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
5．一元二次方程x2+kx－1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．关于的一元二次方程，当时，方程的两个根是（ ）
A． B． C． D．
7．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为（ ）．
A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定．
8．用配方法解方程2x2-4x+1=0，则方程可变形为（ ）
A．（x-2）2= B．2（x-2）2= C．（x-1）2= D．（2x-1）2=1
9．已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
10．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
11．解方程的解是（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（ ）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3
二、填空题
13．一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为2+，2﹣，则p= ，q= ．
14．已知x1、x2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x13+14x2+5= .
15．如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝ 米时，梯形围栏的面积为36平方米．
16．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程是 ．
17．如果一元二次方程的两根互为相反数，那么m= ；如果两根互为倒数，那么n= .
三、解答题
18．今年9月中下旬，我市举办了以“山水福地·遇见郴州”为主题的首届旅游发展大会，“半条被子”的故乡汝城县沙洲村也因此迎来了旅游的高峰期，据了解，今年9月份该地接待参观人数为10万人，11月份接待参观人数增加到14.4万人．
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计12月份的参观人数是多少？
19．解下列一元二次方程：
（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（2）2x2﹣x﹣1＝0（配方法）．
20．
(1)解方程：x2－6x＋9＝（2x－1）2
(2)化简：．
21．用公式法解下列方程：
(1);
(2)；
(3)
(4).
22．写一个一元二次方程，它的二次项系数为1，其中一个根为，另一个根为3．
23．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，将原方程化为，解这个方程得，所以原方程的解为．利用上述方法解方程：．
24．解方程：．
《第二章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A A B D C B C
题号 11 12
答案 D B
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为，
∴，
∴
；
故选D．
2．D
【分析】利用一元二次方程解的定义，把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得12﹣2a＝0，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得3×4﹣2a＝0，
解得a＝6．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．D
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于x的方程有实根得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程有实根，
∴
解得，
故选：D
4．A
【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．
5．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选择：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式判断根的情况.
6．B
【分析】利用公式法解一元二次方程即可得．
【详解】的根的判别式，
方程有两个不相等的实数根
由公式法得：
即
故答案为：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，掌握求根公式是解题关键．
7．D
【分析】讨论：当m=5，原方程变形为-14x+5=0，一元一次方程有一个实数根；当m＞4且m≠5时，计算△得到△=4（m+2）2-4（m-5） m=36m+16，得到△＞0，根据根的判别式得到方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：当m=5，原方程变形为-14x+5=0，解得x=；
当m＞4且m≠5时，
△=4（m+2）2-4（m-5） m=36m+16，
∵m＞4，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴当m=5时，原方程有一个实数根；当m＞4且m≠5时，方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．C
【分析】根据一元二次方程配方法可直接排除选项．
【详解】解：，则，
，
，
即．
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键．
9．B
【分析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．
【详解】当m=4或n=4时，即x=4，
∴方程为42﹣6×4+k+2=0，
解得：k=6；
当m=n时，﹣6+k+2=0
∵，，，
∴，
解得：，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．
10．C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
11．D
【分析】分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2-x-2=0；当x＜0时，原方程化为：x2+x-2=0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可．
【详解】解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，
因式分解得(x-2)(x+1)=0，
解得：x1=2或x2=-1（不合题意舍去）；
当x≤0时，原方程化为x2+x-2=0，
因式分解得(x+2)(x-1)=0，
解得：x1=-2或x2=1（不合题意舍去）；
所以，原方程的根是x1=2，x2=-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程-分解因式法，分类讨论是解本题的关键．
12．B
【分析】根据题意可得且，继而求得答案．
【详解】由题意，得且，
∴且，
∴．
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．
13． 4 1
【分析】先根据根与系数的关系得到2+ +2-=-p，（2+）（2-）=q，然后进行二次根式的混合运算即可得到p与q的值．
【详解】根据题意得2+ +2-=-p，（2+）（2-）=q，
∴p=4，q=1．
故答案为4，1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2=.
14．－43
【详解】试题解析：∵x1、x2为方程x2+4x+2=0的两实根
∴x1+x2=-4，x12+4x1=-2
∴x13+14x2+5=x1 x12+14x2+5=x1 （-4x1-2）+14x2+5
=-4x12-2x1+14x2+5
=-4（-4x1-2）-2x1+14x2+5
=14（x1+x2）+13
=-56+13
=-43.
15．4或6/6或4
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，得出DC=AE=BE=x，再证明△ABE是等腰直角三角形，得出AD=CE=15-2x，然后根据梯形的面积公式即可得到一元二次方程，求解即可．
【详解】解：如图，连接DE，过点A作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，DC=AE=x，∠DAE=∠AEB=90°，
则∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠AEB=90°，
∴∠B=45°，
∴DC=AE=BE=x，
∴AD=CE=15-2x，
∴梯形ABCD面积S=（AD+BC） CD=（15-2x+15-x） x=36
解得∶x1=4，x2=6
故答案为：4或6
16．36（1-x）2=25
【分析】第一次降价后的价格为36×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1-x）×（1-x），进而即可列出方程.
【详解】解：第一次降价后的价格为36×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1-x）×（1-x），
则列出的方程是36（1-x）2=25．
故答案为：36(1-x)2=25
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系列出方程是关键.
17． 0 1
【详解】∵一元二次方程的两根互为相反数，
∴，
∴m=0.
∵一元二次方程的两根互为倒数，
∴，
∴n=1
18．(1)这两个月参观人数的月平均增长率为20%
(2)按照这个增长率，预计12月份的参观人数为17.28万人
【分析】（1）设参观人数的月平均增长率为，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据（1）求出的增长率列出算式，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：设参观人数的月平均增长率为，
由题意，得：
解得，（不合题意，舍去）
答：这两个月参观人数的月平均增长率为20%．
（2）解：（万人）
答：按照这个增长率，预计12月份的参观人数为万人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解题关键．
19．（1）x1＝1，x2＝﹣；（2）x1＝1，x2＝﹣
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1）∵3x（x﹣1）＝2﹣2x，
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
（2）∵2x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣x＝，
则x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝ ，
即x1＝1，x2＝﹣．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）先对方程进行变形，用因式分解法解方程即可；
（2）先根据异分母分式相加减对括号中的分式进行运算，然后用分式除法法则进行运算即可．
【详解】（1）x2－6x＋9＝（2x－1）2
解：方程可变为：，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
（2）
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和分式混合运算，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
21．（1）（2）（3）原方程无解．（4）
【分析】各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：(1)∵，
∴，
∴，
∴；
(2)原方程可化为，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)∵，
∴，
∴原方程无解；
(4)∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为（1）；（2）；（3）原方程无解；（4）．
【点睛】本题考查解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解题的关键．
22．
【分析】设方程为：，根据根与系数的关系，求出，再写出方程即可．
【详解】解：设方程为：
∵，
∴，
∴方程为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握：是解题的关键．
23．，.
【分析】先设,则原方程可化为，利用因式分解法求出t的值,再把t的值代入求解即可.
【详解】设，原方程可化为，
解得．
当时，，
即，此方程无实数根；
当时，，方程可化为，
即，
因式分解得，
解得，．
所以原方程的解为，．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程,正确换元是解题的关键.
24．，
【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
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