第六章反比例函数同步练习（含解析）

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第六章反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线与双曲线y=交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为
A．0 B．1 C．2 D．5
2．反比例函数y=的图象向右平移个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为y1，y2，y3，y4，y5，…，其中最小值和最大值分别为（　　）
A．y1，y2 B．y43，y44 C．y44，y45 D．y2014，y2015
3．2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列问题中，两个变量成反比例函数的是（　　）
A．矩形面积固定，长和宽的关系 B．矩形周长固定，长和宽的关系
C．正方形面积和边长之间的关系 D．正方形周长和边长之间的关系
5．下列函数的图像中，与坐标轴没有交点的是（ ）
A． B． C． D．
6．将x=代入反比例函数y=﹣中，所得函数值记为y1，又将x=y1+1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入函数中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去，则y2012的值为（　　）
A．2 B． C． D．6
7．下列函数的图象，在每一个象限内，y值随x值的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连结，当轴时，的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（ ）
A． B． C． D．
10．反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．下列两个变量之间的关系为反比例关系的是(　　)
A．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系
B．体积一定时，物体的质量与密度的关系
C．质量一定时，物体的体积与密度的关系
D．一个玻璃容器的容积为时，所盛液体的质量与所盛液体的体积之间的关系
12．如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间（分）与骑车速度（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是 千米/分．
14．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的函数关系式为 ．
15．一次函数分别与轴、轴交于A、两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点作轴的垂线交直线交于，作交直线于若，则的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为 ．
17．如图，已知点，，均在直线上，点，，均在双曲线上，并且满足：轴，轴，轴，轴，，轴，轴，记点的横坐标为为正整数若，则的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，正比例函数 y kx（k为常数）的图像与反比例函数（x>0）的图像交于点 A（a，3）．点 B 为 x 轴正半轴上一动点，过点 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图像于点 C，交正比例函数的图像于点 D.
(1)求 a 的值及正比例函数 y kx 的表达式；
(2)若CD=，求线段 OB 的长．
19．某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款万元，个月结清．与的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题：

（1）确定与的函数解析式，并求出首付款的数目；
（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？
20．如图，已知一次函数与反比例函数在第二象限的图象交于、两点．

(1)求、的值；
(2)根据图象回答：在第二象限内，当取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
(3)的面积是多少？
21．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
22．已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（1，﹣k+2）．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若（a，y1），（a+1，y2）是这个反比例函数图象上同一象限内的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由．
23．如图，已知点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象的两个交点
（1）求此反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．

24．如图，直线y＝x＋b（b≠0）分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＞0）于点D，过点D分别作x轴、y轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接OD．
(1)求证：AD平分∠CDE；
(2)对于任意非零的实数b，求证：AD BD为定值，并求出该定值；
(3)是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
《第六章反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A A A D C D D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【详解】试题分析：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，只有当A、B、O三点共线时，才会有线段AB的长度最小，此时，，故选C.
2．C
【分析】图象y=向右平移个单位长度得到一个新的函数y=，因为44＜＜45，结合图形可知：当x＜44时，y＜0，y随x的增大而减小，x=44时，得到y的最小值y44，当x＞45时，y＞0，y随x的增大而增大，x=45时，得到y的最大值y45．
【详解】解：图象y=向右平移个单位长度得到一个新的函y=，
∵44＜＜45，
∴当x＜44时，y＜0，y随x的增大而减小，x=44时，得到y的最小值y44，
当x＞45时，y＞0，y随x的增大而增大，x=45时，得到y的最大值y45．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．A
【分析】由总量=vt，求出v即可．
【详解】解（1）∵vt=106，
∴v=，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据矩形的面积、周长与其长和宽的关系，正方形面积、周长与其边长的关系，列出关系式，根据反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：A、，故长和宽成反比例函数，选项符合题意；
B、，故长和宽成一次函数，选项不符合题意；
C、，故正方形面积和边长不成反比例函数，选项不符合题意；
D、，故正方形周长和边长成正比例函数，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，根据题意列出函数关系式是解答本题的关键．
5．A
【分析】根据反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、是反比例函数，与坐标轴没有交点，故A正确；
B、是一次函数，与坐标轴有交点，故B错误；
C、是正比例函数，与坐标轴有交点，故C错误；
D、是一次函数，与坐标轴有交点，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握所学函数的性质进行判断．
6．A
【详解】x= 时，y1= ，x=+1=- ；
x=- 时，y2=2，x=2+1=3；
x=3时，y3=- ，x=-+1= ；
x= 时，y4= ；
按照规律，y5=2，…，我们发现，y的值三个一循环2012÷3=670…2，
y2012的值为2．
故选A
7．D
【分析】一次函数当k大于0时，y值随x值的增大而增大，反比例函数系数k为负时，y值随x值的增大而增大，对于二次函数根据其对称轴判断其在区间上的增减性．
【详解】解：A项，对于反比例函数，，函数的图象在其所在的每一个象限内，y值随x值的增大而减小，不合题意；
B项，对于一次函数，，y值随x值的增大而减小，不合题意；
C项，对于反比例函数，，函数的图象在其所在的每一个象限内，y值随x值的增大而减小，不合题意；
D项，对于反比例函数，，函数的图象在其所在的每一个象限内，y值随x值的增大而增大，符合题意.
故选D.
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握各个函数在每个象限内的增减性．
8．C
【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得ACOB，则AE⊥y轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE＝OE＝2，OC＝2CE＝4，接着根据菱形的性质得OB＝OC＝4，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝，所以D点坐标为（ 4，），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．
【详解】解：延长AC交y轴于E，如图，
∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，
∴ACOB，
∴AE⊥y轴，
∵∠BOC＝60°，
∴∠COE＝30°，
∴CO=2CE
而顶点C的坐标为，
∴OE＝，CE=-m，CO=-2m，
∵CO2=CE2+OE2，即（-2m）2 =（-m）2+（）2，
解得m=-2
∴OC＝2CE＝4，
∴C
∵四边形ABOC为菱形，
∴OB＝OC＝4，∠BOA＝30°，
∴OD=2BD
在Rt△BDO中，DO2=BD2+OB2，即（2BD）2 = BD 2+42，
∴BD＝，
∴D点坐标为（ 4，），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝ 4×＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
9．D
【分析】双曲线经过点，可知点的横纵坐标的积为k=-6，根据反比例函数图象上的点的坐标的特点可知双曲线经过的点．
【详解】解：双曲线经过点，
∴2×(-3)=-6，
又∵(-3)×2=-6，
∴双曲线也经过点（-3，2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
10．D
【分析】根据题意可得，进而根据一次函数图像的性质可得的图象的大致情况．
【详解】反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限．
观察选项只有D选项符合．
故选D
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得是解题的关键．
11．C
【分析】先根据题意对每个选项列出函数关系式，然后按照反比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】A， ，是正比例函数，故该选项错误；
B，，是正比例函数，故该选项错误；
C， ，是反比例函数，故该选项正确；
D，，没有指出不变量，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例关系，掌握反比例函数的概念是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．结合题意，根据反比例函数的性质可得，即可求出m的取值范围．
【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内y都是随着x的增大而减小，
，
解得：．
故选：B．
13．
【分析】先求出小宇家到学校的距离和函数关系式，再把t=15代入函数关系式即可得到结果．
【详解】解：由图知小宇家到学校的距离是：0.15×20=3（km），
设函数的解析式为：（t＞0）
又s=3，
∴（t＞0）
当t=15时，（千米/分）．
故答案为：0.2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
14．t=
【详解】试题解析：由题意得：
汽车行驶完全程所需的时间t与行驶的平均速度v之间的函数关系式是t=．
故本题答案为：t=．
点睛：根据等量关系“时间=路程÷速度”即可列出关系式．
15．
【分析】设，则，，构建方程求出的值即可．
【详解】解：设．
过点作轴的垂线交直线交于，作交直线于，
∴PC轴,轴，
点的纵坐标为，点的横坐标为，
一次函数，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
当双曲线在第四象限时，同理可得
故答案为：
注：在此两种情况中，P点位置可能不同，形成图形也有所不同，但是解题方法和结论不变，故不再一一列举．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用参数构建方程，属于中考填空题中的压轴题．
16．2
【分析】作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC = S△OAB=1，由此即可求得答案．
【详解】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，
则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，
∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴×OC×AC=ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b) 在y=上，
∴k=ab=2 ．
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题．
17．
【分析】首先根据，求出，，，，，所以，，，，，，每个数一个循环，分别是、、；然后用除以，根据商和余数的情况，判断出是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．
【详解】解：，
的坐标是，
的坐标是，
即，
，
的坐标是，
的坐标是，
即，
，
的坐标是，
的坐标是，
即，
，
的坐标是，
的坐标是，
即，
，
，，，，，，每个数一个循环，分别是、、，
，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象上的点的横纵坐标的积是定值，即；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
18．(1)
(2)4
【分析】（1）把点A（a，3）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）设点B的坐标为（b，0），代入函数表达式中，得到C和D的坐标，根据CD的长度列出方程，求出b值即可．
【详解】（1）解：把点A（a，3）代入反比例函数（x＞0）得，
a=2，
∴点A（2，3），代入y=kx得，k=，
∴正比例函数的关系式为；
（2）解：设点B的坐标为（b，0），
将x=b代入和中，得
，，
∴C（b，），D（b，），
∵CD=，
∴，
解得：b=-1（舍）或b=4，
∴OB的长度为4．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是关键．
19．（1）y=，3万元；（2）0.45万元；（3）23个月才能结清余款
【分析】（1）由图像可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y=，把（5，1.8）代入关系式可求出k的值，再根据首付款=12-k可得出结果；
（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值；
（3）知道了y的范围，根据反比例函数的性质即可求出x的范围，从而可得出x的最小值．
【详解】解：（1）由图像可知y与x成反比例，
设y与x的函数关系式为y=，
把（5，1.8）代入关系式得1.8=，
∴k=9，∴y=，
∴12﹣9=3（万元）．
答：首付款为3万元；
（2）当x=20时，y==0.45（万元），
答：每月应付0.45万元；
（3）当y=0.4时，0.4=，
解得：x=，
又∵k＞0，在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴当y≤4000时，x≥，
又x取整数，∴x的最小值为23.
答：王先生至少要23个月才能结清余额．
【点睛】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答，难易程度适中．
20．(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数解析式求得的值；然后将点的坐标代入反比例函数解析式，列出关于的方程，解方程求出的值；
（2）在第二象限内，一次函数的图象在反比例函数图象上方的部分对应的的取值范围即为所求；
（3）过、分别作轴于，轴于，根据图形计算即可．
【详解】（1）解∶∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数，
又∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得；
（2）解：∵，，
∴，
∵一次函数与反比例函数在第二象限的图象交于、两点，
∴当时，一次函数大于反比例函数的值；
（3）解：过、分别作轴于，轴于，

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时，利用了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数的解析式．同时要注意运用数形结合的思想．
21．（1），自变量取值范围是0≤x≤8；（ x>8）；（2）有效，理由见解析
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式并确定自变量求值范围即可；
（2）把y＝3时分别代入两个解析式，求出自变量的值，再判断即可求出答案．
【详解】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x，
代入（8，6）得6＝8k1，
∴k1＝，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为，自变量取值范围是0≤x≤8；
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝，
代入（8，6）得
6＝，
∴k2＝48，
∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为：（ x>8），
（2）把y＝3代入，得：x＝4，
把y＝3代入，得：x＝16，
∵16﹣4＝12>10，
所以这次消毒是有效的．
【点睛】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
22．（1）；（2）
【分析】（1）把点（1，-k+2）代入函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值即可；
（2）反比例函数的y=的图象在每一个象限内都是减函数．需要分类讨论：分a＞0，-1＜a＜0，a＜-1三种情况．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得．
∴这个反比例函数的解析式是；
①当时，则，
∵反比例函数的图象在第一象限内是减函数，
∴；
②当时，则，
由图象知；
当时，则，
∵反比例函数的图象在第三象限内是减函数，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征．解题时，需要熟练掌握反比例函数图象的性质．
23．（1），；（2）或．
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是对应的一次函数的图象在反比例函数的图象的上边的自变量的取值范围．
试题解析：
（1）把A（﹣4，2）代入y= 得：m=﹣8，
则反比例函数的解析式是：y=﹣；
把y=﹣4代入y=﹣，得：x=n=2，
则B的坐标是（2，﹣4）．
根据题意得： ，
解得： ，
则一次函数的解析式是：y=﹣x﹣2；
（2）使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围是：﹣4＜x＜0或x＞2．
24．(1)见解析
(2)见解析，定值为10；
(3)存在，理由见解析，．
【分析】（1）求出点、的坐标分别为、，得到，而，又，故，即可求解；
（2）设点的坐标为，利用勾股定理求得，而，则，即可求解；
（3）四边形为平行四边形，则，求出点的坐标为，进而求解．
【详解】（1）证明：对于，
令，解得，令，则，
即点、的坐标分别为、，
，
，
，又，
，
，即平分；
（2）证明：设点的坐标为，
，
，
，，
，
，
即为定值，该定值为10；
（3）解：存在，理由：
由（1）知，，
四边形为平行四边形，
，
当时，，解得，
故点的坐标为，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得（舍去正值），
故，
故直线的表达式为，
即存在直线，使得四边形为平行四边形，该直线的解析式的表达式为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的性质、平行四边形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
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