第四章平行四边形同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第四章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为D，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．一个五边形的内角和为（　　）
A．540° B．450° C．360° D．180°
3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，则平行四边形的面积是( )
A．20 B．24 C．30 D．48
4．平行四边形ABCD中，经过对角线交点O的直线分别交AB、CD于点E、F,则图中全等的三角形共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
5．过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成8个三角形，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形
6．某个正多边形的一个内角是它的外角的3倍，则该正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正九边形
7．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
8．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）

A． B． C． D．
10．如图，□ABCD中，AD＝5，BD＝6，AC＝a，则a的取值范围是(　　)
A．2＜a＜8 B．2＜a＜10 C．4＜a＜10 D．4＜a＜16
11．如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
13．若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
14．平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B= ，DC= cm．
15．如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、的中点，则 ．
16．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD= ．（用含有x的代数式表示）
17．已知A,B,O三点不共线,A,A'关于O点对称,B,B'关于O点对称,那么线段AB与A'B'的关系是 .
三、解答题
18．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法．
19．一个L形图如图所示，如何画一条直线将其分为面积相等的两部分？
20．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，．
求证：．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使
∴（ ）
又∵，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
21．如图，已知等边，于，，为线段上一点，且，连接，BF，于，连接．
（1）求证：；
（2）试说明与的位置关系和数量关系．
22．如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是、、、、的中点．求证：四边形是平行四边形．
23．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．
（1）若∠F=80 ，则∠ABC+∠BCD=　 　；∠E=　 　；
（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F所添加的条件为　 　．
24．如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．你能吗？
《第四章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C C C B C A D
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识．利用正多边形的性质求出，再根据三角形的内角和可得．
【详解】解：由题意得：，，
∴，，
∴，
故选：A．
2．A
【详解】【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．
【详解】根据正多边形内角和公式：180°×（5﹣2）=540°，
即一个五边形的内角和是540度，
故选A．
【点睛】本题主要考查了正多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
3．B
【分析】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的逆定理；由 AB的对角线和交于点，若，，，易求得与的长，又由勾股定理的逆定理，证得，继而求得答案
【详解】解：四边形是平行四边形，且，，
，，
，
，
是直角三角形，且，
即，
面积为：．
故选：．
4．C
【分析】根据平行四边形的性质所能得到的相等边和相等角来判断图中有多少全等的三角形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OD=OB，
∠OAB=∠OCD，∠OBD=∠ODC；
①∵AD=BC，AB=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS），同理可证得：△ABC≌△CDA；
②∵OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴△OAB≌△OCD（SSS），同理可证得：△OAD≌△OCB；
③∵OA=OC，∠OAB=∠OCD，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），同理可证得：△BOE≌△DOF．
所以图中共有6对全等三角形．
故选C．
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定，平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
5．C
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得：，
解得：，
即这个多边形是十边形，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
6．C
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据一个内角是它的外角的3倍，可得该正多边形内角和是其外角和的3倍，据此列出方程，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
∵一个内角是它的外角的3倍，
∴该正多边形内角和是其外角和的3倍，
∴，
解得：，
即这个正多边形是正八边形．
故选：C．
7．B
【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴=
故选：B
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可.
【详解】A.图为轴对称图形不是中心对称图形,不满足题意;
B.图为轴对称图形不是中心对称图形,不满足题意;
C.图为中心对称图形不是轴对称图形,满足题意;
D.图为轴对称图形不是中心对称图形,不满足题意;
故选C.
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判别,关键在于熟记基础概念.
9．A
【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【详解】解：∵正八边形的外角和为，
∴，
故选A
【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．
10．D
【详解】试题解析：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
在△AOD中，由三角形的三边关系得：
即
故选D.
点睛：三角形任意两边之和大于第三边.
11．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，，，，进而判断①；若，则，显然与已知条件不符，可判断②；证明，得到，，可判断③；再证明，得到，可判断④．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
故①正确；
若，则，显然与已知条件不符，
与不一定相等，
故②不正确；
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，故③正确；
在和中，
，
，
，
，
，故④正确．
故选：B．
12．A
【分析】根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案
【详解】解：∵多边形的外角和等于360°，且这个每个外角都等于72°，
∴它的边数为.
故选A
【点睛】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360°.
13．八（或8）
【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：根据正多边形的每一个内角为
正多边形的每一个外角为：
多边形的边数为：
故答案为八．
【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键．
14． 130° 30
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，即可求得．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，DC=AB=30cm，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=50°，
∴∠B=130°．
故答案为130°，30．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边的性质是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可．
【详解】解：点D、E分别是边、中点，
是的中位线，
，，
，
，
点F、G分别是、的中点，
是梯形的中位线，
，
故答案为：
16．180°-2x
【分析】在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．
【详解】解：在CD上截取CE=CB，如图所示，
在△ABC和△AEC中，
∴△ABC≌△AEC(SAS)
∴AE=AB，∠B=∠AEC,
∵AB=AD，
∴AD=AE，
∴∠D=∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°
∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，
∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x
∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x
故答案为：180°-2x
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．
17．平行且相等
【分析】根据中心对称图形对应线段平行且相等的性质填空．
【详解】中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是：平行且相等．
故答案为平行且相等．
【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．同时要注意中心对称图形旋转的角度为180°．
18．见解析.
【分析】把正方形网格平均分成8块，选择不同于（a）的4块选用黑色的等腰三角形地砖即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】解决本题的关键是把所给网格分为若干个地砖的和．
19．见解析
【分析】通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识．中心对称图形绕其对称中心旋转后能与原图形重合，因此过其对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分，将该图形分成两个矩形，再找出对称中心，连接这两个对称中心的直线就可以将该图形分成面积相等的两部分．
【详解】解：如图，该图形可以看成由左右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即得到符合要求的分割线．
本题的分割线不唯一．还有如下两个图形所示的方法．
【点睛】本题主要考查中心对称以及矩形的性质，熟练掌握中心对称和矩形的性质是解答此题的关键．
20．(1)；同位角相等，两直线平行
(2)②
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】（1）证明：假设．
如图2，过点O作直线，使，
（同位角相等，两直线平行）
又，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行；
（2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
故答案为：②
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键．
21．（1）详见解析；（2），，理由详见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，，由“”可证，可得；
（2）由可得，进而可得，由即可证明是等边三角形，可得，由三角形中位线定理可得，．
【详解】（1）∵是等边三角形，
，，
∵，，
∴，，
∵，
，
，
，且，，
，
，
（2），.理由如下：
连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
是等边三角形，
∵，
，且，
，.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键．
22．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟记平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，，再由中点的定义得出，，即可证出四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
，，，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形．
23．（1）200；100；（2）∠E+∠F=180°．理由见解析. （3）AB∥CD．
【详解】试题分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF=180°-∠F=100°，再由角平分线定义得出∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；由四边形ABCD的内角和为360°，得出∠BAD+∠CDA=360°-（∠ABC+∠BCD）=160°．由角平分线定义得出∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，那么∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=（∠BAD+∠CDA）=80°，然后根据三角形内角和定理求出∠E=180°-（∠DAE+∠ADE）=100°；
（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，由角平分线定义得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，又根据三角形内角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，于是∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；
（3）由（2）可知∠E+∠F=180°，如果∠E=∠F，那么可以求出∠E=∠F=90°，根据三角形内角和定理求出∠DAE+∠ADE=90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA=180°，于是AB∥CD．
试题解析：（1）∵∠F=80，
∴FBC+∠BCF=180° ∠F=100°.
∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，
∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2(∠FBC+∠BCF)=200°；
∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠BAD+∠CDA=360° (∠ABC+∠BCD)=160°.
∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，
∴∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，
∴∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=(∠BAD+∠CDA)=80°，
∴∠E=180° (∠DAE+∠ADE)=100°；
故答案为200；100；
（2）∠E+∠F=180°．理由如下：
∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，
∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，
∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，
∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，
∴∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；
（3）AB∥CD．
点睛：本题考查了三角形，四边形内角和定理，角平分线定义，平行线的判定，等式的性质，利用数形结合，理清角度之间的关系是解题的关键.
24．能，方法见解析
【分析】认真观察和思考发现，由于左边这四张牌与右边的牌完全相同．似乎没有牌被动过，所以旋转后的图形与原图形完全一样，那么被动过的这张牌上的图案一定是中心对称图形．
【详解】解：我能，方法如下：
图（1）与图（2）中扑克牌完全一样，说明被旋转过的牌是中心对称图形，
而图中只有方块4是中心对称图形，故方块4被旋转过．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义和扑克牌的花色特点可知，当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的那个．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)