第五章特殊平行四边形同步练习（含解析）

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第五章特殊平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90°
C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90° D．AB＝CD，AC＝BD
2．如图，在菱形中，，菱形的面积为，则其边长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，则的长为（　　）

A．6.25 B．6.35 C．6.45 D．6.55
4．如图，已知点P是正方形对角线上一点，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，菱形的周长为8, ,则的长为（ ）．
A． B．2 C． D．1
6．如图，添加下列条件不能判定是菱形的是（ ）.
A． B． C．平分 D．
7．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．有一个角是直角的四边形是矩形
8．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC，其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤
9．如图，已知正方形的边长为，E为边上的一点，，则的长为( )
A． B． C．5 D．10
10．如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　）

A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
11．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，对矩形中进行如下作图，依据尺规作图的痕迹，则等于（　　）
A．52° B．64° C．54° D．63°
二、填空题
13．如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是 ．
14．两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为28，图中阴影部分的面积为20，则其中一个长方形的周长为 ．
15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为 ．
16．矩形的短边长为，长边是短边的倍，则矩形的周长是 ．
17．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范围是 ．
三、解答题
18．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
(1)求A′到BD的距离；
(2)求A′到地面的距离．
19．如图，在平行四边形中，E，F分别在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，当满足 时，四边形是矩形．
20．已知:如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F.
(1)求证：；
(2)连接BF，若AD=5，AF=3，求BF的长.
21．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．
求证：GF⊥DE．
22．已知：如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 G、H 分别是 AD、BC 的中点， 点 E、O、F 分别是对角线 BD 上的四等分点，顺次连接 G、E、H、F．
(1)求证：四边形 GEHF 是平行四边形；
(2)当 AB与 BD满足条件_________时，四边形 GEHF 是矩形．
23．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．

【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为　 　．
【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为　 　．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H，连结FH.求证：四边形CFHE是菱形．
《第五章特殊平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C A D B B D C
题号 11 12
答案 A C
1．D
【详解】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
B、在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AB＝CD，
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
C、∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
D、当四边形ABCD是等腰梯形时，也满足AB＝CD，AC＝BD，故不能判定门框合格．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形判定的实际应用，熟记矩形的判定方法是解决此题的关键．
2．A
【分析】本题考查了菱形面积的计算公式，勾股定理；根据菱形的面积和可以计算的长，在中，已知、根据勾股定理即可求得的值，即可解题．
【详解】解：菱形的面积，，，
，
，，
在中，
，
菱形的边长为，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质、勾股定理，由翻转变换的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，设，根据勾股定理列方程，解方程即可．
【详解】解：由翻转变换的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正方形性质得，结合等腰三角形的性质得，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．A
【详解】试题解析：∵菱形ABCD的周长为8，∠ABC=120°，
∴AB=2，∠ABD=∠ABC=60°，AC⊥BD，
∴OA=AB sin60°=2×=，
∴AC=2OA=2．
故选A．
6．D
【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不合题意；
B、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不合题意；
C、当平分时，，在中，，可得，可得，则有，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不合题意；
D、当时，是矩形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
7．B
【分析】根据矩形的判定方法对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意；
B.四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意；
C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意；
D.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记判定方法并理解矩形是特殊的平行四边形是解题的关键．
8．B
【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=EC．
【详解】证明：如图，过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP=EF；
∠PFE=∠GAP
④∴∠PFE=∠BAP，
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
⑤∴DP=EC．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤；
故选B.
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
9．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，设，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出x的值，得出答案即可．
【详解】解：设，
∵正方形中，，
，
根据勾股定理，，
，
故选：D．
10．C
【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的，第1个正方形的边长为1，其对角线长为；第2个正方形的边长为，其对角线长为；第3个正方形的边长为，其对角线长为； ；第n个正方形的边长为．所以，第6个正方形的边长．
【详解】解：由题知，第1个正方形的边长，
根据勾股定理得，第2个正方形的边长，
根据勾股定理得，第3个正方形的边长，
根据勾股定理得，第4个正方形的边长，
根据勾股定理得，第5个正方形的边长，
根据勾股定理得，第6个正方形的边长．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理找到正方形边长之间的倍关系是解题的关键．
11．A
【分析】根据旋转的性质得到BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，得到∠EAH＝∠EAF＝45°，根据全等三角形的性质得到EH＝EF，∠AEB＝∠AEF，于是得到BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到AB＝AG，于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长，故②正确；求出EF＝BE+DF＝5，设BC＝CD＝n，根据勾股定理即可得到S△AEF＝15，故③正确；把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，再证明△AMQ≌△AMN（SAS），从而得MQ＝MN，再证明∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，设MN＝x，再由勾股定理求出x即可．
【详解】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH＝EF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；
过A作AG⊥EF于G，
∴∠AGE＝∠ABE＝90°，
在△ABE与△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB＝AG，
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝BE+DF＝5，
设BC＝CD＝n，
∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，
∴EF2＝CE2+CF2，
∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，
∴n＝6（负值舍去），
∴AG＝6，
∴S△AEF＝×6×5＝15．故③正确；
如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QM，
由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠MAN＝45°，
在△AMQ和△AMN中，
，
∴△AMQ≌△AMN（SAS），
∴MQ＝MN，
∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，
∴BQ2+MB2＝MQ2，
∴ND2+MB2＝MN2，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝12，
设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴MN＝5，故④正确，
故选A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键是旋转三角形ADF和三角形AND．
12．C
【分析】由尺规作图痕迹可知，所作分别为的平分线和线段的垂直平分线，再结合矩形的性质以及三角形内角和定理可得出答案．
【详解】解：如图，
由尺规作图痕迹可知，为的平分线，为线段的垂直平分线，
，
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质，熟练掌握矩形的性质以及角平分线和线段垂直平分线的作图方法是解答本题的关键．
13．16.
【分析】解过点A作AM⊥GH于M，由正方形纸片折叠的性质得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，则EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，由垂直于同一条直线的两直线平行得出AM∥EG，得出∠EGA=∠GAM，则∠EAG=∠GAM，得出AG平分∠DAM，则DG=GM，由AAS证得△ADG≌△AMG得出AD=AM=AB，由HL证得Rt△ABP≌Rt△AMP得出BP=MP，则△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=16．
【详解】解：过点A作AM⊥GH于M，如图所示：
∵将正方形纸片折叠，使点A落在CD边上的G处，
∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，
∴EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，
∴AM∥EG，
∴∠EGA=∠GAM，
∴∠EAG=∠GAM，
∴AG平分∠DAM，
∴DG=GM，
在△ADG和△AMG中，
∴△ADG≌△AMG（AAS），
∴AD=AM=AB，
在Rt△ABP和Rt△AMP中，
∴Rt△ABP≌Rt△AMP（HL），
∴BP=MP，
∴△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16，
故答案为16．
【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．22
【分析】设矩形的长边是a，短边是b，则，求出b，再求出a，即可得出答案．
【详解】设每个长方形的长为a，宽为，则，
∴，
∴，
∴，则每个长方形的周长是．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了矩形性质和三角形的面积的应用，解此题的关键是能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
15．（，）/（，）
【分析】根据菱形的对角线互相垂直可求出菱形的边长，根据点P的运动速度，当点P运动2015秒后，找到点P的位置，根据中点坐标公式可求解．
【详解】解：∵A（1，0），B（0，），
∴AB==2．
∵点P的运动速度为0.5米/秒，
∴从点A到点B所需时间=2÷0.5 =4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．
∵2015÷16=125…15，
∴移动到第2015秒时，点P恰好运动到AD的中点，
D ，A
，
∴P
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形中点的坐标，熟练掌握菱形的性质、坐标与图形性质、图形的规律是解决本题的关键．
16．
【分析】矩形的短边长为，长边是短边的倍，可得长边为，即可计算周长．
【详解】解：∵矩形的短边长为，长边是短边的倍，
∴矩形的较长边长为，
∴矩形的周长
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和周长，掌握矩形的性质是解题关键．
17．3＜x＜11
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=8，BD=14，
∴AO=4，BO=7，
∵AB=x，
∴7﹣4＜x＜7+4，
解得3＜x＜11．
故答案为：3＜x＜11．
18．(1)1m
(2)1m
【分析】（1）作A'F⊥BD，交BD于点F．设∠A'BF=∠1，∠BA'F=∠2，∠ABC=∠3．先证明△ACB≌△BFA'（AAS），则有A'F＝BC，即有CD＝AE；则可求出BC＝BD﹣CD＝1（m），即A'到BD的距离可求；
（2）作A'H⊥DE，交DE的延长线于点H．证得四边形A'HDF是矩形，则有A'H＝FD，问题得解．
【详解】（1）（1）如图，作A'F⊥BD，交BD于点F，设∠A'BF=∠1，∠BA'F=∠3，∠ABC=∠2．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°，
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC，
∵且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m；
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'，
∴BF＝AC＝1.5m，
如图，作A'H⊥DE，交DE的延长线于点H．
∵A'H⊥DE，BD⊥DE，
∵，
∴四边形A'HDF是矩形，
∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），
A'即到地面的距离为1m．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）首先根据平行四边形的性质可得，再结合即可证明结论；
（2）根据运用平行四边形判定矩形即可解答．
【详解】（1）证明∶ ∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：当时， 四边形是矩形，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
故答案为：．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需要证明△ABE≌△DAF得到BE=AF，即可证明EF=AE-BE；
（2）先利用勾股定理求出DF的长，进而利用全等三角形的性质求出BE，EF的长，即可利用勾股定理求出BF的长．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠AFD=∠BEA=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，
∴EF=AE-AF=AE-BE；
（2）解：如图所示，连接BF，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：，
∵△ABE≌△DAF，
∴BE=AF=3，AE=DF=4，
∴EF=AE-AF=1，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明△ABE≌△DAF是解题的关键．
21．见解析
【详解】试题分析：作辅助线（连接DG、EG）构建Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得DG=EG=BC，从而判定△DEG是等腰三角形；最后根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知GF⊥DE．
证明：连接DG、EG．
∵CD⊥AB，点G是BC的中点，
∴在Rt△BCD中，DG=BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．（2分）
同理，EG=BC．（2分）
∴DG=EG（等量代换）．（1分）
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE．（2分）
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质．熟练运用等腰直角三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接AC，由三角形中位线定理可得，可得，EH=GF，可得结论；
（2）先证明四边形ABHG为平行四边形，再证明AB=GH=EF，可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E，F分别为OB，OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴，
同理，
∴，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）当时，四边形GEHF为矩形，理由如下：
连接GH，
∵四边形ABCD是平行四边形，G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG=BH，，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴GH=AB，
∵BD=2AB，，
∴AB=BD=EF，
∴GH=EF，而四边形GEHF是平行四边形，
∴四边形GEHF是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形中位线定理等知识，证明四边形ABHG是平行四边形是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）2，9.
【详解】【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；
（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．
【详解】感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如图②，

过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，
，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴BE=FG；
（2）由（1）知，FG=BE，
连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，
∴BE=2CM=2，
∴FG=2，
故答案为2．
应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，
∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9，
故答案为：9．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、判断出CG=BE是解本题的关键．
24．证明见解析．
【分析】求出CE=EH，AC=AH，证△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，求出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HF//CE，推出CF//EH，得出平行四边形CFHE，根据菱形判定推出即可．
【详解】∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中
∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH//CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF//EH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
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