3.3方差和标准差同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
3.3方差和标准差
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲、乙、丙、丁四名射手在预选赛中所得的平均环数及其方差s2如右表所示，则选拔一名参赛的人选，应是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：
捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100
人数（单位：个） 2 4 5 3 1
关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是( )
A．众数是100 B．平均数是30 C．极差是20 D．中位数是20
3．国家统计局发布的统计公报显示：2001到2005年，我国GDP增长率分别为8.3％，9.1％，10.0％，10.1％，9.9％．经济学家评论说：这五年的年度增长率之间相当平稳，从统计学的角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据较小的是( ).
A．方差 B．中位数 C．平均数 D．众数
4．以下说法中,①如果一组数据的方差等于零,那么这组中的每个数据都相等;②分别用一组数据中的每一个数减去平均数,再将所得的差相加,若和为零,则方差为零;③在一组数据中去掉一个等于平均数的数,这组数据的平均数不变;④在一组数据中去掉一个等于平均数的数,这组数据的方差不变,正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在某次射击训练中,甲、乙、丙、丁4人各射击10次,平均成绩相同,方差分别是=0.35,=0.15,=0.25,=0.27,这4人中成绩发挥最稳定的是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，经过数据分析，3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，则这10次测试成绩比较稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
7．在2020东京奥运会女子10米气步枪的项目中，杨倩以251.8环的好成绩一举夺冠，为中国体育代表团斩获奥运首金．现将决赛淘汰阶段中国选手杨倩每一轮（两轮之和）的数据进行汇总，并进行一定的数据处理作出以下表格．
姓名 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 第6轮 第7轮 总计
杨倩 20.9 21.7 21.0 20.6 21.1 21.3 20.5 147.1
根据表格信息可以得到杨倩在决赛淘汰阶段成绩的极差和中位数分别为多少（ ）
A．1.1，20.6 B．1.2，20.6 C．1.2，21.0 D．1.1，21.3
8．甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 9 8 6 7 8 10
乙 8 7 9 7 8 8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（　　）
A．他们训练成绩的平均数相同 B．他们训练成绩的中位数不同
C．他们训练成绩的众数不同 D．他们训练成绩的方差不同
9．人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
10．现有甲组数据：1、2、3、4、5，乙组数据：11、12、13、14、15；若甲、乙两组的方差分别为a、b，则a、b的关系是( )
A． B． C． D．
11．已知：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　）
A．2， B．2，1 C．4， D．4，3
12．在﹣2，1，2，1，4，6中正确的是（ ）
A．平均数3 B．众数是﹣2 C．中位数是1 D．极差为8
二、填空题
13．在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，则考核成绩更为稳定的运动员是 （填“甲”“乙”中的一个）．
14．已知数据3x1，3x2，…，3xn的方差为3，则数据6x1，6x2，…，的方差是 .
15．截止到2012年5月31日，“中国飞人”刘翔在国际男子110米栏比赛中，共7次突破13秒关卡，成绩分别是(单位：秒)：12.97 12.87 12.91 12.88 12.93 12.92 12.95，那么，这7个成绩的中位数 ，极差是 ；平均数(精确到0.01秒)是 ．
16．标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差是，则其标准差为，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3．
已知：一组数据的方差计算公式为：．现给定一组数据：，，，，，则这组数据的标准差为 ．
17．“每天一节体育课”成深圳中小学生标配，某校初中部初三三班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：27，21，20，21，26，24，21，20，21，19．则这组数据的极差为 ．
三、解答题
18．一次期中考试中，五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示．
A B C D E 平均分 标准差
数学 71 72 69 68 70
英语 88 82 94 85 76 85
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差，并将上表补充完整；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩的标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
19．射箭时，新手成绩通常不太稳定，小明和小华练习射箭，第一局12支箭射完后，两人的成绩如图所示，请根据图中信息估计小明和小华谁是新手，并说明你这样估计的理由．
20．某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，在最近的10次选拔赛中，他们的成绩如下（单位：cm）：
甲：585，596，610，598，612，597，601，600，600，601；
乙：600，618，580，574，618，593，585，590，598，624．
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？
（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？
（4）历届比赛成绩表明，成绩达到5.96m就很可能夺冠．你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛？
21．教育部在落实“双减”的同时，推动“双增”，即增加学生参加户外活动、体育锻炼、艺术活动、劳动活动的时间和机会，增加学生接受体育和美育教育的时间和机会，确保学生的身心健康．甲、乙两名队员参加射击选拔赛，射击成绩见统计图：

根据以上信息，整理分析数据如下：
队员 平均数（环） 中位数（环） 众数（环） 方差（环）
甲 7.9 b c 4.09
乙 a 7 7 d
(1)直接写出表格中a，b，c的值；
(2)求出d的值；
(3)若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员？请结合表中的四个统计量，作出简要分析．
22．某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：周一至周五英语听力训练人数统计表
年级 参加英语听力训练人数
周一 周二 周三 周四 周五
七年级 15 20 30 30
八年级 20 24 26 30 30
合计 35 44 51 60 60
（1）填空：________；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差
七年级 24 34
八年级 14.4
（3）请你利用上述统计图表，对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
23．已知数据99，97，96，98，95，把这组数据的每个数都减去97，得到一组新数据．将这两组数据画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数．观察你画的两个图形，你发现了哪些有趣的结论？
24．某校八年级举办“弘扬五四精神”知识竞赛，为了解甲、乙两班学生的成绩情况，从两班中分别随机抽取了10名同学的竞赛成绩（单位：分，满分为100分，规定85分及以上为高分）记录如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲班 64 80 85 70 87 80 87 87 70 90
乙班 80 65 92 80 62 92 80 92 65 92
根据表格中数据，解答下列问题：
(1)请填写下表∶
平均数 众数 中位数 方差 高分率
甲班 80 87 82.5 72.8 _________
乙班 80 92 80 ________ 40%
(2)小明认为：“甲班的成绩要优于乙班”，请写出两条理由说明小明说法的正确性；
(3)若该校八年级学生数为280 人，请估计该校八年级在此次“弘扬五四精神”知识竞赛中获得高分的人数．
《3.3方差和标准差》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B B C C D B A
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】根据题意，平均成绩高且稳定的是最佳人选，再由方差越小成绩越稳定，平均数越大，成绩越好即可解答．
【详解】∵甲、乙、丙、丁四名射手在预选赛中所得的平均环数乙和丙成绩最好，
平均环数的方差s2中甲和乙最小，
∴四人乙的成绩最好且最稳定，
∴最佳人选是乙．
故选B．
【点睛】本题考查方差的意义．熟知方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定是解题的关键．
2．D
【详解】分别求出这组数据的众数，平均数，极差，中位数，作出判断：
众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是20，故这组数据的众数为20．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．因此，这组数据的平均数是：
．
根据一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差的定义，这组数据的极差是：
100－5=95．
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此这组数据排序为5，5，10，10，10，10，20，20，20，20，20，50，50，50，100，∴中位数是按从小到大排列后第7个数为：20．
综上所述，说法正确的是中位数是20．故选D．
3．A
【详解】试题解析：由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量，所以“增长率之间相当平稳”就是指数据的方差情况．
故选A．
考点：统计量的选择．
4．B
【分析】根据方差和标准差的公式，平均数的公式即可作出判断．
【详解】解：①如果一组数据的方差等于零,那么这组中的每个数据都相等,正确;②分别用一组数据中的每一个数减去平均数,再将所得的差相加,若和为零,则方差为零,错误,如2和-2的平均数是零,每一个数减去平均数,再将所得的差相加和为零,而方差为4;③在一组数据中去掉一个等于平均数的数,这组数据的平均数不变,正确;④在一组数据中去掉一个等于平均数的数,平均数不变,则各数与平均数的差的平方和不变,但数据的个数少了一个,所以数据的方差改变,错误.故选B.
【点睛】本题主要考查了标准差，方差，平均数的计算公式，是需要熟练掌握的内容．
5．B
【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．
【详解】∵S甲2=0.35，S乙2=0.15，S丙2=0.25，S丁2=0.27，∴S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．
故选B．
【点睛】本题考查了方差的性质和应用．解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．C
【详解】分析：根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答即可．
详解：因为3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，
所以这10次测试成绩比较稳定的是丙，
故选C．
点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．C
【分析】根据极差和中位数的求解方法，求解即可，极差是一组数据中最大数减去最小数，中位数为是指一组数据从小到大排列，位于中间的那个数，数据个数为奇数时，中位数为中间的数，数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值．
【详解】解：成绩从小到大依次为：、、、、、、
极差为
中位数为
故选：C
【点睛】此题考查了极差和中位数的计算，解题的关键是掌握极差和中位数的有关概念．
8．D
【详解】【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算即可得出答案．
【详解】∵甲6次射击的成绩从小到大排列为6、7、8、8、9、10，
∴甲成绩的平均数为=8，中位数为=8、众数为8，
方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=，
∵乙6次射击的成绩从小到大排列为：7、7、8、8、8、9，
∴乙成绩的平均数为=，中位数为=8、众数为8，
方差为×[2×（7﹣）2+3×（8﹣）2+（9﹣）2]= ，
则甲、乙两人的平均成绩不相同、中位数和众数均相同，而方差不相同，
故选D．
【点睛】本题考查了中位数、方差以及众数的定义等知识，熟练掌握相关定义以及求解方法是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义判断．方差越小，波动越小，越稳定．
【详解】解：∵，
∴成绩较为稳定的班级是乙班．
故选：B．
10．A
【分析】根据题意，得出乙组数据是甲组数据中的各数分别增加了10而得到的，所以数据的波动性不变，方差相等，即可得出结果．
【详解】解：∵乙组数据是甲组数据中的各数分别增加了10而得到的，
∴数据的波动性不变，
∴甲、乙两组数据的方差相等，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了方差，解本题的关键在理解在每个数据上同加一个相同的数，则新数据的方差与原来的方差相同．
11．D
【分析】本题可将平均数和方差公式中的x换成3x-2，再化简进行计算．
【详解】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5=2×5=10．
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是：
[（3x1-2）+（3x2-2）+（3x3-2）+（3x4-2）+（3x5-2）]
= [3×（x1+x2+…+x5）-10]
=4，
S′2=×[（3x1-2-4）2+（3x2-2-4）2+…+（3x5-2-4）2]，
=×[（3x1-6）2+…+（3x5-6）2]
=9× [（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x5-2）2]
=3．
故选：D．
【点睛】本题考查的是方差和平均数的性质，熟练掌握方差的概念是解题的关键．
12．D
【分析】根据平均数、众数、中位数、极差的定义可求．
【详解】解：这组数据的平均数为：（﹣2+1+2+1+4+6）÷6=12÷6=2；
在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1；
将这组数据从小到大的顺序排列为：﹣2，1，1，2，4，6，处于中间位置的两个数是1，2， 由中位数的定义可知，这组数据的中位数是：（1+2）÷2=1.5；
极差6﹣（﹣2）=8．
故选D．
【点睛】本题考查平均数；众数；中位数；极差．
13．乙
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小，成绩越稳定即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴考核成绩更为稳定的运动员是乙，
故答案为：乙．
14．12
【分析】根据方差的性质可得．新一组数据6x1，6x2，…，6xn的方差是原来数据方差的4倍．
【详解】解：一组数据的每一个数据同时加上或减去同一个数，得到的新的一组数据的方差不变；一组数据的每一个数据同时扩大m倍，得到的新的一组数据的方差是原数据方差的m2倍.
由题意，可知答案为：，
故答案为12.
【点睛】本题考查方差的计算公式即运用：一般地设有n个数据，x1，x2，…xn，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍．
15． 12.92秒 0.1秒 12.92秒
【分析】此题主要考查了极差.中位数.平均数，关键是熟练掌握其计算方法案．
【详解】将7次个成绩从小到大排列为：12.87，12.88，12.91，12.92，12.93，12.95，12.97，位置处于中间的是12.92秒，故这7个成绩的中位数12.92秒；极差：(秒)；平均成绩：(秒)．
【点睛】考核知识点：算术平均数，中位数.众数，极差.
16．
【分析】本题考查了求方差，标准差，根据方差公式进行计算，进而求得标准差，即可求解．
【详解】解：一组数据：，，，，，平均数为：，
∴
∴标准差为
故答案为：．
17．8
【分析】本题考查了极差，根据极差的定义解答即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为：19，20，20，21，21，21，21，24，26，27，
则极差是；
故答案为：8．
18．（1）表中填：70，6；（2）同学在本次考试中，数学考得更好．
【分析】（1）由平均数、标准差的公式进行计算即可；
（2）代入公式：标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩标准差计算，再比较即可．
【详解】（1）数学成绩的平均分为（分），
英语成绩的标准差为，
故表中填：70，6；
（2）数学标准分为：（分），
英语标准分为：（分）
因为，所以数学考得更好，
即同学在本次考试中，数学考得更好．
【点睛】本题考查的是标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
19．小华应是新手，理由见解析
【分析】根据图形可知，小华的射击不稳定，可判断新手是小华．
【详解】解：由图象可以看出，小华的成绩波动大，
波动性越大，方差越大，成绩越不稳定，
新手是小华．
答：小华应是新手．
【点睛】考查了方差的意义，解题的关键是掌握波动性越大，方差越大，成绩越不稳定．
20．（1），；（2），；（3）甲的平均成绩相对较高，而且波动较小；乙的平均成绩相对较低，且不稳定；（4）为了夺冠应选甲参赛；为了打破纪录，应选乙参赛．
【分析】根据平均数和方差的概念分别求得甲乙两人的平均数和方差．然后再分析．
【详解】（1）．
．
（2）．
．
（3）甲的平均成绩相对较高，而且波动较小；乙的平均成绩相对较低，且不稳定．
（4）为了夺冠应选甲参赛；为了打破纪录，应选乙参赛．
【点睛】一般地设n个数据，x1，x2，…xn，平均数=（x1+x2+x3…+xn），方差S2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小．学会分析数据和统计量，从而得出正确的结论．
21．(1)，，
(2)
(3)应选甲，理由见解析
【分析】（1）根据表格中的数据以及平均数，中位数以及众数的定义即可得出答案；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）综合平均数，中位数及众数分析即可得出答案．
【详解】（1）乙的平均数（环）
甲射击的成绩从小到大排列为：3、6、7、8、8、9、9、9、10、10
甲射击成绩的中位数（环）
甲射击成绩中出现次数最多的是9
故，，；
（2）方差
（3）应选甲，理由如下：
因为甲的平均数，中位数，众数均高于乙，所以应选甲．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，中位数，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解题的关键．
22．（1）25；（2）27；（3）①从平均训练时间的中位数角度看，八年级英语听力训练的平均训练时间比七年级多，②从参加英语听力训练人数的方差角度看，八年级参加英语听力训练的人数比七年级的更稳定；（4）400人．
【分析】（1）由题意得：；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；
（3）从众数和方差角度分析即可；
（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、八年级共480名周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．
【详解】解：（1）由题意得：；
故答案为25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，
八年级平均训练时间的中位数为：27；
故答案为27；
（3）①从平均训练时间的中位数角度看，八年级英语听力训练的平均训练时间比七年级多；
②从参加英语听力训练人数的方差角度看，八年级参加英语听力训练的人数比七年级的更稳定．
（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为，
该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为（人．
【点睛】此题考查了条形统计图，统计表，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
23．画图见解析，发现：新数据的平均数比原数据的平均数小，新数据与原数据的波动性完全相同．
【分析】先分别求解原数据与新数据的平均数，再画折线统计图，再观察图形，可得结论．
【详解】解：数据99，97，96，98，95的平均数为：
，
减去97后可得：新数据为：，0，，1，，
所以平均数为：，
画图如下：
发现：新数据的平均数比原数据的平均数小，新数据与原数据的波动性完全相同．
【点睛】本题考查的是折线统计图，求解一组数据的平均数，数据波动性的理解，掌握“求解平均数的方法”是解本题的关键．
24．(1)；135
(2)理由：甲班的中位数高于乙班；甲班的方差小于乙班；甲班的高分率高于乙班（说出两点即可）
(3)估计该校八年级在此次弘扬五四精神知识竞赛中获得高分的人数约为126人
【分析】（1）根据高分率=高分人数÷总人数即可求出甲班的高分率；根据方差计算公式即可求出乙班的方差；
（2）从中位数，方差，高分率等方面说明理由即可；
（3）用总人数乘以样本中的高分率即可得到答案．
【详解】（1）解：∵甲班85分及以上的人数为5人，
∴甲班的高分率为；
由题意得乙的方差为
填表如下：
平均数 众数 中位数 方差 高分率
甲班 80 87 82.5 72.8 50%
乙班 80 92 80 135 40%
（2）解：理由：甲班的中位数高于乙班；甲班的方差小于乙班；
甲班的高分率高于乙班（说出两点即可）；
（3）解：（人），
∴估计该校八年级在此次弘扬五四精神知识竞赛中获得高分的人数约为126人．
【点睛】本题主要考查了中位数，方差，用样本估计总体等等，熟知相关知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)