4.2平行四边形及其性质同步练习（含解析）

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4.2平行四边形及其性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，平分，交边于点E，则线段的长度分别是（ ）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
2．如图所示，在中，的平分线交于点，若，，则的周长是(　　)
A．10 B．12 C．9 D．15
3．如图，在□ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则AM与BM的夹角的度数为（　　　）
A．100° B．95° C．90° D．85°
4．如图，在中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．平行四边形的一组对角的平分线（ ）
A．一定相互平行 B．一定相交 C．可能平行也可能相交 D．平行或共线
6．如图，在中，E，F是对角线上的两点，则添加①；②；③；④中任意一个条件，能够使的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在 ABCD中，下列说法一定正确的是( )

A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB＝BC
8．中，，则的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．150°
9．如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．如图，E是 ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（　　）
A．AD=CF B．BF=CF C．AF=CD D．DE=EF
12．如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）．
A．BO=DO B．CD=AB C．∠BAD=∠BCD D．AC=BD
二、填空题
13．在平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分，则平行四边形的周长是 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=8，BC=12，则EF的长为 ．
15．在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为 ．
16．如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S□AEPH＝ ．
17．如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则 ．
三、解答题
18．已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：．

19．平行四边形ABCD，AD=6，AB=8，点A的坐标为(-3，0)，求B、C、D各点的坐标．
20．已知：如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点.
求证：.
21．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点E，于点H．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点．
如图：当点与重合时，________；
如图，当点与与均不重合时，________；
如图，当点在（或）的延长线时，________．
拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．
实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．
23．已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，若□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．
24．已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交延长线于点，连接，.
(1)求证：；
(2)若，，， 求的长.
《4.2平行四边形及其性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D C C B B B
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．
先根据角平分线及平行线的性质得出，再由等角对等边得出，从而求出的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．A
【分析】在平行四边形ABCD中，根据对边平行且相等可得： ，又由BE是的平分线，可得，
易得AE=AB，即可求得的周长．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵BE是的平分线
∴
∴
∴AE=AB=2
∵
∴
∴
∴的周长为10
故选：A
【点睛】本题考查的知识点主要是平行四边形的性质，解题中结合等腰三角形的判定“等边对等角”是关键．
3．C
【详解】在中，
∴DC∥AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，∠BAM=∠DMA，
∵点M为CD的中点，且DC=2AD，
∴DM=AD，
∴∠DMA=∠DAM，
∴∠DAM=∠BAM，
同理∠ABM=∠CBM，
即：
∴∠AMB=180°-90°=90°．
故选C．
4．B
【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行，AD＝BC，利用两直线平行得到一对内错角相等，由BE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠ABE＝∠AEB，利用等角对等边得到AB＝AE＝4，由AD﹣AE求出ED的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD＝BC＝7，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝4，
∴ED＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝7﹣4＝3．
故选：B．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
5．D
【分析】分两种情况：如果平行四边形的邻边不相等，那么它的一组对角的平分线互相平行；如果平行四边形的邻边相等，那么它的一组对角的平分线共线．
【详解】解：如图，中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，
∴∠BAD＝∠BCD，∠2＝∠3，
∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，
∴，
∴∠2＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴AE∥CF；
当是菱形时，AE与CF共线．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，将平行四边形分类讨论是解决本题的关键．
6．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，由可证，所以①符合题意；
当时，可得，即，由可证，所以②符合题意；
当时，不能判定，所以③不符合题意；
当时，由可证，所以④符合题意．
∴满足题意的有3个．
故选：C．
7．C
【详解】解：∵平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角线互相平分，
∴C正确，其余不一定正确，
故选C．
8．B
【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形邻角互补对角相等是解题的关键，根据平行四边形的性质可知，，结合可求出，从而得解．
【详解】在中，，，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形以及是的中位线是解答本题的关键．
由中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得；由、以及，可得；可得是三角形的中位线，证得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，
，故正确；
，，
，
，故错误；
，，，
，
，
，
，
，故错误；
故选：B．
10．B
【分析】由等腰三角形的角平分线性质得到DH＝EH＝3，由平行四边形的性质和平行线的性质得到DA＝DG，AH＝GH，再由勾股定理AH＝，从而得到正确答案.
【详解】如图，设AG交BD于H．
∵AD＝AE，AG平分∠BAD，
∴AG垂直平分DE，
∴DH＝EH＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AGD＝∠GAB，
∵∠DAG＝∠GAB，
∴∠DAG＝∠DGA，
∴DA＝DG，
∵DE⊥AG，
∴AH＝GH，
在Rt△ADH中，AH＝＝＝4，
∴AG＝2AH＝8．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的角平分线性质、勾股定理和平行线的性质，解题的关键是推得DA＝DG 和AH＝GH.
11．B
【详解】∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠B=∠D，AB∥CD．∵BF∥CD，∴∠F=∠FCD，∠FAE=∠D．∵AE=ED，∴△AEF≌△DEC．∴AF=CD，EF=CE．∵∠FCD=∠D，∴CE=DE．∴DE=EF．故C、D都成立；∵∠B=∠D=∠F，则CF=BC=AD．故A成立．没有条件证明BF=CF．
12．D
【分析】根据平行四边形的性质判断即可
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB（平行四边形的对边相等），正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD（平行四边形的对角相等），正确，不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意．
故选D．
13．34或38
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出．分类讨论．
由平行四边形推出，由已知得到，推出，分两种情况（1）当时，；（2）当时，求．
【详解】解：∵平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，平行四边形的周长是,
当时，平行四边形的周长是,
∴平行四边形的周长是34或38．
故答案为：34或38．
14．4
【分析】根据平行四边形的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，转化线段是解题的关键．
15．4或6．
【详解】试题分析：本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．在ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，画出图形，分类讨论：（1）当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，延长B′A交BC于点G，利用平行四边形和直角三角形的性质，可求出BC的长为6；（2）当∠AB′D=90°时，如图2，由平行四边形的性质可求出四边形ACDB′是等腰梯形，然后根据∠AB′D=90°，得出四边形ACDB′是矩形，再通过解直角三角形，得出BC的长为4．
解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=B′C=BC，
∴G是BC的中点，
在RT△ABG中，BG=AB=×2=3，
∴BC=6；
当∠AB′D=90°时，如图2，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2，
∴BC=AB÷=2×=4，
∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．
故答案为4或6．

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行四边形的性质；3．等腰梯形、矩形和直角三角形．
16．4
【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【详解】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行 四边形为平行四边形，②两组对边分别相等 四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等 四边形为平行四边形，④两组对角分别相等 四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分 四边形为平行四边形．
17．110
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出∠2+∠ABE=180 ，代入求解即可．
【详解】解：∵是等腰三角形，∠A=120 ，
∴∠ABC=∠C=(180 -∠A)÷2=30 ，
∵四边形是平行四边形，
∴OFDE，
∴∠2+∠ABE=180 ，
即∠2+30 +40 =180 ，
∴∠2=110 ．
故答案为：110 ．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．
18．见详解
【分析】根据条件证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．B(5，0)，C(8，)，D(0，)
【分析】先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质即可得到点B、点C的坐标．
【详解】解：在Rt△ADO中，AD=6，AO=3，，
∴OD==，
∴D(0，)，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD=8，
∴B(5，0)，C(8，)．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
20．证明见解析.
【分析】根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，
即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
21．(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定， 角平分线的定义：
（1）先证明，得到，再根据，利用等腰三角形性质得到结论；
（2）根据平行四边形性质和，求出BE和AB，问题得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，即，
，
平分，
，
，
又，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
．
22．（1）；（2）；（3）；拓展推广：阴影部分的面积；实践应用：三角形区域的面积．
【分析】(1)平行四边形的面积等于底乘以高，设平行四边形ABCD的高为h， △DCM边CD的高也为h，由题S平行四边形ABCD=CD×h，S△DCM=CD×h=S平行四边形ABCD=50；
(2)由（1）同理可得S△DCM =50；
(3)由（1）同理可得S△DCM =50；
拓展推广：由（1）的结论可得S△ADF=a， S△ABE=a，由此即可得阴影部分的面积；
应用，由推广的结论，有，，，由此即可求出三角形区域的面积.
【详解】 设平行四边形ABCD的边CD上的高为h，则△DCM边CD的高也为h，
∵S平行四边形ABCD=CD×h，则平行四边形的面积，
；
与同理可得；
与同理可得；
拓展推广：
根据的结论，，
，
∴阴影部分的面积；
实践应用：
根据前面信息，，
，
，
∴三角形区域的面积．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等底同高的三角形的面积等知识，弄懂题意，结合图形、熟练运用相关知识是解题的关键.
23．AB=2.6cm，BC=1.7cm
【分析】由□ABCD的周长为8.6cm，可得，再由△ABD的周长为6cm，可得AD+AB+BD=6cm，即可得到BD=6-AD-AB=1.7cm，再由线段垂直平分线的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵□ABCD的周长为8.6cm，
∴AB+AD+BC+CD=8.6cm，
∴，
∵△ABD的周长为6cm，
∴AD+AB+BD=6cm，
∴BD=6-AD-AB=1.7cm，
∵E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分线AB，
∴，
∴AB=4.3-AD=2.6cm．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据题意平分可得，从而证明即可解答
（2）由（1）可知，再根据四边形是平行四边形可得，过点作延长线于点，再根据勾股定理即可解答
【详解】（1）证明：平分
又
又
（2）
四边形是平行四边形
，
为等边三角形
过点作延长线于点.
在中，
【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题关键在于作好辅助线
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