4.5三角形的中位线同步练习（含解析）

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4.5三角形的中位线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的中线，E、F分别是，的中点，连结．若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
2．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点，于点，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（　　）
A．50° B．25° C．15° D．20
4．如图，在四边形中，是对角线的中点，点，分别是，的中点，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，下面给出三个关系式： ①AG:AD=1:2；②GE:BE=1:3 ③BE:BG=4:3，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
7．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）种植花草，尺寸如图，则的长度是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
A．12 B．14 C．24 D．21
11．如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形……，如此操作下去，那么，第6个三角形的直角顶点坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，）
C．（﹣，） D．（﹣，）
12．如图，在中，分别是的平分线，于点于点，的周长为30，，则的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
二、填空题
13．如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则BEF的面积是 ．
15．如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，连接．如果，，那么的长是 m．
16．在四边形中，，分别是边，的中点，若，，，，则 ．
17．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为 ．
三、解答题
18．如图，是四边形的对角线，E、F分别为的中点，G、H分别为的中点．请你判断与的关系，并证明你的结论．
19．（1）探究：如图（1），点P在线段AB上，在AB的同侧作△APC和△BPD，满足PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G分别是AC、BD、CD边中点，连接EF、FG、EG．求证：∠EFG＝∠GEF．
（2）应用：如图（2），点P在线段AB上方，∠APC＝∠BPD＝90°，图（1）题中的其他条件不变，若EF＝2，则四边形ABDC的面积为 ．
20．如图，AD是∠BAC的外角平分线，CD⊥AD于点D，E是BC的中点.求证：DE=(AB+AC).
21．在如图所示的四边形中，将边的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形．判断四边形的形状，并证明．
22．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5 cm，求HF的长.
23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A和点B分别在y轴和x轴上，连接，点C为的中点，．
(1)求点C坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，连接、，点P的运动时间为t秒，的面积为S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，在y轴负半轴上有一点Q，连接，过点A作于点D，与交于点E，与x轴交于点F，当时，，求此时点Q的坐标．
24．取任意一张三角形纸片，你能把它剪成四个全等的三角形吗？说明你的方法，并画出示意图．
《4.5三角形的中位线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D B D D D B A
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】根据三角形的中线的概念求出，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∵E、F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
2．C
【分析】如图，延长交于点，延长、交于点，利用等腰三角形的判定和性质和直角三角形两锐角互余可得到，点是的中点，点是的中点，再利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，延长、交于点，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，即点是的中点，
∵，，
∴是边上的中线，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义．通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
3．B
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．
【详解】在四边形ABCD中，∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PMAB，PNDC，PM∥AB，PN∥DC．
∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∴∠PMN=∠PNM．
∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN25°．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
4．D
【分析】根据三角形中位线定理得到PF=BC，PFBC，EP=AD，EPAD，即有EP=FP,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点．
∴PF是△DBC的中位线．
∴PF=BC，PFBC．
同理可得，EP=AD，EPAD．
∴EP=FP．
∵∠EPF=140°．
∴∠PFE=×（180°-140°）=20°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5．B
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意易得DF、GE分别为三角形BEC和三角形ADF的中位线，然后根据中位线的性质分析判断给出的三个关系式即可.
【详解】∵AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，
∴DF为三角形BEC的中位线,
∴ DF∥BE且DF=BE，
又∵GE为三角形ADF的中位线，
∴GE∥DF且GE=DF，
∴ ①AG:AD=1:2 ③BE:BG=4:3，正确，GE:BE=1:4,②GE:BE=1:3错误,
故本题答案为：D.
【点睛】三角形中位线的性质是本题的考点，熟练掌握并正确运用中位线的性质是解题的关键.
7．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：在中，，，，
；
平分，
，
，
；
；
E是的中点，，
；
故选：D．
8．D
【分析】设正方形边长为4a，求出DE、EF、DF，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确．
【详解】解：设正方形边长为4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵AE＝3a，EB＝a，CF＝FB＝2a，
∴ ，
，
，
∴ ，，
∴，
∴是直角三角形；
故②正确，
∵点F是BC的中点，
∴CF=BF，
在和中，
∵，
∴，
∴DF=HF，
又∵点G是DE的中点，
∴GF是的中位线，
∴，
故①正确，
在 中，点G是DE的中点，
∴，
故③正确，
∵DE=5a，EB+BC=a+4a=5a，
∴DE=EB+BC，
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
9．B
【分析】首先根据题意求出是的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可．
【详解】如图所示，

∵，
∴是的中位线
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质．
10．A
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12.
故选A.
【点睛】此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值
11．A
【分析】利用等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质分别求出第1个到第6个三角形的直角顶点坐标即可．
【详解】由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣2，2）；
第2个三角形的直角顶点坐标：（﹣1，1）；
第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
第4个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
第5个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
第6个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质、中点三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．D
【分析】延长AM、AN分别交BC于点G 、F，根据等腰三角形三线合一的性质可得， ，，再根据三角形中位线定理即可得出结论．
【详解】∵的周长为30，，
∴．
延长分别交于点，如图所示，
∵为的平分线，，
∴， ，
∵为的平分线，，
∴，
∴，
∴为的中位线，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
13．14
【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．
【详解】∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG＝BD＝4，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH＝BD＝4，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝GH＝AC＝3，
∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，
故答案为14
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．
14．
【分析】过点E作EH⊥BF于H，利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明△BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题．
【详解】过点E作EH⊥BF于H ．
∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4
∵DF=FC，AE=EC，
∴EF=AD=2， EF//AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，
∵∠ABC=90°，AE=EC，
∴BE=AE=EC=2，
∴EF=BE=2，
∵∠BAD=105°， ∠DAC=90°，
∴∠BAE=105°-90°=15°，
∴∠EAB=∠EBA=15° ，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，
∴∠FEB=90°+30°=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
∵EH⊥BF，
∴EH=EF=， FH=EH=，
∴ BF=2FH=2，
S△EFB=
故答案为．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．4
【分析】由D、E分别是AB和AC的中点得到DE是△ABC的中位线，进而得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此即可求出．
【详解】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵，
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基础题，熟练掌握中位线定理是解决本题的关键．
16．145°
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，结合图形计算即可．
【详解】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，
∴∠ADB＝∠AFE＝55°，
∵，，
∵， ，
∴，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，
故答案为：145°．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17．
【分析】连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长．
【详解】解：连接DE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC．
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4，
∴∠DEB=60°，DE=2．
∵EF⊥AC，∠C=60°，EC=2，
∴∠FEC=30°，EF=．
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．
∵G是EF的中点，
∴EG=．
在RtΔDEG中，DG=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．
18．与互相平分，证明见解析
【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．
连接，根据三角形中位线定理可得，从而证得四边形是平行四边形，即可解答．
【详解】解：与互相平分，证明如下：
如图，连接，
∵E、F分别为的中点，G、H分别为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分，
19．（1）见解析；（2）4
【分析】（1）连接AD，BC，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．再由三角形中位线定理，可得EG=GF，即可求证；
（2）连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．∠ADP=∠CBP，再由∠CND=∠PNB，AD⊥BC，再由三角形中位线定理，可得△GEF为等腰直角三角形，从而得到，再由，即可求解．
【详解】证明：（1） 如图，连接AD，BC，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB．
∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB，
∴AD=CB．
∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点，
∴EG=AD，GF=BC，
∴EG=GF，
∴∠GEF=∠GFE．
（2）如图，连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，
∵∠APC=∠BPD=90°，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB，
∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=CB，∠ADP=∠CBP，
∵∠CND=∠PNB，
∴∠DMN=∠BPD=90°，
∴AD⊥BC，
∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点，
∴EG是△ACD的中位线，GF是△DCB的中位线，
∴EG=AD，GF=BC， EGAD，GFBC，
∴GE=GF，GE⊥GF，
∴△GEF为等腰直角三角形，
∴，
∵EF=2，
∴，
∴．
故答案为：4
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．
20．证明过程见解析.
【详解】试题分析：直接证明DE=(AB+AC)比较困难，注意到E是BC的中点，联想到三角形的中位线定理，于是延长CD与BA交于F点，只需证D是CF的中点及AF=AC即可，这容易从题设证得.
试题解析：延长CD与BA交于F点.
∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，
∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，∴∠ACD=∠F，
∴AC=AF，∴CD=DF，
∵E是BC的中点，∴DE=BF=(AB+AC).
21．四边形是平行四边形，证明见解析
【分析】本题考查了三角形的中位线的性质以及平行四边形的判定，连接，可推出且、且，据此即可求证.
【详解】解：四边形是平行四边形．证明如下：
连接，如答图．
∵D，G分别是的中点，
∴且
∵E，F分别是的中点，
∴且
∴，
∴四边形是平行四边形．
22．5cm
【详解】试题分析：由三角形中位线定理和直角三角形的性质可知，DE=AC=HF．
试题解析：∵点E，D分别是AB，BC的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线，有DE=AC，
∵AH⊥BC，点F是AC的中点，
∴HF是Rt△AHC中斜边AC上的中线，有HF=AC，
∴FH=DE=5cm．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，过点C作于点M，于点N，根据直角三角形斜边中线性质可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据三角形中位线的性质可求，，即可求出点C的坐标；
（2）根据求解即可；
（3）取中点G，连接，根据三角形中位线的性质得出，，根据可证，得出，，结合三角形内角和定理和可求，再结合平行线的性质，对顶角的性质以及等角对等边可证，进而得出，则可求，即可可求Q的坐标．
【详解】（1）解∶连接，过点C作于点M，于点N，
∵点C为的中点，，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∴点C的坐标为；
（2）解：连接，过点C作于点M，
，
由（1）知：，
由题意知：，，
∴
；
（3）解：取中点G，连接，
，
∵点C为的中点，
∴，，
∵，，
∴，，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，，
∴，
又，
∴，
又Q在y轴负半轴上，
∴Q的坐标为．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，添加合适的辅助线，证明是解第（3）的关键．
24．见解析
【分析】先取的三边的中点D、E、F，连接、、，即可得出答案．
【详解】解：如图，方法为：取的三边的中点D、E、F，连接、、，沿、、剪开，即可得出四个全等的三角形，
理由如下：
∵D，E，F分别为，，的中点，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和三角形的中位线，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，通过此题培养了学生的思维能力和动手操作能力．
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