4.6反证法同步练习（含解析）

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4.6反证法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用反证法证明：“若，，则”，应先假设（　　）
A．l1与l3不平行 B．l1与l3平行
C．l1与l2平行，且l2与l3平行 D．l1与l2不平行，且l2与l3不平行
2．用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
3．用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于
4．请阅读以下关于解答“在中，，求证：”的过程：
证明：假设．
这与“三角形三个内角的和等于”相矛盾．
假设不成立．
．
这种证明方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．枚举法 D．归纳法
5．下列语句描述正确的是（ ）
A．等边对等角
B．周长相等的两个等腰三角形全等
C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合
D．用反证法证明“”时，先假设“”
6．用反证法证明“在中，，的对边是．若，则．”第一步应先假设（　　）
A． B． C． D．
7．假设命题a＞0不成立，那么a与0的大小关系只能是（ ）
A．a≠0 B．a≤0 C．a＝0 D．a＜0
8．用反证法证明“若实数a，b满足，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设（ ）
A．a，b中至多有一个是0 B．a，b中至少有两个是0
C．a，b中没有一个是0 D．a，b都等于0
9．用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ）
A． B． C． D．
10．用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设
A． B． C． D．
11．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）
A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角 D．一个角是钝角，一个角是直角
12．用反证法证明“在同一平面内，若，，则//”，第一步应假设（ ）
A．// B．与垂直 C．与不一定平行 D．与相交
二、填空题
13．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设 ．
14．用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．
15．求证：两直线平行，内错角相等．
如图1，若，且，被所截，求证：．

以下是打乱的用反证法证明的过程：
①如图2，过点作直线，使；
②依据“内错角相等，两直线平行”，可得；
③假设；
④∴；
⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是 ．
16．如图 ，已知直线AB∥CD，直线AB与EF相交于点P，那么直线EF也与直线CD相交，请在下面的推理过程中填空．
∵AB∥CD，AB．EF交于点P；
∴点P必在直线CD外．
假设直线EF和CD不相交，那么过点P就有两条直线.
AB和EF都与CD平行，这与 公理矛盾．
∴直线EF也与直线CD相交．
17．用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一个步骤是 ．
三、解答题
18．用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．
19．（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．
20．用反证法证明：一条线段只有一个中点．
21．阅读下面材料:
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下
反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.
请你举出一个反例说明命题“互补的角是邻补角”是假命题（要求：画出相应的图形，并文字语言或符号语言表述所举反例）.
22．阅读下面关于“不是有理数”的证明过程，并填空：
“不是有理数”，对于这一事实的证明，最早出现在亚里士多德（Aristotle）的著作中，但他声明来源于毕达哥拉斯学派．欧几里得（Euclid）在《原本》中给出了证明．
证明：假设应是有理数，由于，所以必然有两个正整数a，b，
使，①
而且a，b互质（即没有1以外的公因数）．
等式①两边平方，得
，即．
所以________．②
上面式子的右边是偶数，所以左边也是偶数，因而b也是________，
可设（k是正整数），代入②，得
，
即．
所以a也是偶数，这说明a，b都是偶数，不是________，
与假设相矛盾，即________有理数．
23．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于．
24．用反证法证明：如图所示，已知，那么．
《4.6反证法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B A C B C A D
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【详解】解：反证法证明：“若，，则”，先假设与不平行，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．C
【分析】根据反证法的第一步是否定结论， 大于的否定说法是小于或等于，则可判断结论．
【详解】否定结论：，则应假设：，
故选：C．
【点睛】本题考查反证法对结论的否定，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等．
3．C
【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于．
故选：C．
4．B
【分析】熟记反证法的步骤，即可得出结论；
【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有
5．A
【分析】利用等腰三角形的性质，反证法，逐个分析选项即可．
【详解】解：A. 等边对等角．说法正确，符合题意；
B. 因为周长相等的两个等腰三角形不一定全等，所以原说法错误，不符合题意；
C. 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和高线互相重合，所以原说法错误，不符合题意；
D. 用反证法证明“”时，先假设“”．应当先假设，所以原说法错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及反证法，解题的关键是是理解等腰三角形的性质以及反证法．
6．C
【分析】反证法，亦称“逆证”，是间接论证的方法之一，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题，由此即可求解．
【详解】解：根据反证法的定义，第一步应先假设，
故选：．
【点睛】本题主要考查反证法的理解，掌握反证法的概念是解题的关键，尤其需要主要的是反证法的过程是“肯定题设而否定结论”．
7．B
【分析】由于a＞0的反面为a≤0，则假设命题“a＞0”不成立，则有a≤0．
【详解】解：假设命题“a>0"不成立，那么a与0的大小关系只能是a≤0，
故选 B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8．C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【详解】解：“若实数a、b满足，则a、b中至少有一个是0．”第一步应假设：a、b都不等于0．
故选：C．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．A
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】用反证法证明命题“在中，，求证：”，第一步应是假设，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
10．D
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定．
【详解】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况，
因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．
因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°．
故选：D
11．A
【详解】试题分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断．
解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A．
点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12．D
【分析】根据用反证法证明的方法，首先从命题结论的反面出发，假设命题不正确，可以直接得出答案．
【详解】解：∵反证法证明“在同一平面内，若，，则//”，
∴第一步应假设与不平行，即与相交．
故选：D
【点睛】此题主要考查了用反证法证明的基本步骤，熟知反证法证明题目的一般步骤是解题关键．
13．一个三角形中有两个角是直角
【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
【详解】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
故答案为一个三角形中有两个角是直角．
【点睛】此题考查反证法，解题关键在于掌握其证明过程．
14．一个三角形中每个角都小于60°
【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可．
【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即一个三角形中每个角都小于60°．
故答案为：一个三角形中每个角都小于60°．
【点睛】本题考查了反证法的知识，掌握反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立是解题的关键．
15．③①②⑤④
【分析】反证法：先假设的结论的反面成立，再通过推论说明假设不成立，从而可得原来结论成立，根据反证法的步骤可得答案．
【详解】证明：③假设；
①如图2，过点作直线，使；
②依据“内错角相等，两直线平行”，可得；
⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．
④∴；
故答案为：③①②⑤④
【点睛】本题考查的是反证法的含义，掌握反证法的步骤是解本题的关键．
16．平行
【详解】∵AB∥CD，AB.EF交于点P；
∴点P必在直线CD外．
假设直线EF和CD不相交，那么过点P就有两条直线AB和EF都与CD平行，这与平行公理矛盾．
∴直线EF也与直线CD相交．
点睛：本题考查了利用平行公里和反证法证明命题，反证法的证题步骤是：(1)假设命题结论的反面成立；(2)从这个假设出发，一步步推导出与某个定理、公式或已知条件相矛盾的结论；(3)肯定原命题结论正确．
17．垂直于同一条直线的两条直线相交
【详解】试题分析：反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结论．所以第一步先提出反证垂直于同一条直线的两条直线相交.
18．见解析
【分析】直接利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
【详解】证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，假设它是直角三角形，
则，由勾股定理可知，三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，这与题给信息不符合．
所以假设错误，
所以如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的一般步骤是解题关键．
19．见解析
【分析】利用反证法的步骤证明解答即可．
【详解】证明：假设a与b相交，交点为M，
因为a∥c，b∥c，
则过M点有两条直线平行于直线c，
这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立，
故a∥b．
【点睛】本题考查反证法、平行线的判定与性质，熟记反证法的证明步骤是解答的关键，第一步：假设命题结论不成立，然后由此推出与已知或公理、定理相矛盾，最后强调假设不成立，原命题结论成立．
20．见解析．
【分析】首先假设结论的反面：一条线段可以有多个中点，不妨设有两个，根据中点的定义得出矛盾，即可证得．
【详解】解：已知：一条线段，点M为的中点．
求证：线段只有一个中点M，
证明：假设线段有两个中点，分别为点M、N，不妨设点M在点N的左边，
则，
又∵，
这与矛盾，
∴假设不成立，线段只有一个中点M．
∴一条线段只有一个中点．
【点睛】本题主要考查了反证法，正确理解反证法的基本思想是解题的关键．
21．详见解析
【分析】说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．举反例时，画出两个互补且不是的邻补角的角即可．
【详解】解：反例：如图，AB∥CD，∠1与∠2是同旁内角，所以∠1与∠2互补，但是它们不是邻补角．
【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握举反例的方法．
22．；偶数；互质的两个数；不是
【分析】根据被除数等于商乘以除数可得；其它几问根据奇数、偶数、互质数的概念和反证法的要求填写即可．
【详解】解：
故答案为：
∵是偶数，∴也是偶数．
故答案为：偶数
∵a、b都是偶数，∴a、b不是互质数．
故答案为：互质数
∵假设“是有理数，”，在假设的基础上，经过推理得出的结论“a、b不是互质数”与“a、b是互质数”相矛盾，
∴假设“是有理数”不成立．
∴不是有理数．
故答案为：不是
【点睛】本题考查了反证法的知识点，熟知反证法的步骤和方法是解题的基础，等式的恒等变形、奇数、偶数和互质数的概念的理解和运用是解题的关键．
23．证明见解析
【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【详解】证明：假设这五个数都小于，
则五个正数的和一定小于1，与已知矛盾，故原命题正确，
即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个大于或等于．
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
24．见解析．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，进而证明即可解答．
【详解】证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图，
∵，
∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立，
∴原命题正确．
【点睛】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
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