5.1矩形同步练习（含解析）

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5.1矩形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝4cm，∠AOB＝60°，则这个矩形的对角线长是（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（ ）
A．48° B．66° C．72° D．78°
3．如图，在矩形中， 点是的中点，点在上，且若在此矩形上存在一点，使得是等腰三角形，则点的个数是（ ）

A． B． C． D．
4．已知矩形的两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，图中的是将矩形沿对角线折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则等于( ).
A． B． C． D．
8．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置．若∠AED′＝40°，则∠EFB的度数为( )
A．70° B．65° C．80° D．35°
9．如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
11．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90°
C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90° D．AB＝CD，AC＝BD
12．如图，一根木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（OM）上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离（　　）
A．变大 B．变小
C．先变小后变大 D．不变
二、填空题
13．如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为 ．
14．如图，在四边形中，将两条对角线与平移，使平行等于，平行等于，连接．
(1)当四边形满足 时，四边形是矩形；
(2)若，，且与的夹角满足时，四边形面积的最小值为 ．

15．如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 =
16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=20，则CD= ．
17．如图，延长矩形ABCD边BC至点E，使，连接AE，如果，则 ．
三、解答题
18．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形．
19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
(1)填空：线段的长为___________；
(2)折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交于点D，交于点E，连接，如图2．
①求线段的长___________．
②在y轴上，是否存在点P，使得为以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．
21．请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：
(1)如图3，在图2的基础上，设与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为 ；
(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值 ；
(3)求出的最小值．
22．课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：
（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．
（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．
（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．
23．已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形．
24．已知：如图，在四边形中，互相平分于点O，．求证四边形是矩形．
《5.1矩形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A D D D A A C
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】矩形的两条对角线相等且互相平分，结合等边三角形的判定方法解题即可．
【详解】如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AB＝4cm，
∴AC＝2AO＝8cm．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．C
【分析】由折叠及矩形的性质可得，再根据平行线的性质求出，根据周角的定义求解即可．
【详解】∵将一矩形纸片沿AB折叠，
∴，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．D
【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当为腰，为顶角顶点时，②当为腰，为顶角顶点时，③当为底，为顶角顶点时，分别确定点P的位置，即可得到答案．
【详解】∵在矩形中，，点是的中点，
．
∴是等腰三角形，存在三种情况：
①当为腰，为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在上存在两个点P，在上存在一个点P，共个，使是等腰三角形；
②当为腰，为顶角顶点时，
在上存在一个点，使是等腰三角形；
③当为底，为顶角顶点时，点一定在的垂直平分线上，
∴的垂直平分线与矩形的交点，即为点，存在两个点．
综上所述，满足题意的点的个数是．
故选．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．
4．A
【分析】根据矩形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示，
在矩形中，，，，
故B、C、D选项结论正确，
当四边形为菱形或正方形时，成立，
故结论不一定正确的是A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形的对边互相平行且相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等．
5．D
【分析】根据对称的性质和全等三角形的概念求解即可．
【详解】如图，

由轴对称的性质可得；；；，
共有4对，
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠对称的性质，全等三角形的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6．D
【分析】由图②可知，当点到达点时，的面积为6，此时的高为，则，解得，而，由此即可求解．
【详解】解：由图②可知：当点到达点时，的面积为6，此时的高为，
∴的面积，
解得①，
而从图②还可知：②，
由②得：③，
将③代入①，得：，
解得：或，
当时，，
当时，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解，也考查了矩形的性质以及解一元二次方程．
7．D
【分析】根据题意先求出∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，利用直角三角形两锐角互余求得∠B=67.5°，再根据直角三角形斜边上中线性质得到BE=CE，求得∠BCE的度数，进而得到答案.
【详解】∵，，
∴∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，
∵，
∴∠B=90°﹣∠BCD =90°﹣22.5°=67.5°，
又∵是斜边的中点，
∴BE=CE，
∴∠BCE=∠B=67.5°，
∴67.5°﹣22.5°=45°.
故选D.
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
8．A
【详解】∵∠AED′=40°，
∴∠DED’=180°-40°=140°，
又由折叠的性质可得，∠D’EF=∠DEF=1/2∠DED’，
∴∠DEF=70°，
又∵AD∥BC，
∴∠EFB=70°．
9．A
【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积等于2个的面积，而的面积又等于矩形的一半，所以可得两个矩形的面积关系．
【详解】解：∵
∴，，
，
故选：A．
10．C
【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG=AB=3，从而求出DG=2，最后再用勾股定理求解即可．
【详解】解：在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4，
∴BD=5
由折叠得，∠BGE=∠A=90°，BG=AB=3，EG=AE，
∴DG=BD-BG=2，DE=AD-AE=4-AE，
在Rt△DEG中，EG2+DG2=DE2，
∴AE2+4=（4-AE）2，
∴AE=．
故选C．
【点睛】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
11．D
【详解】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
B、在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AB＝CD，
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
C、∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
D、当四边形ABCD是等腰梯形时，也满足AB＝CD，AC＝BD，故不能判定门框合格．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形判定的实际应用，熟记矩形的判定方法是解决此题的关键．
12．D
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出 即可得出答案．
【详解】在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，理由是：
连接OP，
∵，P为AB中点，
∴
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是.
故选D.
【点睛】考查直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
13．4
【分析】因为EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EF⊥BC时，即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与F重合，即可求解．
【详解】解：∵动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，
∴AE=CF
∴EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上，
∴当EF⊥BC时，即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与F重合，
∴CP=
故答案为：4
【点睛】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P的位置是解题的关键．
14．
【分析】（1）当四边形满足时，四边形是矩形，先根据平移的性质证出四边形是平行四边形，再证得，即可得到四边形是矩形；
（2）设与交于点，过点作于点，过点作于点，根据题意当越大时，越大，进而可得，从而求出四边形面积的最小值．
【详解】解：（1）当四边形满足时，四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
即，
四边形是矩形，
故答案为：；
（2）设与交于点，过点作于点，过点作于点，

∴
∵与的夹角满足
当越大时，越大，
当时，四边形面积的最小，
此时，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平移的性质，等腰直角三角形的性质，四边形的面积，熟练掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形；熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15．
【分析】根据轴对称、矩形、直角三角形斜边中线的性质，得，根据轴对称的性质，得、；再根据矩形和勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ
∴，
∵点F是线段AQ的中点
∴
设
∴
∵将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，
∴，
∴
设，
如图，过点F作，交CD于点G，过点F作，交AD于点K，延长KF，交BC于点H
∴四边形、为矩形
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
在直角中，
∴
∴
在直角中，
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
16．10
【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AB=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
17．20°/20度
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=40°，可得∠E度数．
【详解】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
18．见解析
【分析】根据平行四边形的两组对边分别相等可证△ABM≌△DCM，可知∠A＝∠D＝90°，所以是矩形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，即有一个角是90度的平行四边形是矩形．
19．(1)
(2)①线段的长为5；②或或
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，利用矩形的性质及勾股定理，可得出的长；
（2）①设，则，在中，利用勾股定理可求出a的值，进而可得出线段的长；
②设点P的坐标为，利用两点间的距离公式可求出 的值，分及二种情况，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，进而可得出点P的坐标．
【详解】（1）当时，，
∴点C的坐标为；
当时，，解得：，
∴点A的坐标为．
由已知可得：四边形为矩形，
∴．
故答案为： ．
（2）①设，则．
在中，，即，
解得：，
∴线段的长为5．
②存在，设点P的坐标为．
∵点A的坐标为，点D的坐标为，
∴ ．
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为或；
当AP＝DP时，
解得：，
∴点P的坐标为．
综上所述：在y轴上存在点P，使得为以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、两点间的距离以及解解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；（2）①通过解直角三角形，求出的长；②分及二种情况，找出关于t的一元一次方程．
20．（1）见解析（2）①1；②2
【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；
（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；
②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM=1=AD，
∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE=AM=1，
∵∠DAM=60°，
∴ME=DE=AM，
∴∠ADM=∠EMD,∠AEM=60°，
∴∠ADM=30°
∵∠DAM=60°，
∴∠AMD=90°，
∴平行四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM=2，
∴AM=AD=2，
∠DAM=60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM=DM，
∴平行四边形AMDN是菱形．
21．(1)3
(2)3
(3)
【分析】（1）作AEl，交BD的延长线于E，根据已知条件求得△CPA’是等腰直角三角形，然后得到△BEA’是等腰直角三角形，从而求得A’B的值；
（2）作AEl，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A’E，然后根据勾股定理即可求得A’B，从而求得AP＋BP的值；
（3）设AC＝5m 3，PC＝1，则PA＝；设BD＝8 5m，PD＝3，则PB＝，结合（2）即可求解．
【详解】（1）解：作A’El，交BD的延长线于E，如图3，
∵AA’⊥l，BD⊥l，
∴DE⊥A’E
∴四边形A’EDC是矩形，
∵CP＝ AC＝1
∴CP＝ A’C
∴△CPA’是等腰直角三角形，
∴∠CA’P=45°
∵A’El，
∴∠CA’E=90°
∴∠BA’E=45°
∴△BEA’是等腰直角三角形，
∵A’E=CP+DP=3
∴BE=A’E=3
∴A’B=
∴AP+BP= A’B=3
故答案为：3；
（2）作A’El，交BD的延长线于E，如图3，
∵AA’⊥l，BD⊥l，
∴DE⊥A’E
∴四边形A’EDC是矩形，
∴A’E＝DC＝6，DE＝A’C＝AC＝1，
∵BD＝2，
∴BD＋AC＝BD＋DE＝3，
即BE＝3，
在Rt△A’BE中，A’B＝，
∴AP＋BP＝A’P＋BP＝A’B＝3，
故答案为：3；
（3）如图3，设AC＝5m 3，PC＝1，则PA＝=；
设BD＝8 5m，PD＝3，则PB＝=，
∵DE＝AC＝5m 3，
∴BE＝BD＋DE＝5，A’E＝CD＝PC＋PD＝4，
∴PA＋PB的最小值为A’B＝，
∴为．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
22．（1）证明见解析（2）是标准纸，理由见解析（3），
【详解】解：（1）证明： ∵矩形ABCD是标准纸，∴．
由对开的含义知：AF=BC，∴．
∴矩形纸片ABEF也是标准纸．
（2）是标准纸，理由如下：
设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM．
∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE=∠BAD=45°．
∴△ADG是等腰直角三角形．
∴在Rt△ADG中，AD=，
∴，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸．
（3）对开次数：
第一次，周长为：，
第二次，周长为：，
第三次，周长为：，
第四次，周长为：，
第五次，周长为：，
第六次，周长为：，
…
∴第5次对开后所得标准纸的周长是：，
第2012次对开后所得标准纸的周长为：．
（1）根据，得出矩形纸片ABEF也是标准纸．
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出，即可得出答案．
（3）分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律求出即可：观察变化规律，得
第n次对开后所得标准纸的周长=
23．见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形．
【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点是的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
24．证明见解析．
【分析】先证明四边形是平行四边形，如图，连接 再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 从而可得结论.
【详解】证明：如图，连接
互相平分于点O，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形.
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定，连接 证明是解本题的关键.
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