5.2菱形同步练习（含解析）

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5.2菱形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（ ）．
A．一组邻边相等的平行四边形 B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形
2．如图，在菱形中，，，点E是对角线上一个动点（不与A，C重合），点F是边上一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），四边形OABC是菱形，，以OB为边作菱形，使顶点在OC的延长线上，再以为边作菱形，使顶点在的延长线上，再以为边作菱形，使顶点在的延长线上，按照此规律继续下去，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图3，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
5．下列图形中，具备“对角线相等”的性质的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
6．小红按如下操作步骤作图：
①作线段AB；
②分别以点A、B为圆心，以线段d(d>AB)的长为半径画弧，分别相交于点C、D两点；
③连接AC、BC、AD、BD．
则四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对
7．如图，等边三角形沿射线向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②互相平分；③四边形 是菱形；④.其中正确的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4
8．菱形ABCD的周长是20，对角线AC=8，则菱形ABCD的面积是( )
A．12 B．24 C．40 D．48
9．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）

A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．都有可能
10．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，下列结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③当点H与点A重合时，EF=2．其中结论正确的个数是（
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图，菱形 ABCD 中， 对角线 AC = 6，BD = 8，AE ⊥ BC 于点 E ，则 AE 的值为（　　）
A．4.8 B．9.6 C．19.2 D．10
12．如图，是菱形的对角线，分别是边的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C．四边形是菱形 D．四边形是菱形
二、填空题
13．如图，请你添加一个适当的条件 ，使平行四边形ABCD成为菱形．
14．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→ 的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2021s时，点P的坐标为 ．
15．已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=24，则菱形ABCD的面积为 ．
16．如图，菱形的对角线相交于点分别是边上的中点，如果，那么菱形的边长为 .
17．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为 ．
三、解答题
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：
①当AM的值为　　 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为　　 时，四边形AMDN是菱形．
19．如图，为等腰三角形，把它沿底边翻折后，得到．
求证：四边形是菱形．
20．在直角坐标系中，四边形的顶点A，B，C，D的坐标依次为，求x，y，z的值，使得四边形是菱形．
21．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．
22．在菱形中，点为边的中点，，垂足为点， 垂足为点．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，如图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若菱形的面积为，菱形的周长为，四边形的面积为 ，线段的长为 ．
23．如图，在中，点，分别在线段，上，连接，，，，求证：四边形是菱形．
24．如图，在菱形中，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)分别延长和相交于点G，若，，求的值．
《5.2菱形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D D B D B A C
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】由菱形的判定性质，即可得到答案．
【详解】选项A、C、D均为菱形的判定定理，故正确；
选项B，一条对角线平分一组对角，和菱形每一条对角线平分一组对角的性质相悖
∴选项B错误
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形判定定理的知识；求解的关键是熟练并准确掌握菱形判定定理，即可完成求解．
2．B
【分析】在菱形中，点B关于AB对称点为点D，过点D作AB的垂线交于点F，交AC于点E，这时最小为DF，根据三角函数得，即可算出答案．
【详解】
如图所示，连接DE，DF
ABCD是菱形，
，，
，
，
，
，
当时，DF最小，
这时
，
，
即的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质和轴对称最短路线问题，解题关键是得到的最小值为菱形ABCD中AB边上的高．
3．A
【分析】连接AC、BC1，分别交OB、OB1于点D、D1，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB的长，进一步在菱形OBB1C1计算出OB1，过点B1作B1M⊥x轴于M，利用勾股定理计算出B1M，OM，从而得B1的坐标，同理可得B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9，B10，B11，B12，根据循环规律可得B2021的坐标．
【详解】解：如图所示，连接AC， 分别交OB，与D、，
∵点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，
∴OC=OA=1，OB=2OD，∠COD=30°，∠CDO=90°，
∴，
∴，
∴，
∵∠AOC=60°，
∴∠B1OC1=90°-60°=30°，
∵四边形OBB1C1是菱形，
，
在Rt△OC1D1中，
∴，
∴OB1=2OD1=3，
过点B1作B1M⊥x轴于点M，
在Rt△OMB1中，
∴
∴，
同理可得，
，
，
，
由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次菱形的边长变成原来的倍即，
∵2021÷12=168……5，
∴B2021的纵坐标符号与B5的相同，则B2021在y轴的负半轴上，
又
∴B2021的坐标为，
故选A
【点睛】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键．
4．D
【详解】过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD．
解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM=4
PM∥CO
∴∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，
又∵PD⊥OA
∴PD=PC=2．
故选Ｄ．
5．D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质即可确定．
【详解】解：A.平行四边形对角线不一定相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；
B.菱形对角线不一定相等，对角线相等的菱形是正方形，故此选项错误；
C.梯形的对角线不一定相等，只有等腰梯形的对角线相等，故此选项错误；
D.矩形的对角线相等，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质，正确理解性质是关键．
6．B
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
【详解】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．
7．D
【分析】先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确，根据③的结论，可判断④正确．
【详解】∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，故①正确：
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分，故②正确；.
由①可得AD=AC=CE=DE，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴.故④正确故选D.
【点睛】此题考查平移的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是先判断出△ACD是等边三角形.
8．B
【详解】解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=20÷4=5，AC⊥BD，OA=AC=4，∴OB= =3，∴BD=2OB=6，∴菱形ABCD的面积是： AC BD=×8×6=24．故选B．
点睛：此题考查了菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是熟练运用勾股定理以及菱形的各种性质．
9．A
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选A．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，利用平行四边形的面积公式得到一组邻边相等是解题关键．
10．C
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确； ②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误； ③过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出③正确．
【详解】解：①∵，
∴∠HEF=∠EFC，
∵∠EFC=∠HFE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴HE=HF，
∵FC=FH，
∴HE=CF， ∵，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
②∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时，EC平分∠DCH， 故②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2， 即42+x2=（8-x）2， 解得x=3，
此时
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=8-3-3=2，
由勾股定理得， ， 故③正确；
综上所述，结论正确的有①③共2个．
故选C．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
11．A
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=3，BO=4，然后根据勾股定理可求出AB长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD=4，
∴∠AOB=90°，
∴，
∴菱形ABCD的面积是，
∴，得，
解得，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的面积，勾股定理，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
12．D
【分析】根据菱形的性质和三角形的中位线以及菱形的判定可得AC⊥BD且DO=BD，再根据三角形的中位线可得EF=BD，即可得出结论
【详解】∵是菱形的对角线，
∴AC⊥BD且DO=BD，
∵分别是边的中点，
∴EF=BD，EF//BD，
∴EF=DO， ∴选项A正确．
∵AC⊥BD，EF//BD
∴，∴选项B正确．
∵是菱形的对角线，
∴BC=CD，O为AC的中点
∵分别是边的中点，
∴EO//BC//AD，FO//CD//AB且EO=FO=BC=DC
∴四边形是菱形，∴选项C正确．
∵EF//BD，FO//AB
∴.四边形是平行四边形
∴选项D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、三角形的中位线定理、平行四边形的判定以及平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13．
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形解题．
【详解】解：由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得，应添加条件：
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的判定，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14．（-，-）
【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．
【详解】解：∵A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），
∴AO=1，OB=，
∴AB==2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=2，
∴点P每运动8秒回到点A位置，
∴2021÷8=252…5，
∴点P移动到第2021秒时，落在CD的中点处，
∵C（-1，0），D（0，-），
∴此时点P（-，-），
故答案为（-，-）．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键．
15．120
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】解：菱形ABCD的面积
【点睛】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
16．
【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=AC=4，OB=BD，证出EF是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出BD=2EF=12，得出OB=6，由勾股定理求出AB即可．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∴.
∵分别是边上的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴
∴.
【点睛】此题考查菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出AC，由勾股定理求出AB是解题的关键．
17．24
【分析】设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=48，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，
∴ab=48，
∴菱形的面积=ab=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)①3；②6
【分析】（1）利用AAS证△NDE≌△MAE，得出NE＝ME，进而得出结论；
（2）①当四边形AMDN是矩形时∠AMD=90°，由菱形的性质得AD=6，进而求出AM的值；
②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM，由∠DAB＝60°，得出△AMD为等边三角形，进而求出AM的值．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD
∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE
∵点E是AD边的中点
∴AE＝DE
∴△NDE≌△MAE（AAS）
∴NE＝ME
∴四边形AMDN是平行四边形
（2）解：①当四边形AMDN是矩形时
∠AMD=90°
在菱形ABCD中AD＝AB＝6
∵∠DAB＝60°
∴∠ADM=30°
∴AM=AD=3
故答案为：3．
②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM
∵∠DAB＝60°
∴△AMD为等边三角形
∴AM=AD
在菱形ABCD中AD＝AB＝6
∴AM=6
故答案为：6．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30°的直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键．
19．见解析
【分析】根据翻折得出，，推出，根据菱形的判定推出即可．
【详解】解：证明：将延底边翻折得到，
，，
，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定和翻折变换的应用，解此题的关键是求出，题目比较典型，难度不大．
20．，，
【分析】根据点A、C的坐标得出轴，，连接、交于点E，根据菱形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴轴，，
连接、交于点E，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】题目主要考查菱形的性质及坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
21．四边形PCOD是菱形．理由见解析
【分析】先根据PD∥OC，PC∥OD，说明四边形PCOD是平行四边形．再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明结论.
【详解】四边形PCOD是菱形．理由如下：
∵PD∥OC，PC∥OD，
∴四边形PCOD是平行四边形．
又∵OC=OD，
∴平行四边形PCOD是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键. 菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
22．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）78，或
【分析】（1）如图①中，如图1中，过点作于．证明可得结论．
（2）如图②中，结论：．如图③中，结论：．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）根据菱形的周长求出菱形的边长，利用菱形的面积公式求出菱形的高，再利用勾股定理求出，利用（2）中结论解决问题即可．
【详解】解：（1）如图①中，如图1中，过点作于．
四边形是菱形，
，，，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
（2）如图②中，结论：．
理由：过点作于．
同法可证，，，
．
如图③中，结论：．
理由：过点作于．
同法可证，，，
．
（3）菱形的周长为52，
，
菱形的面积，，
，
，
，
四边形的面积．
，
，
，
如图②中，，
如图③，
故答案为78，或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得，，然后再依据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，对边的等式进行等量代换得出，最后依据菱形的判定定理即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定定理，熟练掌握各个判定定理，融会贯通综合运用是解题关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质可知DC=BC，再根据，，可证得，则有，问题得解；
（2）根据菱形的性质以及∠A=45°可证得△ABG是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
即；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，AD=AB=1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．
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