第二章直线与圆的位置关系同步练习（含解析）

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第二章直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，以A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点M，与AB相交于点E，若AD=2，BC=6，则扇形DAE的面积为（ ）
A．π B．π C．3π D．π
2．如图，PA、PB是的两条切线，切点分别为A、B连接OA、OB、AB、PO，PO与AB交于点C，若，，则PO的长为（ ）

A．12 B．8 C． D．4
3．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
4．如图，与相切于点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
6．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．3
7．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　）
A．3 B．3 C．6 D．9
8．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则r的取值是(　 　)
A．r>5 B．r＝5 C．r<5 D．r≤5
9．下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
10．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O于点C，∠CAB=27°，则∠B等于（ ）.
A．36° B．54° C．110° D．140°
11．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
12．已知的半径为是直线上的三个点，点到圆心的距离分别为，，则直线和的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
二、填空题
13．如图，分别与相切于点A、B，的切线分别交于点E、F，切点C在上．若长为2，则的周长是 ．
14．如图，是一张周长为的三角形纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为 ．
15．如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是 ．
16．中，，以C点为圆心，作半径为r的圆，
则（1）当r满足 时，和直线相离；
（2）当r满足 时，直线相切；
（3）当满足 时，和直线相交．
17．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交 d r；
直线l与⊙O相切 d r；
直线l与⊙O相离 d r．
三、解答题
18．如图所示，、是的两条切线，、是切点，、是上两点，如果，，求的度数．
19．已知中，．根据作图过程，解决下列问题．
【作图过程】：以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB、AC于H、L点，分别以点H、L为圆心、大于的长为半径画弧交于点K，作射线AK；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA于E、F点，分别以E、F为圆心、大于的长为半径画弧交于点G，作射线BG交射线AK于点O，过点O作于点M，点M为垂足，以点O为圆心，OM为半径作．
【解决问题】：
(1)证明：是的内切圆；
(2)若，，求的半径．
20．如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD＝45°．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB＝2，求BC的长．
21．如图，已知的直径为，于点A，与相交于点D，在上取一点E，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
22．定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．
（1）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，以点为圆心，5为半径作圆，交轴的负半轴于点，求过点的圆 的切线的解析式；
（2）若抛物线（）与直线（）相切于点，求直线的解析式；
（3）若函数的图象与直线相切，且当时，的最小值为，求的值．
23．圆的直径是，如果圆心与直线的距离分别是：
（1）；（2）；（3）．
那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
24．已知的内切圆与相切于点，，．

(1)若，求证：；
(2)当，求证：．
《第二章直线与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A B A A A B A
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】要求扇形的面积，关键是求得扇形的圆心角的度数．连接AM，根据切线的性质，则AM⊥BC，作DN⊥BC于N．根据等腰梯形的性质，得BM=2，根据扇形的半径相等，得AM=2，则△ABM是等腰直角三角形，即∠BAM=45°，从而求得∠BAD=135°，根据扇形的面积公式计算．
【详解】连接AM，作DN⊥BC于N.
∵AD为半径的圆与BC相切于点M，
∴AM⊥BC，AM=AD=2，
∵AD∥BC，DN⊥BC
∴四边形ADNM是正方形
∴∠MAD=90°，AD=MN=2
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BM=CN=(BC AD)=2=AM.
∴∠BAM=45°，
∴∠BAD=135°．
∴扇形DAE的面积=．
故选：A．
【点睛】此题考查了切线的性质、等腰梯形的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及扇形面积公式．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
2．B
【分析】根据切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可得，再根据得到PO是线段AB的垂直平分线，最后利用“直角三角形中所对的边等于斜边的一半”求得最终结果．
【详解】PA、PB是的两条切线
，即
PO是线段AB的垂直平分线
，
，
故选：B
【点睛】本题考查了切线长定理和垂径定理以及中垂线的判定和直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理并能灵活运用是解决本题的关键．
3．D
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
故选D．
【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
4．A
【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由三角形内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【详解】解：如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，
∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°．
故选A．

【点睛】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
5．B
【详解】解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；
由勾股定理，得：AB2=32+42=25，
∴AB=5；
又∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴CD=r；
∵S△ABC=AC BC=AB r；
∴r=2.4cm，
故选B．
【点睛】直线与圆的位置关系．
6．A
【详解】分析：点P，可以看作是以O为圆心，以为半径的圆上的一点，当AP与这个圆相切时BC取最大值，利用中位线定理得出结论即可.
解析：当OP⊥AB时，BC最长，∴AP=BP,∵AC为直径，所以BC⊥AB，∴OP=BC,∴BC= 2.
故选A.
点睛：本题的关键在于找到最值的接点，利用切线的性质找到点P的位置，从而确定BC的最值，利用中位线定理得出BC的长.
7．A
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．
【详解】连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6-3=3．
故选A．
【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
8．A
【分析】根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定.直线与半径的相交，且点到直线的距离，.
【详解】直线与半径的相交，且点到直线的距离为，
.
故选.
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定.直线和相交.
9．B
【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键．
10．A
【详解】解：如下图，连接OA，
∵AB为圆O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，又∠BAC=27°，
∴∠OAC=90°-27°=63°
又∵OA=OC，
∴△OAC为等腰三角形，
∴∠AOB=180°-63°-63°=54°，
则∠B=90°-54°=36°．
故选A．
11．A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
12．A
【分析】可判断圆心到直线l的距离小于半径，从而得出结果．
【详解】解：∵点A到圆心O的距离为，
∴圆O到直线的距离，
∴，
∴直线l和的位置是相交，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
13．4
【分析】本题主要考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．根据切线长定理可得，，即可求解．
【详解】解：分别与相切于点A、B，
，
的切线分别交于点E、F，
，
的周长．
故答案为：4
14．8
【分析】根据切线长定理得到BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，根据三角形的周长公式计算即可得出结论．
【详解】解：由切线长定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，
∴BD＋CP＝BG＋CG＝5，
∴AD＋AP＝18 10＝8，
∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋MD＋AN＋NP＝AD＋AP＝8（cm），
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆，掌握切线长定理是解题的关键．
15．65°或115°/115°或65°
【详解】本题要分两种情况考虑，如下图，分别连接OC；OB；BP1；BP2；CP1；CP2
（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：
∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点
∴OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
∵∠A=50°，
∴在四边形ABOC中，∠COB=130°，
∴∠BP1C=65°，
（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时
∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，
∵∠BP1C=65°，
∴∠BP2C=115°.
综合（1）、（2）可知，∠BPC的度数为65°或115°.
16．
【分析】过点作，判断半径与的数量关系，即可求解．
【详解】解：过点作，如下图：
由勾股定理得
则，即
∴当时，和直线相离；
当时，直线相切；
当时，直线相交；
故答案为，，
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系判定方法是解题的关键．
17． ＜ ＝ ＞
【解析】略
18．
【分析】根据切线长定理得到，再由等腰三角形性质得到，结合得到，根据平角，得到，再根据圆内接四边形性质即可得到答案．
【详解】解：∵、是的两条切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∴，
四边形是的内接四边形，
，
∴．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及切线长定理、等腰三角形的判定与性质、平角定义、圆内接四边形性质等知识，熟记圆中相关知识点，并灵活运用是解决问题的关键．
19．(1)见详解
(2)2
【分析】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，根据角平分线的性质有OP=OD=OM，即O点到Rt△ABC三边的距离相等，则有O点是Rt△ABC的内心，可知⊙O是Rt△ABC的内切圆；
（2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，先证明四边形OPCM是正方形，即有CM=OM=OP=PC=r，利用勾股定理求出AB=10，再证明Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，即有BM=BD，同理可得AP=AD，则有AB=AD+BD=AP+BM，则r可求．
【详解】（1）过O点作OD⊥AB于D点，过O点作OP⊥AC于点P，如图，
根据作图可知OA、OB分别是∠CAB、∠ABC的角平分线，
∵OP⊥AC，OD⊥AB，OM⊥BC，∠C=90°，
∴OP=OD，OD=OM，
∴OP=OD=OM，
∴O点到Rt△ABC三边的距离相等，
∴O点是Rt△ABC的内心，
∴⊙O是Rt△ABC的内切圆；
（2）设⊙O的半径为r，即OP=OM=r，
∵OP⊥AC，∠C=90°，OM⊥BC，OP=OM，
∴四边形OPCM是正方形，
∴CM=OM=OP=PC=r，
∵BC=6，AC=8，
∴在Rt△ABC中，AB=10，
∵OM=OD，OB=OB，
∴Rt△OMB≌Rt△ODB(HL)，
∴BM=BD，
同理可得AP=AD，
∵BM=BC-CM=6-r，AP=AC-PC=8-r，AB=AD+BD，
∴AB=AD+BD=AP+BM=8-r+6-r=14-2r=10，
∴r=2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图与性质、三角形内切圆的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接DO，由三角形的外角性质易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圆的切线．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接DO，

∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=22.5°．
∴∠DOC=45°．
又∵∠ACD=∠DOC=45°．
∴∠ODC=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接DB，
∵直径，△OCD为等腰直角三角形，
∴，，
∴．
【点睛】本题利用了等边对等角，三角形的外角与内角的关系，切线的概念，勾股定理，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)20
【分析】（1）如图，连接．通过证明得到，易证得结论；
（2）利用圆周角定理和垂径定理推知，所以根据平行线分线段成比例求得的长度即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，
，即．
在与中，
，
，
，即．
又是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，．
是直径，
，即．
又∵由（1）知，，
，
又，
，
，
，
，即的长是20．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂线定理，平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
22．（1）；（2）；（3）1或
【分析】（1）连接，由、可求，即．因为过点的切线，故有，再加公共角，可证，由对应边成比例可求的长，进而得点坐标，即可求直线解析式．
（2）分别把点代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为，直线解析式可消去得．由于直线与抛物线相切（只有一个交点），故联立解析式得到关于的方程有两个相等的实数根，即△，即求得的值．
（3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于的方程有两个相等是实数根，即△，整理得式子，可看作关于的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线．分类讨论对称轴在左侧、中间、右侧三种情况，画出图形得：①当对称轴在左侧即时，由图象可知时随的增大而增大，所以时取得最小值，把、代入得到关于的方程，方程无解；②当对称轴在范围内时，时即取得最小值，得方程，解得：；③当对称轴在2的右侧即时，由图象可知时随的增大而减小，所以时取得最小值，把、代入即求得的值．
【详解】解：（1）如图1，连接，记过点的切线交轴于点
，
，
，
设直线解析式为：
，解得：
过点的的切线的解析式为;
（2）抛物线经过点
，解得：
抛物线解析式：
直线经过点
，可得：
直线解析式为：
直线与抛物线相切
关于的方程有两个相等的实数根
方程整理得：
△
解得：
直线解析式为；
（3）函数的图象与直线相切
关于的方程有两个相等的实数根
方程整理得：
△
整理得：，可看作关于的二次函数，
对应抛物线开口向上，对称轴为直线
当时，的最小值为
①如图2，当时，在时随的增大而增大
时，取得最小值
，方程无解；
②如图3，当时，时，取得最小值
，解得：；
③如图4，当时，在时随的增大而减小
时，取得最小值
，解得：，（舍去）
综上所述，的值为1或．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法及根与系数的关系，二次函数的图象与性质．第（3）题的解题关键是根据相切列得方程并得到含、的等式，转化为关于的二次函数，再根据画图讨论抛物线对称轴情况进行解题．
23．（1）相交，两个；（2）相切，一个；（3）相离，无
【分析】直线和圆的位置关系：
① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
【详解】解：圆的半径为＝6.5（cm）．
（1）∵6.5 cm＞4.5 cm，∴直线与圆相交，有两个公共点．
（2）∵6.5cm ＝6.5cm，∴直线与圆相切，有一个公共点．
（3）∵8cm＞6.5 cm，∴直线与圆相离，无公共点．
【点睛】考核知识点：直线与圆的位置关系．理解直线与圆的位置关系的条件是关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设，根据已知得：，，，根据勾股定理，得：，整理得，根据计算即可解决问题．
（2）由得，再利用勾股定理逆定理求证即可．
【详解】（1）∵的内切圆分别与，，相切于点，，，设．
根据已知得：，，，
根据勾股定理，得：
，
整理得：，
所以
．
（2）∵的内切圆分别与，，相切于点，，，设．
根据已知得：，，，
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了切线长定理，三角形的内切圆，勾股定理以及逆定理，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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