1.1锐角三角函数同步练习（含解析）
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1.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，则4cosB等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．在中，，若，则的正切值是（ ）
A． B． C． D．2
3．在Rt△ABC中，，，，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA＝，那么点C的位置可以在（ ）
A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为( )
A． B． C． D．1
9．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．b＝a sinA B．b＝a tanA C．c＝a sinA D．a＝c cosB
10．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（ ）①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；④BD=4cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则( )
A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=21
12．如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（ ）.
A．2 B． C． D．1
二、填空题
13．如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则
14．如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．
如图，当时，；
如图，当时，；
如图，当时，；
……
依此类推，当（为正整数）时， ．
15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，OP与x轴正半轴的夹角为α，则 .
17．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD．若AC＝2，则cosD＝ .
三、解答题
18．已知是锐角，，求．
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
20．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，O为AB边上的一点，且，点D为AC边上的动点（不与点A，C 重合），将线段OD绕点O顺时针旋转90°交BC于点E.
(1)如图1，若O为AB边中点，D为AC边中点，求的值；
(2)如图2，若O为AB边中点，D不是AC边的中点，求的值．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）若cos∠PCB=，求PA的长.
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3:2,求sinA和sinB的值.
23．已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，
（1）求证：BG＝EG；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．
24．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．
《1.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A A A D A D C
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】在等腰三角形中，过顶点A作出底边BC上的高AD．就可以运用三线合一定理，在直角△ABD中，根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】过顶点A作出底边BC上的高AD，垂足为D.
根据等腰三角形的性质知，BD=1.
∴4cosB=4× =4×=1，
故选A.
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握等腰三角形是解题的关键.
2．B
【分析】根据已知可设，则，根据三角函数的定义从而求出的正切值．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了是锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握正切函数的定义．
3．A
【分析】如图，由勾股定理得，求出的值，根据计算可得结果．
【详解】解：如图
∵，，
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，余弦．解题的关键在于正确的计算．
4．A
【详解】根据题意画图：
由题意得：
sinA= ＝ .
故选A.
5．A
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴cosA=，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA=．
故选A．
6．A
【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如下图，过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意直角．
7．D
【详解】如图：
∵AB=5,, ∴D=4, ∵, ∴,∴AC=4,
∵在RT△AD中，D,AD=8, ∴A=,故答案为D.
8．A
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA=，
故选：A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．
9．D
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则
sinA＝，则，故A选项错误、C选项错误；
tanA＝，则b＝，故B选项错误；
cosB＝，则a＝ccosB，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
10．C
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AD=AB=BC=CD=10．
∵DE⊥AB，垂足为E，
sinA=,
∴DE=6cm，AE=8cm，BE=2cm．
∴菱形的面积为：AB×DE=10×6=60cm2．
连接BD，
∵在三角形BED中，BE=2cm，DE=6cm，
∴BD=2cm
∴①②③正确，④错误；
∴结论正确的有三个．
故选C．
11．B
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得.
【详解】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴=y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12-3-x=9-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9-x）2，
即2x-y2=9，
故选B．
12．A
【详解】如图，作DE⊥AB于E．
∵tan∠DBA= = ，
∴BE=5DE．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴AE=DE．
∴BE=5AE，
又∵AC=6，
∴AB=6 ，
∴AE+BE=AE+5AE=6 ，
∴AE= ，
∴在等腰直角△ADE中，
由勾股定理，得AE=，AD=2．
故选：A.
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．
13．
【分析】根据正切函数的定义得出，利用勾股定理求出的长，过点D作的平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可得答案．
本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作交于点M，
则，
四边形是矩形，
，，
，
由勾股定理得．
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案.
【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．
∴.
故答案为．
【点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律.
15．
【分析】本题可通过假设未知数，结合表示BC、AB的长度，继而利用勾股定理求解AC，最后利用正切函数定义求解．
【详解】解：如下图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴假设，，
∴．
∴．
故填：．
【点睛】本题考查三角函数，解题关键是理清各三角函数的概念，其次为方便解题，通常利用假设未知数将边长表示为具体数值．
16．
【分析】过P作PN⊥x轴于N，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．
【详解】∵点P的坐标为，
∴ON=2,PN=3,
tanα=.
故答案为.
【点睛】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键．
17．
【详解】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
18．，
【分析】根据，设AC=3x，AB=5x（x≠0），根据锐角三家函数的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴在中，设AC=3x，AB=5x（x≠0），则BC=，
∴
故sinA＝，tanA＝．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数以及勾股定理，关键是掌握画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解．
19．(1)
(2)图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．
（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；
（2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下：
在中，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）O为AB边中点，D为AC边中点，得出四边形CDOE是矩形，根据，得出；
（2）根据题意将图2补全即可, 分别取的中点 连接 要求的值，需证明，从而得解．
【详解】（1）O为AB边中点，D为AC边中点，
又
∴四边形CDOE是矩形，
∴∠AOD=∠B，
∴，即，
∴；
（2）如图，分别取的中点 连接
∵为边中点，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的知识点有矩形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质、余角定理、正切的定义等，掌握以上知识点是解此题的关键．
21．（1）是，证明略；（2）
【详解】解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形，
∵P是优弧BAC的中点，
∴，
∴PB＝PC，
∵∠PBD=∠PCA，
∴当BD＝AC＝4 ， △PBD≌△PCA
∴PA=PD ，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形
（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2，
过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1，
∵∠PCB=∠PAD，
∴cos∠PAD=cos∠PCB= ，
∴PA=
22．,
【分析】先根据勾股定理求AB，然后运用三角函数定义求解.
【详解】设AC=3a，BC=2a，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===
∴,.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，三角函数的定义，熟练掌握即可求解.
23．（1）见解析；（2）y＝x﹣3+，定义域是x＞；（3）圆O与圆P的圆心距为或．
【分析】（1）证明△FBG∽△FAP，得出比例线段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，则可得出结论；
（2）过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，联结PE，由锐角三角函数的定义及勾股定理可求出答案；
（3）由等腰三角形的性质得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：∵BGAP，
∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，
∴△FBG∽△FAP，
∴，
∵GEPC，
∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，
△FEG∽△FCP，
∴，
∴，
∵AP＝PC，
∴BG＝EG；
（2）解：过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，
∴∠AQK=∠QKP=90°，
∵DEAP，
∴AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，
∴四边形APKG为矩形，
∴PK＝AQ，AP＝QK，
∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，
∴BQ＝AB cos∠ABQ＝×5＝3，
∴AQ＝，
∴PK＝4，
∵AP＝x
∴PE=AP= x，
∴KE＝，
又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，
∴BE＝BK+EG＝，
∴y＝，
当圆P过点B时，点D与点B重合，过B作BH⊥AP于H，
∵AQ⊥AP，QBAH，
∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，
∴四边形QAHB为矩形，
∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，
在Rt△BHP中，由勾股定理
即
解得,
∴AP＝，
∴定义域是x＞；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，连结OG，直线OG交AC于V，
当BF=EF时，点D与点B重合，不成立，
∴BF＝BE，
∴∠BFE=∠FEB，
∵BEAC，
∴∠ACF=∠BEF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
∴y+5＝2x，
∵y＝，
∴2x﹣5＝，
整理得,
两边平方得,
整理得,
∴x＝5，
∴BE＝5，
∴BG=EG＝，
∵圆O的半径为，
在Rt△BOG中，BO=，
根据勾股定理
∴OG＝，
∴EK=
∴PV＝KG=3-GE=3-=，
当圆心O在BE下方时，在Rt△PO2V中，由勾股定理
∴O2P＝，
当圆心O在BE上方时，
∴OP＝．
综合以上可得OP的长为或．
【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，掌握三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，圆心距，利用辅助线准确构图是解题关键．
24．，，．
【分析】根据直线的图像，首先求出与坐标轴的两个交点坐标，根据勾股定理求得两交点之间的距离，进一步利用锐角三角函数的定义求出三角函数值即可．
【详解】解：如图，
直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=；
与y轴的交点B为（0，5），即OB=5；
则AB==；
===，
，
．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点以及锐角三角函数的定义．
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1.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，则4cosB等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．在中，，若，则的正切值是（ ）
A． B． C． D．2
3．在Rt△ABC中，，，，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA＝，那么点C的位置可以在（ ）
A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为( )
A． B． C． D．1
9．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．b＝a sinA B．b＝a tanA C．c＝a sinA D．a＝c cosB
10．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（ ）①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；④BD=4cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则( )
A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=21
12．如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（ ）.
A．2 B． C． D．1
二、填空题
13．如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则
14．如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．
如图，当时，；
如图，当时，；
如图，当时，；
……
依此类推，当（为正整数）时， ．
15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为 ．
16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，OP与x轴正半轴的夹角为α，则 .
17．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD．若AC＝2，则cosD＝ .
三、解答题
18．已知是锐角，，求．
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
20．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，O为AB边上的一点，且，点D为AC边上的动点（不与点A，C 重合），将线段OD绕点O顺时针旋转90°交BC于点E.
(1)如图1，若O为AB边中点，D为AC边中点，求的值；
(2)如图2，若O为AB边中点，D不是AC边的中点，求的值．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）若cos∠PCB=，求PA的长.
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3:2,求sinA和sinB的值.
23．已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，
（1）求证：BG＝EG；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．
24．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．
《1.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A A A D A D C
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】在等腰三角形中，过顶点A作出底边BC上的高AD．就可以运用三线合一定理，在直角△ABD中，根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】过顶点A作出底边BC上的高AD，垂足为D.
根据等腰三角形的性质知，BD=1.
∴4cosB=4× =4×=1，
故选A.
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握等腰三角形是解题的关键.
2．B
【分析】根据已知可设，则，根据三角函数的定义从而求出的正切值．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了是锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握正切函数的定义．
3．A
【分析】如图，由勾股定理得，求出的值，根据计算可得结果．
【详解】解：如图
∵，，
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，余弦．解题的关键在于正确的计算．
4．A
【详解】根据题意画图：
由题意得：
sinA= ＝ .
故选A.
5．A
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴cosA=，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA=．
故选A．
6．A
【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如下图，过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意直角．
7．D
【详解】如图：
∵AB=5,, ∴D=4, ∵, ∴,∴AC=4,
∵在RT△AD中，D,AD=8, ∴A=,故答案为D.
8．A
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA=，
故选：A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．
9．D
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则
sinA＝，则，故A选项错误、C选项错误；
tanA＝，则b＝，故B选项错误；
cosB＝，则a＝ccosB，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
10．C
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AD=AB=BC=CD=10．
∵DE⊥AB，垂足为E，
sinA=,
∴DE=6cm，AE=8cm，BE=2cm．
∴菱形的面积为：AB×DE=10×6=60cm2．
连接BD，
∵在三角形BED中，BE=2cm，DE=6cm，
∴BD=2cm
∴①②③正确，④错误；
∴结论正确的有三个．
故选C．
11．B
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得.
【详解】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴=y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12-3-x=9-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9-x）2，
即2x-y2=9，
故选B．
12．A
【详解】如图，作DE⊥AB于E．
∵tan∠DBA= = ，
∴BE=5DE．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴AE=DE．
∴BE=5AE，
又∵AC=6，
∴AB=6 ，
∴AE+BE=AE+5AE=6 ，
∴AE= ，
∴在等腰直角△ADE中，
由勾股定理，得AE=，AD=2．
故选：A.
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．
13．
【分析】根据正切函数的定义得出，利用勾股定理求出的长，过点D作的平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可得答案．
本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作交于点M，
则，
四边形是矩形，
，，
，
由勾股定理得．
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案.
【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．
∴.
故答案为．
【点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律.
15．
【分析】本题可通过假设未知数，结合表示BC、AB的长度，继而利用勾股定理求解AC，最后利用正切函数定义求解．
【详解】解：如下图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴假设，，
∴．
∴．
故填：．
【点睛】本题考查三角函数，解题关键是理清各三角函数的概念，其次为方便解题，通常利用假设未知数将边长表示为具体数值．
16．
【分析】过P作PN⊥x轴于N，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．
【详解】∵点P的坐标为，
∴ON=2,PN=3,
tanα=.
故答案为.
【点睛】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键．
17．
【详解】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
18．，
【分析】根据，设AC=3x，AB=5x（x≠0），根据锐角三家函数的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴在中，设AC=3x，AB=5x（x≠0），则BC=，
∴
故sinA＝，tanA＝．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数以及勾股定理，关键是掌握画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解．
19．(1)
(2)图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．
（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；
（2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下：
在中，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）O为AB边中点，D为AC边中点，得出四边形CDOE是矩形，根据，得出；
（2）根据题意将图2补全即可, 分别取的中点 连接 要求的值，需证明，从而得解．
【详解】（1）O为AB边中点，D为AC边中点，
又
∴四边形CDOE是矩形，
∴∠AOD=∠B，
∴，即，
∴；
（2）如图，分别取的中点 连接
∵为边中点，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的知识点有矩形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质、余角定理、正切的定义等，掌握以上知识点是解此题的关键．
21．（1）是，证明略；（2）
【详解】解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形，
∵P是优弧BAC的中点，
∴，
∴PB＝PC，
∵∠PBD=∠PCA，
∴当BD＝AC＝4 ， △PBD≌△PCA
∴PA=PD ，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形
（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2，
过点P作PE⊥AD于E，则AE＝AD=1，
∵∠PCB=∠PAD，
∴cos∠PAD=cos∠PCB= ，
∴PA=
22．,
【分析】先根据勾股定理求AB，然后运用三角函数定义求解.
【详解】设AC=3a，BC=2a，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===
∴,.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，三角函数的定义，熟练掌握即可求解.
23．（1）见解析；（2）y＝x﹣3+，定义域是x＞；（3）圆O与圆P的圆心距为或．
【分析】（1）证明△FBG∽△FAP，得出比例线段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，则可得出结论；
（2）过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，联结PE，由锐角三角函数的定义及勾股定理可求出答案；
（3）由等腰三角形的性质得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：∵BGAP，
∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，
∴△FBG∽△FAP，
∴，
∵GEPC，
∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，
△FEG∽△FCP，
∴，
∴，
∵AP＝PC，
∴BG＝EG；
（2）解：过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，
∴∠AQK=∠QKP=90°，
∵DEAP，
∴AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，
∴四边形APKG为矩形，
∴PK＝AQ，AP＝QK，
∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，
∴BQ＝AB cos∠ABQ＝×5＝3，
∴AQ＝，
∴PK＝4，
∵AP＝x
∴PE=AP= x，
∴KE＝，
又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，
∴BE＝BK+EG＝，
∴y＝，
当圆P过点B时，点D与点B重合，过B作BH⊥AP于H，
∵AQ⊥AP，QBAH，
∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，
∴四边形QAHB为矩形，
∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，
在Rt△BHP中，由勾股定理
即
解得,
∴AP＝，
∴定义域是x＞；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，连结OG，直线OG交AC于V，
当BF=EF时，点D与点B重合，不成立，
∴BF＝BE，
∴∠BFE=∠FEB，
∵BEAC，
∴∠ACF=∠BEF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
∴y+5＝2x，
∵y＝，
∴2x﹣5＝，
整理得,
两边平方得,
整理得,
∴x＝5，
∴BE＝5，
∴BG=EG＝，
∵圆O的半径为，
在Rt△BOG中，BO=，
根据勾股定理
∴OG＝，
∴EK=
∴PV＝KG=3-GE=3-=，
当圆心O在BE下方时，在Rt△PO2V中，由勾股定理
∴O2P＝，
当圆心O在BE上方时，
∴OP＝．
综合以上可得OP的长为或．
【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，掌握三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，圆心距，利用辅助线准确构图是解题关键．
24．，，．
【分析】根据直线的图像，首先求出与坐标轴的两个交点坐标，根据勾股定理求得两交点之间的距离，进一步利用锐角三角函数的定义求出三角函数值即可．
【详解】解：如图，
直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=；
与y轴的交点B为（0，5），即OB=5；
则AB==；
===，
，
．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点以及锐角三角函数的定义．
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