1.2锐角三角函数的计算同步练习（含解析）

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1.2锐角三角函数的计算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（ ）
A． B． C． D．1
2．计算的值等于
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（ ）
A． B． C．1 D．
4．如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（　　）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C为直角， ∠A=30°，则sinA+sinB=( )
A．1 B． C． D．
7．在中，，若，则的值为（）
A． B． C． D．
8．根据图中的信息,经过估算,下列数值与tan α的值最接近的是(　　)
A．0.3640 B．0.8970
C．0.4590 D．2.1785
9．已知在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是(　　)．
A．0＜n＜ B．0＜n＜
C．0＜n＜ D．0＜n＜
10．在中，，，则值为（　　）
A． B． C． D．
11．计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
12．已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
二、填空题
13．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β= ．
14．计算： ．
15．已知，且关于x的方程的两个根的平方和等于10，则以，为根的关于y的一元二次方程为 ．
16．中，若，则 度．
17．计算：
三、解答题
18．已知抛物线：交x轴于点A、B，顶点为M，A、B、M关于原点的对称点分别是E、F、N．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求出经过E、且以N为顶点的抛物线的表达式；
（3）抛物线与y轴交点为D，点P是抛物线在第四象限部分上一动点，点Q是y轴上一动点，求出一组P、Q的值，使得以点D、P、Q为顶点的三角形与相似．
19．先化简，再求值：，其中．
20．求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°
21．若α为锐角，试证明：．
22．计算：．
23．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1－tanA）2＋|sinB-|＝0．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求（1＋sinA）2－2－（3＋tanC）0的值．
24．求值：
(1)；
已知，求的值．
《1.2锐角三角函数的计算》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C B B B C A A
题号 11 12
答案 A A
1．B
【分析】由图，与为同弧所对的角，根据同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的关系即可求得答案．
【详解】解：A、B、O是小正方形顶点，
，
（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
故选：B．
【点睛】本题考查了同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半及特殊角的三角函数值，解题关键熟悉特殊角的正弦值及同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半的性质．
2．B
【详解】sin60°+cos45°=+=.
故选B.
点睛：熟记特殊角三角函数值.
3．A
【分析】先求出∠C=30°，再求出的值即可．
【详解】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°，
∴∠C=180°-105°-45°=30°，
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查三角形内角和公式，正弦定理，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
4．C
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可．
【详解】解：，，，
又∵，余弦函数随角增大而减小，且，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】根据：cos（90°﹣α）= sinα．
【详解】cos（90°﹣α）= sinα=．
故选B
【点睛】本题考核知识点：三角函数.解题关键点：理解cos（90°﹣α）= sinα.．
6．B
【分析】根据三角函数的一些特殊角的函数值可计算出答案.
【详解】在Rt△ABC中，∠C为直角， ∠A=30°，所以∠B=60°，sinA+sinB=.
【点睛】本题考查了三角函数，掌握三角函数的图像和某些特殊值是解决此题的关键.
7．B
【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案．
【详解】解：由题意，得，
故设
则，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键．
8．C
【详解】由图可知，tan α的值略小于0.5，故选C.
9．A
【分析】根据三角形的内角和定理，易知直角三角形的最小内角不大于45°．再根据sin45°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【详解】解：根据题意，知
0°＜∠B＜45°．
又sin45°=，
∴0＜n＜．
故选A．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律．
10．A
【分析】先利用同角三角恒等式计算出，然后根据求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握同角三角函数之间的关系．
11．A
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，乘方的意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式
．
故选：．
【点睛】本题考查实数的运算，掌握运算顺序是解决为题的关键，先乘方、再乘除、最后加减，注意牢记特殊角的三角函数值．
12．A
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【详解】解：∵sinα=cos60°=，
∴α=30°．
故选A．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
13．90°
【分析】根据正余弦的性质，锐角三角函数中sin=cos（），即可解出.
【详解】∵sinα= cos（）= cosβ
∴=β
∴α+β=90°
【点睛】此题主要考查正余弦的关系，熟知锐角三角函数中sin=cos（）是解题的关键.
14．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据特殊角三角函数值求角的度数以及求特殊角三角函数值，设关于x的方程的两个根分别为m、n，由根与系数的关系得到，再由完全平方公式的变形得到，即．解方程得到，则，即可得到，据此写出对应的方程即可．
【详解】解：设关于x的方程的两个根分别为m、n，
∴，
∵关于x的方程的两个根的平方和等于10，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴以，为根的关于y的一元二次方程为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
根据非负数的性质可求出和的值，根据特殊角的三角函数值，求出和的值，再根据三角形的内角和是180度，求出的值．
【详解】解：由题意知，，
，，
∴，，
∴，
故答案为：105．
17．1
【分析】分别进行特殊角的三角函数运算、零指数幂运算、绝对值运算、负整数指数幂运算即可解答．
【详解】解：原式
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数、零指数幂、绝对值性质、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答的关键．
18．（1）、；（2）；（3）
【分析】（1）令，由求得的解就是点A、B的横坐标；
（2）由（1）得到点A、B、M关于原点的对称点的坐标，然后利用顶点式求得抛物线的表达式；
（3）先结合图形的特点，构造出与相似且顶点分别在y轴上和抛物线上的三解形，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：（1）当时，由，得，
∴、．
（2）由，得抛物线的顶点，
∵点E、F、N分别与点A、B、M关于原点对称，
∴、、；
设经过点E且顶点为N的抛物线的解析式为，
则，解得，
∴抛物线的解析式为．
（3）如图，作交抛物线于点P，作轴于点R，在点R上方的y轴上取一点Q，使，则；
由，得．
∴，
又∵，
∴．
作交y轴于点H，则；
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，则，解得，
∴，
∴直线的解析式为；
由，得，（不符合题意，舍去）．
∴；
∵，
∴点Q的纵坐标为，
∴．
综上所述，．
【点睛】本题考查二次函数综合问题以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
19．，．
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再利用特殊角的三角函数值求出的值，代入化简后的分式中，求值即可．
【详解】原式
；
；
∴．
【点睛】本题考查分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值的计算．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．．
【分析】把特殊角的三角函数值代入运算即可．
【详解】解：原式
．
21．证明见解析.
【分析】根据在直角三角形中，正弦、余弦和正切的定义，将sina与cosa的值直接代入等式中验证结果是否等于tana.
【详解】证明：如图，
中，∠C=90°，设∠A=α，
则　∴
又 ∵ 　∴.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，本题属于基础证明题，应该熟练掌握三角函数的应用是解决此题的关键.
22．5
【分析】本题考查特殊三角函数值，绝对值，0指数幂，二次根式的性质，根据，，及直接逐步求解即可得到答案；
【详解】解：原式
．
23．（1）△ABC是锐角三角形；（2）
【分析】（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中∠A及∠B的值求出∠C的数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵|1-tanA）2+|sinB-|=0，
∴tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴△ABC是锐角三角形；
（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴原式=（1+）2-2-1，
=．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键．
24．（1）0；（2）.
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．
（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．
【详解】（1）原式（）2﹣11=0；
（2）∵tanA=2，∴=2，∴sinA=2cosA，∴原式===．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
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