1.3解直角三角形同步练习（含解析）
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1.3解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（ ）
A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°
2．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡上的景点C，此时的俯角为，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为．已知无人机与斜坡的坡底D的水平距离为400米，则斜坡的长度约为（精确到0.1米，参考数据：）（ ）
A．91.1米 B．91.3米 C．58.2米 D．58.4米
4．为测量大楼的高度，小明测得坡底到大楼底部的水平距离米，斜坡米（A、B、C、D在同一平面内），斜面坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比），在处测得大楼顶部的仰角为，则大楼的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是【 】
A．100m B．100m C．150m D．50m
6．如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，则海警船到达事故船C处所需的时间大约为（单位：小时）（ ）
A． B． C．sin37° D．cos37°
8．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ）
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
A． B．
C． D．
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（ ）
A． B． C． D．h cosα
10．在中，为锐角且， 则的正弦值等于( )
A． B． C． D．
11．如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是( )
A．msin35° B．mcos35° C． D．
二、填空题
13．如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC= ，AD= .（用根号表示）
14．在△ABC中，，，，则 ．
15．在中，，，，则 ， ， .
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交CA，CB于点D，E，再以D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，连接CF并延长，交AB于点P，称点P为线段AB的白银分割点，若PB，则AP＝ ．
17．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里；AB＝ 海里（结果保留根号）．
三、解答题
18．如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1，60）
19．如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点，，一艘轮船从处出发沿东偏北方向航行至处，在，处分别测得，，求轮船航行的路程．（参考数据：，，，，结果保留整数）
20．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
21．如图，在Rt△ADC中，∠C=90°，B是CD的延长线上的一点，且AD=BD=5，AC=4，求cos∠BAD的值．
22．位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔的高度．无人机在点A处测得纪念塔顶部点B的仰角为45°，纪念塔底部点C的俯角为61°，无人机与纪念塔的水平距离AD为10m，求纪念塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）
23．小明家在某小区买了一套住房，该小区楼房均为平顶式，南北朝向，楼高统一为16米(五层)，小明在冬至正午测得南楼落在北楼上的影子有3.5米高(如图)，且已知两楼相距有20米，请你帮小明求此时太阳光与水平线的夹角α的度数(结果精确到1°)．
24．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
《1.3解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C A C B A B C
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】作梯形的另一高，得到一个矩形和一个直角三角形，根据矩形的对边相等得该高等于9，则直角三角形中，斜边是18，一条直角边是9，所以较长的腰与一底所成的角是30度．根据平行线的性质，得与另一底所成的角是150°．
【详解】作DE⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED为平行四边形
∴AB=DE=9
∴sinC
∴∠C=30°
∴∠ADC=150°
∴较长的腰与底所成的角为30°或150°
故选C．
【点睛】考查了三角函数，解题关键是作直角梯形的另一高，组成了一个矩形和一个30°的直角三角形．
2．C
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，然后求出sinA、tanA、cosB、tanB的值，进行判断．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB= ，
则sinA=，tanA=，cosB=，tanB=
故选C
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握三角函数的定义．
3．B
【分析】过点C作于点P，于点Q，根据题意可得，设AP=x，则CP=x，再说明BP=CP，然后建立方程求出x的值，即可得，，再由可得，最后求解即可．
【详解】解：如图，过点C作于点P，于点Q，
由题意知，，
设，则，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
∵，
∴，
∵斜坡的坡比为：，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
即斜坡的长度约91.3米．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据仰角构造直角三角形、正确利用三角函数求解成为解答本题的关键．
4．C
【分析】过点作交的延长线于点，在中，利用坡度和勾股定理，可求出和的长，过点作于点，利用矩形对边相等，求出和的从，再在中，利用特殊角的三角函数值，求出的长，从而利用求出的长．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
斜坡的坡度，
设，则，
在中，米，
由勾股定理得：，
，
解得：，（舍）
米，米，
过点作于点，则四边形是矩形，
米，米，
在中，，
，
米，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角，解直角三角形的应用—坡度坡角，勾股定理，矩形的性质，三角函数，构造直角三角形和熟练运用三角函数定义是解题关键．
5．A
【详解】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，
∴，
∵BC=50，
∴AC=50，
∴（m）．
故选A
6．C
【分析】在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α，
∴PA＝PB tanα＝mtanα（米），
∴小河宽度PA为mtanα米，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．B
【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CDAC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC海里，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80，∴CDAC=40．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=37°，∴BC，∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：40（小时）．
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．A
【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x 10，得到CE＝x 10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE＝CD＝10，CE＝DH，
∴FH＝x 10，
∵∠FDH＝α＝45°，
∴DH＝FH＝x 10，
∴CE＝x 10，
∵tanβ＝tan50°＝＝，
∴x＝（x 10）tan 50°，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．
9．B
【分析】根据余角性质得∠BCD＝∠CAD＝α，然后利用余弦的定义可得答案．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD＝α，
在Rt△BCD中，
∵cos∠BCD＝，CD＝h，
∴BC＝．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握余弦的定义是解决此题关键．
10．C
【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数的定义得出的长，再求得，根据勾股定理得出，再由三角函数的定义得出答案即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
11．B
【分析】根据题意可知，故可设，则．再根据折叠的性质可知，，，从而可求出．又易证，即得出，即又可设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】∵，
∴．
设，则．
由折叠的性质可知，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，则．
∵，即，
∴（舍去负值），
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．
12．A
【详解】试题分析：根据锐角三角函数定义可得sinA=，所以BC=,故选A.
考点：锐角三角函数定义.
13． ,
【分析】由题意知△ADC是直角三角形，∠CAD=60°，结合特殊角度的三角函数值可得到sin60°、cos60°的值，结合直角三角形中sin∠CAD=，即可求出AC，再根据cos∠CAD=，求出AD即可.
【详解】∵△ACD是直角三角形，
∴sin∠CAD=.
∵∠CAD=60°，CD=5，
∴sin∠CAD=，即=，AC=；
cos∠CAD== cos60°，即=，AD=.
故答案为 ，.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义.
14．或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
15．
【分析】可借助图形，由勾股定理先算出斜边AB的长，即可求出，，的值
【详解】解：根据勾股定理得：;
∴
故答案为(1) (2) (3)
【点睛】本题考查锐角三角函数的求法，比较简单，要熟练掌握
16．1
【分析】过点作于点，证明出，再解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图，过点作于点．
由作图可知平分，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查应用与设计作图，角平分线的性质定理，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17． /
【分析】设点C在P点正东方且在AB上，解Rt△PAC可得AC，PC，解Rt△PCB可得BC，BP，便可解答；
【详解】解：如图，设点C在P点正东方且在AB上，
Rt△PAC中，PA=50海里，∠APC=90°-60°=30°，则AC=25海里，
PC=PA cos∠APC=50×=海里，
Rt△PCB中，∠BPC=90°-45°=45°，则∠B=45°，
BC=PC=海里，
PB=PC÷cos∠BPC=÷=海里，
∴AB=AC+BC=（海里），
故答案为：，；
【点睛】本题考查了方位角，解直角三角形的实际应用，掌握余弦三角函数的计算方法是解题关键．
18．13.5km．
【详解】试题分析：设B处距离码头Oxkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可．
试题解析：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，∵tan∠CAO=，∴CO=AO tan∠CAO=（45×0.1+x） tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°，∵tan∠DBO=，∴DO=BO tan∠DBO=x tan58°，∵DC=DO﹣CO，∴36×0.1=x tan58°﹣（4.5+x），
∴x=．
因此，B处距离码头O大约13.5km．
考点：解直角三角形的应用．
19．．
【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，
，
，
在中，，
∴，
，
，
，
解得，
在中，，
，
即．
答：轮船航行的路程约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
20．（1）CD=﹣1；（2）.
【分析】（1）求出△CAD∽△CBA，得出比例式，代入求出即可；
（2）求出△EAD是直角三角形，求出AD的长度，即可求出答案．
【详解】（1）∵AB=AC，∠B=36°，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=108°，
∵AB=BD，∠B=36°，
∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°，
即∠DAC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∵AB=AC=BD=2，
∴=，
解得：CD=﹣1或-﹣1（负数舍去）；
（2）延长CB到E，使BE=AB=2，连接AE，
则∠E=∠BAE，
∵∠ABC=36°=∠E+∠BAE，
∴∠E=∠BAE=18°，
∵∠BAD=72°，
∴∠EAD=72°+18°=90°，
∵∠C=∠CAD=36°，
∴AD=CD=﹣1，
在Rt△EAD中，sinE===，
即sin18°=．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、解直角三角形等知识点，能求出△CAD∽△CBA是解此题的关键．
21．
【分析】利用勾股定理求得CD和AB的长，再利用三角函数的定义求得cos∠B的值，即可求解．
【详解】∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∵∠C=90°，AD=BD=5，AC=4，
∴CD==3，
∴BC= CD + BD =8，
∴AB=，
∴cos∠BAD=cos∠B=．
【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及勾股定理的应用，锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．烈士塔的高度约为28m．
【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，则BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．
【详解】解：由题意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，
在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，
∴BD=AD=10m，
在Rt△ACD中，∠DAC=61°，
tan61°=≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．
∴纪念塔的高度约为28m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
23．32°.
【详解】试题分析：过点C作CE⊥AB于点E，则CD=BE=3.5米，CE=BD=20米，AB=16米，进而可求得AE的长，在Rt△ACE中，结合三角函数的知识即可求出∠ACE的度数，注意结果要精确到0.1°.
试题解析：根据题意画出示意图，如图所示.
过点C作CE⊥AB于点E，则CD=BE=3.5米，CE=BD=20米，AB=16米.
∵ AB=16米 BE=3.5米
∴ AE=AB-BE=12.5(米)
∵ 在Rt△ACE中，AE=12.5米，CE=20米
∴ tan∠ACE==0.625 (三角函数定义)
∴ ∠α≈32.0°
即冬至这天该市在正午时分太阳光线与水平线的夹角大小约为32.0°.
24．2
【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
【详解】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′ OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′ OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，
∴A′B′=4sin60°=．
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1.3解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（ ）
A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°
2．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡上的景点C，此时的俯角为，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为．已知无人机与斜坡的坡底D的水平距离为400米，则斜坡的长度约为（精确到0.1米，参考数据：）（ ）
A．91.1米 B．91.3米 C．58.2米 D．58.4米
4．为测量大楼的高度，小明测得坡底到大楼底部的水平距离米，斜坡米（A、B、C、D在同一平面内），斜面坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比），在处测得大楼顶部的仰角为，则大楼的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是【 】
A．100m B．100m C．150m D．50m
6．如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，则海警船到达事故船C处所需的时间大约为（单位：小时）（ ）
A． B． C．sin37° D．cos37°
8．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ）
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
A． B．
C． D．
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（ ）
A． B． C． D．h cosα
10．在中，为锐角且， 则的正弦值等于( )
A． B． C． D．
11．如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是( )
A．msin35° B．mcos35° C． D．
二、填空题
13．如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC= ，AD= .（用根号表示）
14．在△ABC中，，，，则 ．
15．在中，，，，则 ， ， .
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交CA，CB于点D，E，再以D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，连接CF并延长，交AB于点P，称点P为线段AB的白银分割点，若PB，则AP＝ ．
17．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里；AB＝ 海里（结果保留根号）．
三、解答题
18．如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1，60）
19．如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点，，一艘轮船从处出发沿东偏北方向航行至处，在，处分别测得，，求轮船航行的路程．（参考数据：，，，，结果保留整数）
20．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
21．如图，在Rt△ADC中，∠C=90°，B是CD的延长线上的一点，且AD=BD=5，AC=4，求cos∠BAD的值．
22．位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔的高度．无人机在点A处测得纪念塔顶部点B的仰角为45°，纪念塔底部点C的俯角为61°，无人机与纪念塔的水平距离AD为10m，求纪念塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）
23．小明家在某小区买了一套住房，该小区楼房均为平顶式，南北朝向，楼高统一为16米(五层)，小明在冬至正午测得南楼落在北楼上的影子有3.5米高(如图)，且已知两楼相距有20米，请你帮小明求此时太阳光与水平线的夹角α的度数(结果精确到1°)．
24．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
《1.3解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C A C B A B C
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】作梯形的另一高，得到一个矩形和一个直角三角形，根据矩形的对边相等得该高等于9，则直角三角形中，斜边是18，一条直角边是9，所以较长的腰与一底所成的角是30度．根据平行线的性质，得与另一底所成的角是150°．
【详解】作DE⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED为平行四边形
∴AB=DE=9
∴sinC
∴∠C=30°
∴∠ADC=150°
∴较长的腰与底所成的角为30°或150°
故选C．
【点睛】考查了三角函数，解题关键是作直角梯形的另一高，组成了一个矩形和一个30°的直角三角形．
2．C
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，然后求出sinA、tanA、cosB、tanB的值，进行判断．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB= ，
则sinA=，tanA=，cosB=，tanB=
故选C
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握三角函数的定义．
3．B
【分析】过点C作于点P，于点Q，根据题意可得，设AP=x，则CP=x，再说明BP=CP，然后建立方程求出x的值，即可得，，再由可得，最后求解即可．
【详解】解：如图，过点C作于点P，于点Q，
由题意知，，
设，则，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
∵，
∴，
∵斜坡的坡比为：，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
即斜坡的长度约91.3米．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据仰角构造直角三角形、正确利用三角函数求解成为解答本题的关键．
4．C
【分析】过点作交的延长线于点，在中，利用坡度和勾股定理，可求出和的长，过点作于点，利用矩形对边相等，求出和的从，再在中，利用特殊角的三角函数值，求出的长，从而利用求出的长．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
斜坡的坡度，
设，则，
在中，米，
由勾股定理得：，
，
解得：，（舍）
米，米，
过点作于点，则四边形是矩形，
米，米，
在中，，
，
米，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角，解直角三角形的应用—坡度坡角，勾股定理，矩形的性质，三角函数，构造直角三角形和熟练运用三角函数定义是解题关键．
5．A
【详解】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，
∴，
∵BC=50，
∴AC=50，
∴（m）．
故选A
6．C
【分析】在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α，
∴PA＝PB tanα＝mtanα（米），
∴小河宽度PA为mtanα米，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．B
【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CDAC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC海里，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80，∴CDAC=40．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=37°，∴BC，∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：40（小时）．
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．A
【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x 10，得到CE＝x 10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE＝CD＝10，CE＝DH，
∴FH＝x 10，
∵∠FDH＝α＝45°，
∴DH＝FH＝x 10，
∴CE＝x 10，
∵tanβ＝tan50°＝＝，
∴x＝（x 10）tan 50°，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．
9．B
【分析】根据余角性质得∠BCD＝∠CAD＝α，然后利用余弦的定义可得答案．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD＝α，
在Rt△BCD中，
∵cos∠BCD＝，CD＝h，
∴BC＝．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握余弦的定义是解决此题关键．
10．C
【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数的定义得出的长，再求得，根据勾股定理得出，再由三角函数的定义得出答案即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
11．B
【分析】根据题意可知，故可设，则．再根据折叠的性质可知，，，从而可求出．又易证，即得出，即又可设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】∵，
∴．
设，则．
由折叠的性质可知，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，则．
∵，即，
∴（舍去负值），
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．
12．A
【详解】试题分析：根据锐角三角函数定义可得sinA=，所以BC=,故选A.
考点：锐角三角函数定义.
13． ,
【分析】由题意知△ADC是直角三角形，∠CAD=60°，结合特殊角度的三角函数值可得到sin60°、cos60°的值，结合直角三角形中sin∠CAD=，即可求出AC，再根据cos∠CAD=，求出AD即可.
【详解】∵△ACD是直角三角形，
∴sin∠CAD=.
∵∠CAD=60°，CD=5，
∴sin∠CAD=，即=，AC=；
cos∠CAD== cos60°，即=，AD=.
故答案为 ，.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义.
14．或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
15．
【分析】可借助图形，由勾股定理先算出斜边AB的长，即可求出，，的值
【详解】解：根据勾股定理得：;
∴
故答案为(1) (2) (3)
【点睛】本题考查锐角三角函数的求法，比较简单，要熟练掌握
16．1
【分析】过点作于点，证明出，再解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图，过点作于点．
由作图可知平分，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查应用与设计作图，角平分线的性质定理，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17． /
【分析】设点C在P点正东方且在AB上，解Rt△PAC可得AC，PC，解Rt△PCB可得BC，BP，便可解答；
【详解】解：如图，设点C在P点正东方且在AB上，
Rt△PAC中，PA=50海里，∠APC=90°-60°=30°，则AC=25海里，
PC=PA cos∠APC=50×=海里，
Rt△PCB中，∠BPC=90°-45°=45°，则∠B=45°，
BC=PC=海里，
PB=PC÷cos∠BPC=÷=海里，
∴AB=AC+BC=（海里），
故答案为：，；
【点睛】本题考查了方位角，解直角三角形的实际应用，掌握余弦三角函数的计算方法是解题关键．
18．13.5km．
【详解】试题分析：设B处距离码头Oxkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可．
试题解析：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，∵tan∠CAO=，∴CO=AO tan∠CAO=（45×0.1+x） tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°，∵tan∠DBO=，∴DO=BO tan∠DBO=x tan58°，∵DC=DO﹣CO，∴36×0.1=x tan58°﹣（4.5+x），
∴x=．
因此，B处距离码头O大约13.5km．
考点：解直角三角形的应用．
19．．
【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，
，
，
在中，，
∴，
，
，
，
解得，
在中，，
，
即．
答：轮船航行的路程约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
20．（1）CD=﹣1；（2）.
【分析】（1）求出△CAD∽△CBA，得出比例式，代入求出即可；
（2）求出△EAD是直角三角形，求出AD的长度，即可求出答案．
【详解】（1）∵AB=AC，∠B=36°，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=108°，
∵AB=BD，∠B=36°，
∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°，
即∠DAC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∵AB=AC=BD=2，
∴=，
解得：CD=﹣1或-﹣1（负数舍去）；
（2）延长CB到E，使BE=AB=2，连接AE，
则∠E=∠BAE，
∵∠ABC=36°=∠E+∠BAE，
∴∠E=∠BAE=18°，
∵∠BAD=72°，
∴∠EAD=72°+18°=90°，
∵∠C=∠CAD=36°，
∴AD=CD=﹣1，
在Rt△EAD中，sinE===，
即sin18°=．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、解直角三角形等知识点，能求出△CAD∽△CBA是解此题的关键．
21．
【分析】利用勾股定理求得CD和AB的长，再利用三角函数的定义求得cos∠B的值，即可求解．
【详解】∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∵∠C=90°，AD=BD=5，AC=4，
∴CD==3，
∴BC= CD + BD =8，
∴AB=，
∴cos∠BAD=cos∠B=．
【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及勾股定理的应用，锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．烈士塔的高度约为28m．
【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，则BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．
【详解】解：由题意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，
在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，
∴BD=AD=10m，
在Rt△ACD中，∠DAC=61°，
tan61°=≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．
∴纪念塔的高度约为28m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
23．32°.
【详解】试题分析：过点C作CE⊥AB于点E，则CD=BE=3.5米，CE=BD=20米，AB=16米，进而可求得AE的长，在Rt△ACE中，结合三角函数的知识即可求出∠ACE的度数，注意结果要精确到0.1°.
试题解析：根据题意画出示意图，如图所示.
过点C作CE⊥AB于点E，则CD=BE=3.5米，CE=BD=20米，AB=16米.
∵ AB=16米 BE=3.5米
∴ AE=AB-BE=12.5(米)
∵ 在Rt△ACE中，AE=12.5米，CE=20米
∴ tan∠ACE==0.625 (三角函数定义)
∴ ∠α≈32.0°
即冬至这天该市在正午时分太阳光线与水平线的夹角大小约为32.0°.
24．2
【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
【详解】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′ OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′ OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，
∴A′B′=4sin60°=．
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