2.3三角形的内切圆同步练习（含解析）
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2.3三角形的内切圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BD⊥AC B．AC2=2AB AE C．△ADE是等腰三角形 D．BC=2AD
2．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心，外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
3．如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，则∠BIA的度数是（ ）
A．100° B．120° C．125° D．135°
4．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ）
A． B．12r C．13r D．26r
5．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（ ）
A．3倍 B．5倍 C．4倍 D．2倍
6．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（ ）
A．2 B． C． + D．
7．如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则 （ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4
C． D．
9．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（ ）
A． B． C． D．
10．若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（ ）
A． B． C． D．
11．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．
A．2.4cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
12．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
二、填空题
13．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
14．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝ °．
15．如果一个三角形的周长为10，面积为S，内切圆的半径为r，那么r∶S＝ ．
16．如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为 .
17．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 ．
三、解答题
18．如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点C运动过程中，当时，求的值．
19．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE=DB．
20．问题提出
（1）已知，如图①在ABC中，AB＝4，AC＝3，sinA＝，则 ．
（2）已知，如图②四边形ABCD中，两条对角线AC＝m，BD＝n．AC与BD的夹角为θ（0＜θ≤90）．求四边形ABCD的面积（用含m、n、θ的式子表示S四边形ABCD）．
问题解决
（3）课外活动小组在研究圆内接四边形时提出以下问题：若线段AB、CD是半径为2的⊙O的两条弦，且AB＝2，CD＝2，你认为在以点A、B、C、D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图③说明理由，若存在，请求出面积最大值．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
22．如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．
(1)求半圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作于点R，连结．
①当为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF，＝ （直接写出答案）
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
《2.3三角形的内切圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C C A D C B B
题号 11 12
答案 B A
1．D
【详解】试题分析：利用圆周角定理可得A正确；证明△ADE∽△ABC，可得出B正确；由B选项的证明，即可得出C正确；利用排除法可得D不一定正确．
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，故A正确；
∵BD平分∠ABC，BD⊥AC，
∴△ABC是等腰三角形，AD=CD，
∵∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等腰三角形，
∴AD=DE=CD，
∴=
，
∴AC2=2AB AE，故B正确；
由B的证明过程，可得C选项正确．
故选D．
考点： 1.圆周角定理；2.等腰三角形的判定；3.相似三角形的判定与性质．
2．C
【详解】试题分析：根据三角形的内心的形成特征依次分析各项即可．
A．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，故本选项错误；
B．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，一定在三角形的内部，故本选项错误；
C．等边三角形的内心，外心重合，正确；
D．一个圆有无数个外切三角形，故本选项错误；
故选C.
考点：本题考查的是三角形的内心的性质，角平分线的性质
点评：解答本题的关键是掌握三角形的内心是三角形内角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．C
【分析】利用圆周角定理得出，进而得出利用内心的知识得出，即可得出答案．
【详解】解：点为的外心，，
，
，
点为的内心，
，
，
故选：．
【点睛】此题主要考查了三角形的内心和外心，正确把握三角形内心的性质是解题关键．
4．C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；
根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可．
【详解】 是的内切圆且半径为r，，，
，
，
则的面积为，
故选：C
5．C
【分析】根据题意画出图形，设是等边的内心，连接，，延长交于，根据等边三角形的性质得出也是的外心，，，推出，分别求出等边三角形的外接圆、内切圆的面积，即可求出答案．
【详解】解：设是等边三角形的内心，连接，，延长交于，
是等边三角形，
也是的外心，，，
，
等边的外接圆的面积是，
等边的内切圆的面积是，
等边的外接圆面积是内切圆面积的4倍，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与外接圆，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是求出，主要考查了学生的计算能力，题型较好，难度也适中．
6．A
【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，此时周长最小．根据切线性质和勾股定理可求出CD的值，再根据三角形的周长公式可以算出最小值．
【详解】如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时周长最小．
设AB于⊙O相切于点F，连接OF，则．
．
．
．
且OC为⊙O的半径．
是⊙O的切线．
．
．
．
即：．
解得：．
．
的周长最小值为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、轴对称最短路线等问题，解题的关键在于正确找到M点位置．
7．D
【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题．
【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，
在中，，，内心为I，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键．
8．C
【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．
【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，
∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH==AE．
∴AD=AE+DE=+2．
故选C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
9．B
【分析】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．
【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形，，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，
∴,，
∴，，
∴，，
∴．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键．
10．B
【分析】经过圆心O作正方形一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，
∠O=45°．OC是边心距r，OA即半径R．根据三角函数即可求解．
【详解】
作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．
在中心的直角三角形的角为，
∴内切圆的半径为 ，
外接圆的半径为 ，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来．
11．B
【详解】试题分析：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB==5cm，斜边上的中线是AB=2.5cm．因而外心到直角顶点的距离即斜边的长为2.5cm．故选B．
考点：1．三角形的外接圆与外心；2．勾股定理．
12．A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
13．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝＝2，
∴点A到圆上的最近距离为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．55
【分析】由三角形的内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠DBI，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠BID＝∠DBI＝＝55°
故答案为：55．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明∠BID=∠DBI是本题的关键．
15．1∶5
【分析】根据三角形的面积与内切圆半径r满足S＝ l×r(l是三角形的周长)求解.
【详解】由题意得：S＝ l ×r，即S＝ ×10×r，∴r:s＝1:5
故答案为1:5.
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握熟练掌握三角形的内切圆是解题的关键.
16．
【详解】试题解析：，点在上，
∴当，即时,的面积最大，
∴的长为
故答案为
17．2
【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解．
【详解】直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径.
故答案为2．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；
（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．
【详解】（1）解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴．
（2）连接OC，
∵，
∴MN是直径，
∵，
∴OM=ON=OC=5，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴
∴，
即
由，
∴，
∴，
，
∴．
（3）过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°，
∴∠CMG+∠GCM=90°，
∵MN是直径，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM=∠GCM，
∵，
∴，
∵
∴设
∴
∴
∴
∴
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴，
∴，
即
∴，
∴，，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．
19．（1）35°；（2）证明见解析.
【分析】（1）由点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，进而得出∠CBD=∠CAD=35°；
(2) 由点E是△ABC的内心，可得E点为△ABC角平分线的交点，可得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推导出∠DBE=∠BED，可得DE=DB.
【详解】（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，
∴∠CAD=，
∵，
∴∠CBD=∠CAD=35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BED，
∴DE=DB.
【点睛】此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识． 此题综合性较强, 注意数形结合思想的应用.
20．（1）；（2） sinθ；（3）+2
【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．解直角三角形求出CH，可得结论．
（2）如图2中，分别过A，C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N．根据S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝ BD AM+ BD CN，求解即可．
（3）如图③﹣1中，连接OA，OB，OC，OD，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．解直角三角形求出∠AOB＝120°，∠COD＝90°，推出∠AOD+∠BOC＝150°，把△AOC和△BOC拼在一起，如图③﹣2中，连接AB交OC于J，直线AB与直线OC的较小的夹角为θ，当四边形OACB的面积最大时，图③﹣1中的四边形ABCD的面积最大，利用（2）中结论，求出四边形OACB的面积的最大值，可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，sinA＝，AC＝3，
∴CH＝，
∴S△ABC＝ AB CH＝×4×＝．
故答案为：．
（2）如图2中，分别过A，C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N．
∴sinθ＝，
∴AM＝AO sinθ，CN＝OC sinθ，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝ BD AM+ BD CN
＝ BD AO sinθ+ BD CO sinθ
＝ BD （OA+OC） sinθ
＝ BD AC sinθ．
＝
（3）如图③﹣1中，连接OA，OB，OC，OD，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝ ，
∴sin∠AOM＝，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵ON⊥CD，
∴CN＝DN＝，
∴sin∠CON＝，
∴∠CON＝∠DON＝45°，
∴∠DOC＝90°，
∴OM＝OA cos60°＝1，
ON＝OC cos45°＝，
∴S△AOB＝ AB OM
＝×2×1
＝，
S△COD＝ CD ON＝×2×＝2，
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
把△AOC和△BOC拼在一起，如图③﹣2中，连接AB交OC于J，直线AB与直线OC的较小的夹角为θ，当四边形OACB的面积最大时，图③﹣1中的四边形ABCD的面积最大，
过点A作AH⊥BO交BO的延长线于H．
在Rt△AOH中，∠H＝90°，OA＝2，∠AOH＝180°﹣∠AOB＝30°，
∴AH＝OA＝1，OH＝，
∴AB＝，
∵S四边形OABC＝ AB OC sinθ，
∴当sinθ＝1时，四边形OACB的面积最大，
最大值＝×（+）×2＝+，
∴图③﹣1中，四边形ABCD的面积的最大值＝+2．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了四边形的面积，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，解题关键是学会用数学模型解决问题，用转化的思想思考问题．
21．（1）见解析；（2），
【分析】（1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可；
（2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
．
又∵AE是O的直径，
．
．
∵AB=AC，
∴AEBC．
∴∠AHC=90°．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°．
∴EFAE．
∴EF是O的切线．
（2）如图所示，连接OC，设O的半径为r．
在Rt△COH中，
∵，
又∵OH=AH-OA=3-r，
解得，．
∵EF∥BC，
∴．
∵四边形ABCD内接于，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．
22．(1)
(2)
(3)①或；②
【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可；
（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；
（3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 ∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF的长度，从而解决问题．
【详解】（1）解：如图1，连结．设半圆O的半径为r．
∵切半圆O于点D，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，即半圆O的半径是．
（2）由（1）得：．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）①显然，所以分两种情况．
ⅰ）当时，如图2．
∵，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3，
则四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∴．
综上所述，x的值是或．
②如图4，连结，
由对称可知，
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
∵，，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴，
∴，
即：，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴
∴，
∴．
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）
【详解】分析：（1）由，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得为直角三角形，又AD是的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=DE，利用HL可证明Rt△ACD≌Rt△AED,根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论用可求出EB的长，再由（1）∠AED=,得到DE与AB垂直，可得∠BED=，设利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．
详解：(1)∵,且∠ACB为圆O的圆周角，
∴AD为圆O的直径，
∴∠AED=，
又AD是△ABC的∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE；
(2)∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根据勾股定理得：
由(1)得到∠AED=,则有∠BED=，
设CD=DE=x，则DB=BC CD=12 x，EB=AB AE=AB AC=13 5=8，
在Rt△BED中,根据勾股定理得：
即
解得：
∴，又AC=5，△ACD为直角三角形，
∴根据勾股定理得：
外接圆的直径为.
点睛：考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识点，综合性比较强，对知识点的考查比较全面，对学生综合能力要求较高.
24．（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【分析】（1）根据对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，得出AD=CD，然后根据圆内接四边形的性质得出∠DAF=∠DCB，最后根据ASA得出△DAF≌△DCB即可证明；
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，根据△DAF≌△DCB表示出BC的长度，利用勾股定理表示出AC和AD的长度，过点B作BM⊥AC于点M，连接OD，根据面积法和等腰直角三角形的性质表示出OD和BM的长度，最后根据相似即可求出的值．
（3）DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，根据题意证明出，由全等三角形的性质和得出AP=CE，，然后根据圆内接四边形的性质得出，最后由即可证明．
【详解】(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴AD=CD，
∵DF⊥DB，
∴∠BDF=∠ADC=90°
∴∠ADF=∠CDB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
又∵∠BAD+∠DAF=180°，
∴∠DAF=∠DCB，
∴△DAF≌△DCB，
∴AF=BC．
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，
由（1）△DAF≌△DCB，
∴BC=AF=a，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ADC中，，
过点B作BM⊥AC于点M，
则BM=，
连接OD，则OD=，
∵是等腰直角三角形，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BM，即，
∴．
（3）证明：DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，
由（1）知，，AD=CD，
∴，
∴AP=CE，，
∴，
∵四边形ABDN内接于⊙O，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，AF=AN，
∴，
又∵FG∥BD，
∴，
∴，
∴，
∴AG=AP=CE．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和证明，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质等内容，解题的关键是根据题意作出辅助线构造出全等三角形．
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2.3三角形的内切圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BD⊥AC B．AC2=2AB AE C．△ADE是等腰三角形 D．BC=2AD
2．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心，外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
3．如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，则∠BIA的度数是（ ）
A．100° B．120° C．125° D．135°
4．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ）
A． B．12r C．13r D．26r
5．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（ ）
A．3倍 B．5倍 C．4倍 D．2倍
6．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（ ）
A．2 B． C． + D．
7．如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则 （ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4
C． D．
9．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（ ）
A． B． C． D．
10．若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（ ）
A． B． C． D．
11．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．
A．2.4cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
12．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
二、填空题
13．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
14．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝ °．
15．如果一个三角形的周长为10，面积为S，内切圆的半径为r，那么r∶S＝ ．
16．如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为 .
17．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 ．
三、解答题
18．如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点C运动过程中，当时，求的值．
19．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE=DB．
20．问题提出
（1）已知，如图①在ABC中，AB＝4，AC＝3，sinA＝，则 ．
（2）已知，如图②四边形ABCD中，两条对角线AC＝m，BD＝n．AC与BD的夹角为θ（0＜θ≤90）．求四边形ABCD的面积（用含m、n、θ的式子表示S四边形ABCD）．
问题解决
（3）课外活动小组在研究圆内接四边形时提出以下问题：若线段AB、CD是半径为2的⊙O的两条弦，且AB＝2，CD＝2，你认为在以点A、B、C、D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图③说明理由，若存在，请求出面积最大值．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
22．如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．
(1)求半圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作于点R，连结．
①当为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF，＝ （直接写出答案）
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
《2.3三角形的内切圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C C A D C B B
题号 11 12
答案 B A
1．D
【详解】试题分析：利用圆周角定理可得A正确；证明△ADE∽△ABC，可得出B正确；由B选项的证明，即可得出C正确；利用排除法可得D不一定正确．
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，故A正确；
∵BD平分∠ABC，BD⊥AC，
∴△ABC是等腰三角形，AD=CD，
∵∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等腰三角形，
∴AD=DE=CD，
∴=
，
∴AC2=2AB AE，故B正确；
由B的证明过程，可得C选项正确．
故选D．
考点： 1.圆周角定理；2.等腰三角形的判定；3.相似三角形的判定与性质．
2．C
【详解】试题分析：根据三角形的内心的形成特征依次分析各项即可．
A．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，故本选项错误；
B．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，一定在三角形的内部，故本选项错误；
C．等边三角形的内心，外心重合，正确；
D．一个圆有无数个外切三角形，故本选项错误；
故选C.
考点：本题考查的是三角形的内心的性质，角平分线的性质
点评：解答本题的关键是掌握三角形的内心是三角形内角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．C
【分析】利用圆周角定理得出，进而得出利用内心的知识得出，即可得出答案．
【详解】解：点为的外心，，
，
，
点为的内心，
，
，
故选：．
【点睛】此题主要考查了三角形的内心和外心，正确把握三角形内心的性质是解题关键．
4．C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；
根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可．
【详解】 是的内切圆且半径为r，，，
，
，
则的面积为，
故选：C
5．C
【分析】根据题意画出图形，设是等边的内心，连接，，延长交于，根据等边三角形的性质得出也是的外心，，，推出，分别求出等边三角形的外接圆、内切圆的面积，即可求出答案．
【详解】解：设是等边三角形的内心，连接，，延长交于，
是等边三角形，
也是的外心，，，
，
等边的外接圆的面积是，
等边的内切圆的面积是，
等边的外接圆面积是内切圆面积的4倍，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与外接圆，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是求出，主要考查了学生的计算能力，题型较好，难度也适中．
6．A
【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，此时周长最小．根据切线性质和勾股定理可求出CD的值，再根据三角形的周长公式可以算出最小值．
【详解】如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时周长最小．
设AB于⊙O相切于点F，连接OF，则．
．
．
．
且OC为⊙O的半径．
是⊙O的切线．
．
．
．
即：．
解得：．
．
的周长最小值为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、轴对称最短路线等问题，解题的关键在于正确找到M点位置．
7．D
【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题．
【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，
在中，，，内心为I，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键．
8．C
【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．
【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，
∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH==AE．
∴AD=AE+DE=+2．
故选C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
9．B
【分析】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．
【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形，，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，
∴,，
∴，，
∴，，
∴．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键．
10．B
【分析】经过圆心O作正方形一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，
∠O=45°．OC是边心距r，OA即半径R．根据三角函数即可求解．
【详解】
作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．
在中心的直角三角形的角为，
∴内切圆的半径为 ，
外接圆的半径为 ，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来．
11．B
【详解】试题分析：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB==5cm，斜边上的中线是AB=2.5cm．因而外心到直角顶点的距离即斜边的长为2.5cm．故选B．
考点：1．三角形的外接圆与外心；2．勾股定理．
12．A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
13．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝＝2，
∴点A到圆上的最近距离为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．55
【分析】由三角形的内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠DBI，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠BID＝∠DBI＝＝55°
故答案为：55．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明∠BID=∠DBI是本题的关键．
15．1∶5
【分析】根据三角形的面积与内切圆半径r满足S＝ l×r(l是三角形的周长)求解.
【详解】由题意得：S＝ l ×r，即S＝ ×10×r，∴r:s＝1:5
故答案为1:5.
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握熟练掌握三角形的内切圆是解题的关键.
16．
【详解】试题解析：，点在上，
∴当，即时,的面积最大，
∴的长为
故答案为
17．2
【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解．
【详解】直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径.
故答案为2．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；
（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．
【详解】（1）解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴．
（2）连接OC，
∵，
∴MN是直径，
∵，
∴OM=ON=OC=5，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴
∴，
即
由，
∴，
∴，
，
∴．
（3）过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°，
∴∠CMG+∠GCM=90°，
∵MN是直径，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM=∠GCM，
∵，
∴，
∵
∴设
∴
∴
∴
∴
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴，
∴，
即
∴，
∴，，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．
19．（1）35°；（2）证明见解析.
【分析】（1）由点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，进而得出∠CBD=∠CAD=35°；
(2) 由点E是△ABC的内心，可得E点为△ABC角平分线的交点，可得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推导出∠DBE=∠BED，可得DE=DB.
【详解】（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，
∴∠CAD=，
∵，
∴∠CBD=∠CAD=35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BED，
∴DE=DB.
【点睛】此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识． 此题综合性较强, 注意数形结合思想的应用.
20．（1）；（2） sinθ；（3）+2
【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．解直角三角形求出CH，可得结论．
（2）如图2中，分别过A，C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N．根据S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝ BD AM+ BD CN，求解即可．
（3）如图③﹣1中，连接OA，OB，OC，OD，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．解直角三角形求出∠AOB＝120°，∠COD＝90°，推出∠AOD+∠BOC＝150°，把△AOC和△BOC拼在一起，如图③﹣2中，连接AB交OC于J，直线AB与直线OC的较小的夹角为θ，当四边形OACB的面积最大时，图③﹣1中的四边形ABCD的面积最大，利用（2）中结论，求出四边形OACB的面积的最大值，可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，sinA＝，AC＝3，
∴CH＝，
∴S△ABC＝ AB CH＝×4×＝．
故答案为：．
（2）如图2中，分别过A，C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N．
∴sinθ＝，
∴AM＝AO sinθ，CN＝OC sinθ，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝ BD AM+ BD CN
＝ BD AO sinθ+ BD CO sinθ
＝ BD （OA+OC） sinθ
＝ BD AC sinθ．
＝
（3）如图③﹣1中，连接OA，OB，OC，OD，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝ ，
∴sin∠AOM＝，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵ON⊥CD，
∴CN＝DN＝，
∴sin∠CON＝，
∴∠CON＝∠DON＝45°，
∴∠DOC＝90°，
∴OM＝OA cos60°＝1，
ON＝OC cos45°＝，
∴S△AOB＝ AB OM
＝×2×1
＝，
S△COD＝ CD ON＝×2×＝2，
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
把△AOC和△BOC拼在一起，如图③﹣2中，连接AB交OC于J，直线AB与直线OC的较小的夹角为θ，当四边形OACB的面积最大时，图③﹣1中的四边形ABCD的面积最大，
过点A作AH⊥BO交BO的延长线于H．
在Rt△AOH中，∠H＝90°，OA＝2，∠AOH＝180°﹣∠AOB＝30°，
∴AH＝OA＝1，OH＝，
∴AB＝，
∵S四边形OABC＝ AB OC sinθ，
∴当sinθ＝1时，四边形OACB的面积最大，
最大值＝×（+）×2＝+，
∴图③﹣1中，四边形ABCD的面积的最大值＝+2．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了四边形的面积，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，解题关键是学会用数学模型解决问题，用转化的思想思考问题．
21．（1）见解析；（2），
【分析】（1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可；
（2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
．
又∵AE是O的直径，
．
．
∵AB=AC，
∴AEBC．
∴∠AHC=90°．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°．
∴EFAE．
∴EF是O的切线．
（2）如图所示，连接OC，设O的半径为r．
在Rt△COH中，
∵，
又∵OH=AH-OA=3-r，
解得，．
∵EF∥BC，
∴．
∵四边形ABCD内接于，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．
22．(1)
(2)
(3)①或；②
【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可；
（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；
（3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 ∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF的长度，从而解决问题．
【详解】（1）解：如图1，连结．设半圆O的半径为r．
∵切半圆O于点D，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，即半圆O的半径是．
（2）由（1）得：．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）①显然，所以分两种情况．
ⅰ）当时，如图2．
∵，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3，
则四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∴．
综上所述，x的值是或．
②如图4，连结，
由对称可知，
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
∵，，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴，
∴，
即：，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴
∴，
∴．
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）
【详解】分析：（1）由，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得为直角三角形，又AD是的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=DE，利用HL可证明Rt△ACD≌Rt△AED,根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论用可求出EB的长，再由（1）∠AED=,得到DE与AB垂直，可得∠BED=，设利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．
详解：(1)∵,且∠ACB为圆O的圆周角，
∴AD为圆O的直径，
∴∠AED=，
又AD是△ABC的∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE；
(2)∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根据勾股定理得：
由(1)得到∠AED=,则有∠BED=，
设CD=DE=x，则DB=BC CD=12 x，EB=AB AE=AB AC=13 5=8，
在Rt△BED中,根据勾股定理得：
即
解得：
∴，又AC=5，△ACD为直角三角形，
∴根据勾股定理得：
外接圆的直径为.
点睛：考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识点，综合性比较强，对知识点的考查比较全面，对学生综合能力要求较高.
24．（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【分析】（1）根据对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，得出AD=CD，然后根据圆内接四边形的性质得出∠DAF=∠DCB，最后根据ASA得出△DAF≌△DCB即可证明；
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，根据△DAF≌△DCB表示出BC的长度，利用勾股定理表示出AC和AD的长度，过点B作BM⊥AC于点M，连接OD，根据面积法和等腰直角三角形的性质表示出OD和BM的长度，最后根据相似即可求出的值．
（3）DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，根据题意证明出，由全等三角形的性质和得出AP=CE，，然后根据圆内接四边形的性质得出，最后由即可证明．
【详解】(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴AD=CD，
∵DF⊥DB，
∴∠BDF=∠ADC=90°
∴∠ADF=∠CDB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
又∵∠BAD+∠DAF=180°，
∴∠DAF=∠DCB，
∴△DAF≌△DCB，
∴AF=BC．
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，
由（1）△DAF≌△DCB，
∴BC=AF=a，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ADC中，，
过点B作BM⊥AC于点M，
则BM=，
连接OD，则OD=，
∵是等腰直角三角形，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BM，即，
∴．
（3）证明：DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，
由（1）知，，AD=CD，
∴，
∴AP=CE，，
∴，
∵四边形ABDN内接于⊙O，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，AF=AN，
∴，
又∵FG∥BD，
∴，
∴，
∴，
∴AG=AP=CE．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和证明，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质等内容，解题的关键是根据题意作出辅助线构造出全等三角形．
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