第五章 《 特殊平行四边形》5.1 矩形（1）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·桂阳期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．（2025八下·海宁月考）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．（2024八下·天河期末）如图， 矩形 中， 为 的中点， 为 边上任意一点， 分别为 ， 的中点， 则 的长是 ( )
A．6 B．5.5 C．6.5 D．5
4．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 下列说法中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·钱塘期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，延长BC至点E，使得BE＝DE，连结OE交CD于点F．当∠CED＝45°时，有以下两个结论：①若CF＝1，则，②若BD＝2，则．则下列判断正确的是（ ）
A．①②均错误 B．①②均正确
C．①错误②正确 D．①正确②错误
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023八下·高青期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
7．（2024八下·北京市期中）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
8．（2024八下·岳阳期中）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ．
9．（2024八下·罗定月考）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是 ．
10．（2024八下·东莞期中）如图，在矩形中，，点E，F分别是上的动点，，连接，则的最小值是 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2025八下·渌口月考）如图，在矩形中，，．将矩形沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
12．（2024八下·武威期中）在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
13．（2024八下·翁源期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，点C关于的对称点为．连接交于点E，交于F，连接．
（1）请写出与的关系，并说明理由；
（2）若，求矩形面积．（用含a的式子表示）．
14．（2024八下·柳南期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
15．（2024八下·安顺期末）已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选B
【分析】
由于矩形的对角线互相平分且相等，则OB等于OC，则等于等于30度，则由三角形外角的性质可得是60度 ．
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形
∴
∵，
∴是等边三角形
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】根据矩形对角线相等及等边三角形的判定，得到是等边三角形，故OA=AB=2，即可解答.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
，
，E为中点，
，
，
，
∵G，H分别为，中点，
是的中位线，
．
故答案为：D
【分析】连接，先根据矩形的性质得到，进而根据中点得到AE=6，从而运用勾股定理即可得到BE，再根据三角形中位线定理结合题意即可求解。
4．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA=OB，
∴A、B、C正确，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质逐个判断即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∠BCD =90°，OB=OD，
∴∠DCE =90°，
∵∠DCE=45°，
∴△DCE为等腰直角三角形，CD=CE，
∵BE=DE，CE=CE，
∴OE⊥BD，
若CF＝1 ，设DF=x，则CE=CD=x+1，DE=CD=（x+1），
∴BE=DE=（x+1），
∴BC=BE-CE=(-1)(x+1)，
∵∠DOF=∠ECF=90°，∠DFO=∠EFC，
∴∠ODF=∠FEC，
∵CD=CE，
∴△DCB≌△ECF（AAS）
∴BC=CF=1，
∴BC=(-1)(x+1)=1，
解得x=，即FD=，故①正确；
若BD＝2，则OD=OB=1，
设OE=y，则BE=DE=，CD=CE=DE=，
∴BC=BE-CE=(1-)，
∵BC2+CD2=BD2，
∴(1-)2(y2+1)+(y2+1)=4，解得y=+1，即OE=+1.故②正确；
故答案为：B.
【分析】易证△DCE为等腰直角三角形，可得CD=CE，由等腰三角形的性质及矩形的性质可证OE⊥BD，若CF＝1 ，设DF=x，则CE=CD=x+1，BE=DE=CD=（x+1），BC=BE-CE=(-1)(x+1)，证明△DCB≌△ECF（AAS），可得BC=CF=1，即得BC=(-1)(x+1)=1，解出x值，即可判断①；若BD＝2，则OD=OB=1，设OE=y，则BE=DE=，CD=CE=DE=，BC=BE-CE=(1-)，由勾股定理得BC2+CD2=BD2，据此建立关于y方程并解之，即可判断②.
6．【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°
【分析】根据矩形性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，则OA=OB═OC，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
8．【答案】20
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵O是矩形的对角线的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：20．
【分析】
由矩形的性质可知OB是斜边AC上的中线，OM是的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形的周长可求 ．
9．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可得，，再利用角的运算求出∠ACB的度数，利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
10．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，作点关于的对称点，连接，，如图所示：
则，，
在矩形中，，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
的最小值等于的最小值，即的长度，
，，
，
根据勾股定理，得，
的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】连接，作点关于的对称点，连接，，先证出四边形是矩形，可得CE=BF，再证出的最小值等于的最小值，即的长度，最后利用勾股定理求出，从而可得的最小值为5.
11．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
由折叠可知．
四边形是矩形，
，
．
，
是等腰三角形
（2）解：设，则，．
在中，根据勾股定理可得
即
解得：
所以的长为
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）连接AN，根据矩形与折叠的性质可推出，利用等腰三角形的性质，可证得结论.
（2）设，则，．在中，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程，可求出x的值，可得到AN的长．
（1）证明：如图所示，连接，
由折叠可知．
四边形是矩形，
，
．
，
是等腰三角形．
（2）解：设，则，．
在中，根据勾股定理可得
即
解得：
所以的长为．
12．【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，利用平行线的性质可得，，因而根据AAS可证明，即可证明．
（2）根据矩形的性质可得由勾股定理得再根据全等三角形的性质以及中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
13．【答案】（1）解：且
理由如下：∵点C关于的对称点为，
，
∵四边形是矩形，
，
是的中位线．
且
（2）解：由（1）知
∵在矩形中，
∴在与中，
在矩形中，
又
在中，，
根据勾股定理得，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据对称得到，根据矩形的性质，得到，故是的中位线，再根据中位线定理即可求出答案.
（2）由（1）知，根据矩形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得∠OBC=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）且
理由如下：∵点C关于的对称点为，
，
∵四边形是矩形，
，
是的中位线．
且
（2）由（1）知
∵在矩形中，
∴在与中，
在矩形中，
又
在中，，
根据勾股定理得，
．
14．【答案】（1）BD=CD．理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟知矩形的性质是解题关键（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠AFE=∠DCE，再根据中点的定义可知：AE=DE，结合对顶角相等可知：∠AEF=∠CED，根据全等三角形的判定定理AAS可知：△AEF≌△DEC，根据全等三角形的性质：对应边相等，可得：AF=CD，结合AF=BD，等量代换可知：BD=CD，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合：AF∥BD，AF=BD可知：四边形AFBD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知：∠ADB=90°，最后等腰三角形的性质定理推论：三线合一可知：AB=AC，即可得出结论．
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵BD∥CE，
四边形DCEB是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得AB∥CD，再结合BD∥CE，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）根据矩形的对角线相等得AC=BD，根据平行四边形的对边相等得BD=CE，从而由等量代换即可得出答案．
1 / 1第五章 《 特殊平行四边形》5.1 矩形（1）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·桂阳期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选B
【分析】
由于矩形的对角线互相平分且相等，则OB等于OC，则等于等于30度，则由三角形外角的性质可得是60度 ．
2．（2025八下·海宁月考）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形
∴
∵，
∴是等边三角形
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】根据矩形对角线相等及等边三角形的判定，得到是等边三角形，故OA=AB=2，即可解答.
3．（2024八下·天河期末）如图， 矩形 中， 为 的中点， 为 边上任意一点， 分别为 ， 的中点， 则 的长是 ( )
A．6 B．5.5 C．6.5 D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
，
，E为中点，
，
，
，
∵G，H分别为，中点，
是的中位线，
．
故答案为：D
【分析】连接，先根据矩形的性质得到，进而根据中点得到AE=6，从而运用勾股定理即可得到BE，再根据三角形中位线定理结合题意即可求解。
4．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 下列说法中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA=OB，
∴A、B、C正确，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质逐个判断即可得出答案.
5．（2024八下·钱塘期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，延长BC至点E，使得BE＝DE，连结OE交CD于点F．当∠CED＝45°时，有以下两个结论：①若CF＝1，则，②若BD＝2，则．则下列判断正确的是（ ）
A．①②均错误 B．①②均正确
C．①错误②正确 D．①正确②错误
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∠BCD =90°，OB=OD，
∴∠DCE =90°，
∵∠DCE=45°，
∴△DCE为等腰直角三角形，CD=CE，
∵BE=DE，CE=CE，
∴OE⊥BD，
若CF＝1 ，设DF=x，则CE=CD=x+1，DE=CD=（x+1），
∴BE=DE=（x+1），
∴BC=BE-CE=(-1)(x+1)，
∵∠DOF=∠ECF=90°，∠DFO=∠EFC，
∴∠ODF=∠FEC，
∵CD=CE，
∴△DCB≌△ECF（AAS）
∴BC=CF=1，
∴BC=(-1)(x+1)=1，
解得x=，即FD=，故①正确；
若BD＝2，则OD=OB=1，
设OE=y，则BE=DE=，CD=CE=DE=，
∴BC=BE-CE=(1-)，
∵BC2+CD2=BD2，
∴(1-)2(y2+1)+(y2+1)=4，解得y=+1，即OE=+1.故②正确；
故答案为：B.
【分析】易证△DCE为等腰直角三角形，可得CD=CE，由等腰三角形的性质及矩形的性质可证OE⊥BD，若CF＝1 ，设DF=x，则CE=CD=x+1，BE=DE=CD=（x+1），BC=BE-CE=(-1)(x+1)，证明△DCB≌△ECF（AAS），可得BC=CF=1，即得BC=(-1)(x+1)=1，解出x值，即可判断①；若BD＝2，则OD=OB=1，设OE=y，则BE=DE=，CD=CE=DE=，BC=BE-CE=(1-)，由勾股定理得BC2+CD2=BD2，据此建立关于y方程并解之，即可判断②.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023八下·高青期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°
【分析】根据矩形性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，则OA=OB═OC，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．（2024八下·北京市期中）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
8．（2024八下·岳阳期中）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵O是矩形的对角线的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：20．
【分析】
由矩形的性质可知OB是斜边AC上的中线，OM是的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形的周长可求 ．
9．（2024八下·罗定月考）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可得，，再利用角的运算求出∠ACB的度数，利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
10．（2024八下·东莞期中）如图，在矩形中，，点E，F分别是上的动点，，连接，则的最小值是 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，作点关于的对称点，连接，，如图所示：
则，，
在矩形中，，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
的最小值等于的最小值，即的长度，
，，
，
根据勾股定理，得，
的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】连接，作点关于的对称点，连接，，先证出四边形是矩形，可得CE=BF，再证出的最小值等于的最小值，即的长度，最后利用勾股定理求出，从而可得的最小值为5.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2025八下·渌口月考）如图，在矩形中，，．将矩形沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
由折叠可知．
四边形是矩形，
，
．
，
是等腰三角形
（2）解：设，则，．
在中，根据勾股定理可得
即
解得：
所以的长为
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）连接AN，根据矩形与折叠的性质可推出，利用等腰三角形的性质，可证得结论.
（2）设，则，．在中，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程，可求出x的值，可得到AN的长．
（1）证明：如图所示，连接，
由折叠可知．
四边形是矩形，
，
．
，
是等腰三角形．
（2）解：设，则，．
在中，根据勾股定理可得
即
解得：
所以的长为．
12．（2024八下·武威期中）在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，利用平行线的性质可得，，因而根据AAS可证明，即可证明．
（2）根据矩形的性质可得由勾股定理得再根据全等三角形的性质以及中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
13．（2024八下·翁源期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，点C关于的对称点为．连接交于点E，交于F，连接．
（1）请写出与的关系，并说明理由；
（2）若，求矩形面积．（用含a的式子表示）．
【答案】（1）解：且
理由如下：∵点C关于的对称点为，
，
∵四边形是矩形，
，
是的中位线．
且
（2）解：由（1）知
∵在矩形中，
∴在与中，
在矩形中，
又
在中，，
根据勾股定理得，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据对称得到，根据矩形的性质，得到，故是的中位线，再根据中位线定理即可求出答案.
（2）由（1）知，根据矩形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得∠OBC=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）且
理由如下：∵点C关于的对称点为，
，
∵四边形是矩形，
，
是的中位线．
且
（2）由（1）知
∵在矩形中，
∴在与中，
在矩形中，
又
在中，，
根据勾股定理得，
．
14．（2024八下·柳南期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
【答案】（1）BD=CD．理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟知矩形的性质是解题关键（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠AFE=∠DCE，再根据中点的定义可知：AE=DE，结合对顶角相等可知：∠AEF=∠CED，根据全等三角形的判定定理AAS可知：△AEF≌△DEC，根据全等三角形的性质：对应边相等，可得：AF=CD，结合AF=BD，等量代换可知：BD=CD，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合：AF∥BD，AF=BD可知：四边形AFBD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知：∠ADB=90°，最后等腰三角形的性质定理推论：三线合一可知：AB=AC，即可得出结论．
15．（2024八下·安顺期末）已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵BD∥CE，
四边形DCEB是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得AB∥CD，再结合BD∥CE，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）根据矩形的对角线相等得AC=BD，根据平行四边形的对边相等得BD=CE，从而由等量代换即可得出答案．
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