第五章 《 特殊平行四边形》5.1 矩形（2）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·长沙期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相垂直 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量是否有三个角是直角
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、 对角线互相垂直是菱形的判定条件，而非矩形的必要条件，矩形的对角线相等且平分，但不一定垂直，故此不正确；
B、矩形的对角线相等，但仅凭对角线相等无法确定四边形一定是矩形（如等腰梯形的对角线也相等），故此选项不正确；
C、两组对边相等的四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，故此选项不正确；
D、四边形中有三个角为直角，则第四个角必为直角，从而该四边形一定为矩形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定方法：①三个角是直角的四边形是矩形，②有一个内角为直角的平行四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形，据此逐一判断得出答案.
2．（2025八下·宁波开学考）如图，在中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形ENFM是矩形
B．若，则四边形ENFM是矩形
C．若，则四边形ENFM是矩形
D．若，则四边形ENFM是矩形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、，
，
，
四边形ENFM不是矩形，A错误；
B、如图，连接BD，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
点E，F分别是AB，CD的中点，
，
同理可得，
，
四边形ENFM是平行四边形，B错误；
C、，
，
四边形ENFM不是矩形，C错误；
D、如图，连接EF，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
点E，F分别是AB，CD的中点，
，
，，
四边形AEFD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形ENFM是平行四边形，
，
，
四边形ENFM是矩形，D正确.
故答案为：D.
【分析】由邻补角的定义可得，故四边形ENFM不是矩形，A错误；利用平行四边形的性质可得，再通过三角形的中位线定理证得，同理可得，故可得四边形ENFM是平行四边形，B错误；通过等腰三角形的性质可得，故四边形ENFM不是矩形，C错误；利用平行四边形的性质证得四边形AEFD是平行四边形，再通过SAS判定，进而证得四边形ENFM是平行四边形，再通过MN=EF证得四边形ENFM是矩形，D正确.
3．（2024八下·乳源期中）一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（ ）
A．过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形
B．过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形
C．在木板上任意找两点、，使得，得到矩形
D．分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、如图，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴A错误，不符合题意；
B、如图，
同选项A可得四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴B错误，不符合题意；
C、如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴C错误，不符合题意；
D、如图，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定方法（①有3个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有1个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
4．（2024八下·东莞期中）如图，在ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A．5 B．4.8 C．3 D．2.4
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，
∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形EDFB是矩形，
∴EF=BD．
∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：B．
【分析】连接BD，先证出四边形EDFB是矩形，再结合BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，即可得到EF的最小值为4.8.
5．（2024八下·交城期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．OA＝OC B．AB＝CD C．∠BCD＝90° D．AD//BC
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵AO＝OC，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，
∴此选项不符合题意；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
不能证得△ABO≌△DCO，
∴无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，
∴此选项符合题意；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，
∴此选项不符合题意；
D、∵AD//BC，∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴∠CBO＝∠ADO，
∵∠COB＝∠DOA，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形；
B、根据已知条件不能证明△ABO≌△DCO，无法得出四边形ABCD是矩形；
C、根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形；
D、由题意，用角边角可证△AOD≌△BOC，由全等三角形的对应边相等可得AD=BC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·德清期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到，使，连结EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是 .(只要写出一个条件即可)
【答案】或或等
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴BC=DE，
∴四边形BCED是平行四边形，
①若添加CD=BE，
∴平行四边形BCED是矩形；
②若添加∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED是矩形；
③若添加CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED是矩形；
∴要使四边形DBCE成为矩形，可添加的一个条件可以是CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE.
故答案为：CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE.
【分析】由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCED是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加CD=BE；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加∠ADB=90°；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加CE⊥DE（答案不唯一）.
7．（2024八下·凤山期末）如图，在中，对角线相交于点，且，若，则 °.
【答案】50
【知识点】矩形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形的对角线，
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形证出四边形是矩形，进而得到，最后根据角的关系求出即可.
8．（2024八下·南宁期中）如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：要使成为矩形，需要添加的条件是，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴为矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据矩形的判定判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形进行作答即可．
9．（2024八下·紫金期中）如图，四边形的对角线，顺次连接其各边中点得到四边，若，，那么四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P、Q是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用中点四边形的性质证出四边形是矩形，再利用矩形的面积公式列出算式求解即可.
10．（2023八下·保康期中）已知，是中边上的一点，，交于点，，交于点，连接请添加一个适当的条件 ，使四边形是矩形．
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】 解：添加：∠BAC=90°，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形．
故答案为：∠BAC=90°．
【分析】开放性命题，答案不唯一，首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2025八下·鄞州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC中点．
（1）求证：∠ADE=∠CBF；
（2）若OC=BD，试判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠EAD=∠FCB，OC=OA
∵E，F分别是OA，OC中点，
∴OC=2CF，OA=2AE
∴CF=AE
∴△ADE≌△BCF
∴∠ADE=∠CBF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA，OB=OD
∵E，F分别是OA，OC中点，
∴OC=2CF=2OF，OA=2AE=2OE
∴OE=OF=AE=CF，
∴四边形DEBF是平行四边形，.
∵OE=OF=AE=CF
∴OE+OF=EF=OC
∵BD=OC.
∴EF=BD
∴四边形DEBF是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，则，结合中点的定义得到，最后利用"SAS"证明进而即可求证；
（2）根据平行四边形的性质得到，结合中点的定义得到j即可证明四边形DEBF是平行四边形，根据已知条件得到即可求证.
12．（2024八下·长垣期中）已知点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：由题意可知，，∵四边形是矩形，
∴，
．
答：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）先根据平行四边形的对边平行结合并结合线段中点的概念可利用“”证明，再根据全等三角形的性质可得，从而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再根据对角线相等即可判定这个平行四边形是矩形；
（2）由平行四边形的对边相等可知AB等于CD等于3，由中点的概念可得AD等于ED的2倍等于6，又因为矩形的每一个内角都是直角，可在Rt中应用勾股定理即可．
13．（2023八下·德庆期末）在 中，过点作于点，点 在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求证：平分．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形，由DE⊥AB，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即证；
（2）由平行线的性质可得，利用勾股定理求出BC=5，即得AD=B=DF=5，利用等边对等角可得，从而得出，根据角平分线的定义即得结论.
14．（2024八下·浙江竞赛）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点，分别过点A，C作BC，AD边上的高AE，CF.
（1）求证：四边形AECF是矩形.
（2）过D作于点，交边CF于点，若AB平分，求矩形AECF的周长.
【答案】（1）证明：∵ 过点A，C作BC，AD边上的高AE，CF，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
又∵ ABCD 是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠EAF=90°，
∴ 四边形AECF是矩形；
（2）解：如图，作，连接EF，
，
，
∵平行四边形ABCD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形AECF是矩形，
，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用三个角是直角的四边形是矩形解题即可.
（2） 作，利用余角的性质证得，进而通过AAS判定得到HO=DF，设，再利用矩形的性质求得，由勾股定理可得x=3，进而求得AE的长度，即可计算出矩形AECF的周长.
15．（2024八下·中山期中）如图，等腰中，，，E点是的中点，分别过D，E作，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴点D是的中点．
∵E点是的中点，
∴是的中位线．
∴
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形.
（2）解：∵交于D点，E点是的中点，
∴，
由（1）知，四边形为矩形．
在直角中，，
由勾股定理得：．
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形为矩形；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出，最后利用线段的和差求出即可．
1 / 1第五章 《 特殊平行四边形》5.1 矩形（2）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·长沙期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相垂直 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量是否有三个角是直角
2．（2025八下·宁波开学考）如图，在中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形ENFM是矩形
B．若，则四边形ENFM是矩形
C．若，则四边形ENFM是矩形
D．若，则四边形ENFM是矩形
3．（2024八下·乳源期中）一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（ ）
A．过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形
B．过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形
C．在木板上任意找两点、，使得，得到矩形
D．分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形
4．（2024八下·东莞期中）如图，在ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A．5 B．4.8 C．3 D．2.4
5．（2024八下·交城期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．OA＝OC B．AB＝CD C．∠BCD＝90° D．AD//BC
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·德清期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到，使，连结EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是 .(只要写出一个条件即可)
7．（2024八下·凤山期末）如图，在中，对角线相交于点，且，若，则 °.
8．（2024八下·南宁期中）如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 ．
9．（2024八下·紫金期中）如图，四边形的对角线，顺次连接其各边中点得到四边，若，，那么四边形的面积为 ．
10．（2023八下·保康期中）已知，是中边上的一点，，交于点，，交于点，连接请添加一个适当的条件 ，使四边形是矩形．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2025八下·鄞州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC中点．
（1）求证：∠ADE=∠CBF；
（2）若OC=BD，试判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论．
12．（2024八下·长垣期中）已知点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，请直接写出的长．
13．（2023八下·德庆期末）在 中，过点作于点，点 在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求证：平分．
14．（2024八下·浙江竞赛）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点，分别过点A，C作BC，AD边上的高AE，CF.
（1）求证：四边形AECF是矩形.
（2）过D作于点，交边CF于点，若AB平分，求矩形AECF的周长.
15．（2024八下·中山期中）如图，等腰中，，，E点是的中点，分别过D，E作，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、 对角线互相垂直是菱形的判定条件，而非矩形的必要条件，矩形的对角线相等且平分，但不一定垂直，故此不正确；
B、矩形的对角线相等，但仅凭对角线相等无法确定四边形一定是矩形（如等腰梯形的对角线也相等），故此选项不正确；
C、两组对边相等的四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，故此选项不正确；
D、四边形中有三个角为直角，则第四个角必为直角，从而该四边形一定为矩形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定方法：①三个角是直角的四边形是矩形，②有一个内角为直角的平行四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、，
，
，
四边形ENFM不是矩形，A错误；
B、如图，连接BD，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
点E，F分别是AB，CD的中点，
，
同理可得，
，
四边形ENFM是平行四边形，B错误；
C、，
，
四边形ENFM不是矩形，C错误；
D、如图，连接EF，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
点E，F分别是AB，CD的中点，
，
，，
四边形AEFD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形ENFM是平行四边形，
，
，
四边形ENFM是矩形，D正确.
故答案为：D.
【分析】由邻补角的定义可得，故四边形ENFM不是矩形，A错误；利用平行四边形的性质可得，再通过三角形的中位线定理证得，同理可得，故可得四边形ENFM是平行四边形，B错误；通过等腰三角形的性质可得，故四边形ENFM不是矩形，C错误；利用平行四边形的性质证得四边形AEFD是平行四边形，再通过SAS判定，进而证得四边形ENFM是平行四边形，再通过MN=EF证得四边形ENFM是矩形，D正确.
3．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、如图，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴A错误，不符合题意；
B、如图，
同选项A可得四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴B错误，不符合题意；
C、如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴C错误，不符合题意；
D、如图，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定方法（①有3个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有1个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，
∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形EDFB是矩形，
∴EF=BD．
∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：B．
【分析】连接BD，先证出四边形EDFB是矩形，再结合BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，即可得到EF的最小值为4.8.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵AO＝OC，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，
∴此选项不符合题意；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
不能证得△ABO≌△DCO，
∴无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，
∴此选项符合题意；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，
∴此选项不符合题意；
D、∵AD//BC，∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴∠CBO＝∠ADO，
∵∠COB＝∠DOA，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形；
B、根据已知条件不能证明△ABO≌△DCO，无法得出四边形ABCD是矩形；
C、根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形；
D、由题意，用角边角可证△AOD≌△BOC，由全等三角形的对应边相等可得AD=BC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形．
6．【答案】或或等
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴BC=DE，
∴四边形BCED是平行四边形，
①若添加CD=BE，
∴平行四边形BCED是矩形；
②若添加∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED是矩形；
③若添加CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED是矩形；
∴要使四边形DBCE成为矩形，可添加的一个条件可以是CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE.
故答案为：CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE.
【分析】由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCED是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加CD=BE；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加∠ADB=90°；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加CE⊥DE（答案不唯一）.
7．【答案】50
【知识点】矩形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形的对角线，
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形证出四边形是矩形，进而得到，最后根据角的关系求出即可.
8．【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：要使成为矩形，需要添加的条件是，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴为矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据矩形的判定判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形进行作答即可．
9．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P、Q是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用中点四边形的性质证出四边形是矩形，再利用矩形的面积公式列出算式求解即可.
10．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】 解：添加：∠BAC=90°，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形．
故答案为：∠BAC=90°．
【分析】开放性命题，答案不唯一，首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论.
11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠EAD=∠FCB，OC=OA
∵E，F分别是OA，OC中点，
∴OC=2CF，OA=2AE
∴CF=AE
∴△ADE≌△BCF
∴∠ADE=∠CBF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA，OB=OD
∵E，F分别是OA，OC中点，
∴OC=2CF=2OF，OA=2AE=2OE
∴OE=OF=AE=CF，
∴四边形DEBF是平行四边形，.
∵OE=OF=AE=CF
∴OE+OF=EF=OC
∵BD=OC.
∴EF=BD
∴四边形DEBF是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，则，结合中点的定义得到，最后利用"SAS"证明进而即可求证；
（2）根据平行四边形的性质得到，结合中点的定义得到j即可证明四边形DEBF是平行四边形，根据已知条件得到即可求证.
12．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：由题意可知，，∵四边形是矩形，
∴，
．
答：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）先根据平行四边形的对边平行结合并结合线段中点的概念可利用“”证明，再根据全等三角形的性质可得，从而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再根据对角线相等即可判定这个平行四边形是矩形；
（2）由平行四边形的对边相等可知AB等于CD等于3，由中点的概念可得AD等于ED的2倍等于6，又因为矩形的每一个内角都是直角，可在Rt中应用勾股定理即可．
13．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形，由DE⊥AB，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即证；
（2）由平行线的性质可得，利用勾股定理求出BC=5，即得AD=B=DF=5，利用等边对等角可得，从而得出，根据角平分线的定义即得结论.
14．【答案】（1）证明：∵ 过点A，C作BC，AD边上的高AE，CF，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
又∵ ABCD 是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠EAF=90°，
∴ 四边形AECF是矩形；
（2）解：如图，作，连接EF，
，
，
∵平行四边形ABCD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形AECF是矩形，
，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用三个角是直角的四边形是矩形解题即可.
（2） 作，利用余角的性质证得，进而通过AAS判定得到HO=DF，设，再利用矩形的性质求得，由勾股定理可得x=3，进而求得AE的长度，即可计算出矩形AECF的周长.
15．【答案】（1）证明：∵，，
∴点D是的中点．
∵E点是的中点，
∴是的中位线．
∴
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形.
（2）解：∵交于D点，E点是的中点，
∴，
由（1）知，四边形为矩形．
在直角中，，
由勾股定理得：．
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形为矩形；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出，最后利用线段的和差求出即可．
1 / 1
