第五章 《 特殊平行四边形》5.2 菱形（1）-—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2023八下·宁波期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．邻角互补
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
2．（2024八下·西湖期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为( )
A． B． C． D．
3．（2024八下·丽水期末）如图，在菱形中，点是对角线上一动点，于点，于点，记菱形高线的长为，则下列结论：当为中点时，则；；；若，，连结，则有最小值为；若，，连结，则的最大值为其中错误的结论有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2024八下·义乌期中）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )
A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm
5．（2024八下·鄞州期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD于点E，连接OE，若菱形ABCD的面积为16，OA＝4，则OE的长为（ ）
A．3 B．2.5 C． D．2
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·海宁月考）已知菱形ABCD的对角线，则菱形的面积为 .
7．（2024八下·拱墅期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6．点P，点Q同时从点A出发，沿AB方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t，已知当t＝1时，线段DC上有一点M，使四边形PQMD是菱形．若运动过程中，线段DC上另有一点N，使四边形PQND是菱形，则此时t＝ ．
8． 如图， 在菱形 中， 对角线 相交于点 ， 点 在线段 上， 连结 ． 若 ， 则线段 的长为 .
9． 如图， 四边形 是菱形， 交 的延长线于点 交 的延长线于点 ，则线段 与 的关系是 ． (填“ 或“=”)
10．如图，菱形 ABCD的边长为 2，∠DAB=60°，E为 BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则 PB+PE的最小值为 .
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·北仑期末）如图，菱形的对角线与交于点O，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若 ，求四边形的周长．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=OC，连结CE.
（1）求证：四边形OCED是矩形.
（2）连结AE交OD于点F，若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长.
13．（2024八下·鄞州期末）如图，菱形中，，点在对角线上，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）连结，当时，判断与的数量关系并证明．
14．（2024八下·金东期末）如下图，在菱形中，点P是边上的点，连结交对角线于点E，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．
（1）求证：EO=DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：菱形的性质有：菱形的四边相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
矩形具有的性质为：四个角都是直角；对边相等；对角线相等且互相平分；
∴ 菱形具有而矩形不一定具有的性质是：每条对角线平分一组对角.
故答案为：D.
【分析】分别找出菱形与矩形的对角线、边、角的性质，从而即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，，
菱形的面积为，
∴，
，
，
，
为边中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分可得，，根据菱形的面积公式求出BD的值，即可得出OD的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AD的值，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长．
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：菱形，
∴，
连接，
当P为中点时，则：，
∵于点E，于点F，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
，，
∴，
∴；故②正确；
∵于点E，于点F，
∴，
∴，
∵，
∴；故③正确；
连接，过点作，则垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
∵，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为，故④错误；
连接，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的最大值为；故⑤错误；
故答案为：B．
【分析】连接CP，等积法判断①和②，四边形的内角和为360°，结合菱形的对角相等，判断③，连接AC，过点A作AG⊥BC，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接EH，过点E作EH⊥PF，利用含30度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=OC=3cm，BO=OD=4cm，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5cm，
∴菱形的周长为4×5=20cm，
故答案为：D．
【分析】根据菱形的性质得AO=3cm，BO=4cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理求解即可．
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：菱形的面积为，
∴，，
∴在中，．
故答案为：D.
【分析】先根据菱形的性质和面积公式求出AC，进而得到BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出即可.
6．【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，
∴菱形的面积，
故答案为：24.
【分析】菱形的面积可以通过两条对角线长度的乘积的一半来计算.
7．【答案】1或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当t＝1时，AP＝1，AQ＝3，
∴PQ＝2，
∵四边形PQMD是菱形，
∴PD＝PQ＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴AD＝，
当运动时间为t时，AP＝t，AQ＝3t，如图所示：
∴PQ＝2t，
∵四边形PQMD是菱形，
∴PD＝PQ＝2t，
∵∠A＝90°，
∴AP2＋AD2＝PD2，
∴t2＋（）2＝（2t）2，
∴t＝1（负值舍去），
当AQ＝CD＝3t，PQ＝2t，
∴DN＝BN＝（6 t），
∴CN＝t，
∵（6 t）2 t2＝3，
∴t＝，
故答案为：1或．
【分析】当t＝1时，AP＝1，AQ＝3，得到PQ＝2，根据菱形的性质得到PD＝PQ＝2，根据勾股定理得到AD＝，当运动时间为t时，AP＝t，AQ＝3t，求得PQ＝2t，根据勾股定理即可得到结论．
8．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设BE＝x，则CD＝2x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝2x，
∴BD＝3x，
∴OB＝OD＝，
∵OE＋BE＝BO，
∴1＋x＝，
解得：x＝2，
即AB＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，OA＝
在Rt△AOE中，AE＝，
故答案为：.
【分析】设BE＝x，则CD＝2x，先求出OB＝OD＝，再结合OE＋BE＝BO，可得1＋x＝，求出x的值，可得AB＝4，OB＝3，最后利用勾股定理求出AE的长即可.
9．【答案】=
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】：解：接BD，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CBD＝∠ABD，
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF．
故答案为：=。
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得BD平分∠ABC，根据角平分线的性质可得DE=DF．
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点E关于AC的对称点E′，连接BE′交AC于点P，连接PE，BD，
∴PE=PE′，
∴PB+PE=PB+PE′=BE′，
∵两点之间线段最短，
此时 PB+PE的最小值就是BE′的长；
∵菱形ABCD，
∴AC是对称轴，DC=BC，DC=BC，∠DAB=∠DCB=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB=DC=2，
∵点E是BC的中点，
∴E′是DC的中点，
∴BE′⊥DC，E′D=1，
∴∠DE′B=90°，
∴.
∴PB+PE的最小值为
故答案为：.
【分析】作点E关于AC的对称点E′，连接BE′交AC于点P，连接PE，BD，可证得PE=PE′，可推出PB+PE=BE′，利用两点之间线段最短可证此时 PB+PE的最小值就是BE′的长；利用菱形的性质可证得AC是对称轴，DC=BC，DC=BC，∠DAB=∠DCB=60°，可推出△BDC是等边三角形，可求出BD的长；利用等边三角形的性质可求出E′D=1，∠DE′B=90°，利用勾股定理求出PB+PE的最小值.
11．【答案】（1）证明：，．
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
为等边三角形，则
，
，
四边形是矩形，
，
四边形的周长是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握它们的性质和判定定理是解答的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即证；
（2）由菱形的性质及可得∠ABC=60°，可证为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，从而求出，，然后根据矩形的周长公式求解即可．
（1）证明：，．
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
为等边三角形，则
，则
，
四边形是矩形，
，
四边形的周长是．
12．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形。
（2）解： 菱形ABCD的边长为6，
是等边三角形
在 中， ，
四边形OCED是矩形， ，
在 中， ，
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)先证明四边形OCED是平行四边形，结合四边形ABCD是菱形，则可得出∠DOC=90°，则可证得四边形OCED是矩形；
(2)根据菱形的性质，结合∠ABC=60°，得出△ABC为等边三角形，则可求出AC长，在Rt△ACE中，根据勾股定理求出AE长即可.
13．【答案】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图
在菱形中，，，
∵，
∴．（或直接由轴对称性得）
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∴．
∴．∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题；
（2）连接PB，根据菱形的性质准备条件，由SAS证明三角形CDP与三角形CBP全等，证得PB=PD，，然后利用菱形的性质和三角形内角和定理证明，得PB=PF，进而可以解决问题．
14．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
，
.
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用证得，再根据全等三角形的性质得出结论；
（2）先根据全等三角形的性质证得，再由，根据等边对等角证得，然后利用三角形外角的性质列出方程求解．
（1）证明：∵四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
15．【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥ BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，
∴四边形AEBO是矩形，
∴EO=AB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= DC，
∴EO=DC；
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形，
∴∠EBO= 90°．
∵∠EBA =60° ，
∴∠ABO=30°．
在Rt△ABO中，AB=10，∠ABO=30°，
∴AO=5，BO=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=，AC=10，
∴菱形ABCD的面积=．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AEBO是平行四边形，由菱形得性质得AC⊥BD，AB= DC，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBO是矩形，根据矩形的对角线相等即可得解；
（2）根据矩形的性质及角的和差可得∠ABO=30°，在Rt△ABO中，由含30°角直角三角形的性质先求出AO=5，BO=，进而根据菱形的性质得BD=，AC=10，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半计算求解即可.
1 / 1第五章 《 特殊平行四边形》5.2 菱形（1）-—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2023八下·宁波期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．邻角互补
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：菱形的性质有：菱形的四边相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
矩形具有的性质为：四个角都是直角；对边相等；对角线相等且互相平分；
∴ 菱形具有而矩形不一定具有的性质是：每条对角线平分一组对角.
故答案为：D.
【分析】分别找出菱形与矩形的对角线、边、角的性质，从而即可得出答案.
2．（2024八下·西湖期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，，
菱形的面积为，
∴，
，
，
，
为边中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分可得，，根据菱形的面积公式求出BD的值，即可得出OD的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AD的值，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长．
3．（2024八下·丽水期末）如图，在菱形中，点是对角线上一动点，于点，于点，记菱形高线的长为，则下列结论：当为中点时，则；；；若，，连结，则有最小值为；若，，连结，则的最大值为其中错误的结论有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：菱形，
∴，
连接，
当P为中点时，则：，
∵于点E，于点F，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
，，
∴，
∴；故②正确；
∵于点E，于点F，
∴，
∴，
∵，
∴；故③正确；
连接，过点作，则垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
∵，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为，故④错误；
连接，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的最大值为；故⑤错误；
故答案为：B．
【分析】连接CP，等积法判断①和②，四边形的内角和为360°，结合菱形的对角相等，判断③，连接AC，过点A作AG⊥BC，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接EH，过点E作EH⊥PF，利用含30度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可．
4．（2024八下·义乌期中）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )
A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=OC=3cm，BO=OD=4cm，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5cm，
∴菱形的周长为4×5=20cm，
故答案为：D．
【分析】根据菱形的性质得AO=3cm，BO=4cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理求解即可．
5．（2024八下·鄞州期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD于点E，连接OE，若菱形ABCD的面积为16，OA＝4，则OE的长为（ ）
A．3 B．2.5 C． D．2
【答案】D
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：菱形的面积为，
∴，，
∴在中，．
故答案为：D.
【分析】先根据菱形的性质和面积公式求出AC，进而得到BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·海宁月考）已知菱形ABCD的对角线，则菱形的面积为 .
【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，
∴菱形的面积，
故答案为：24.
【分析】菱形的面积可以通过两条对角线长度的乘积的一半来计算.
7．（2024八下·拱墅期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6．点P，点Q同时从点A出发，沿AB方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t，已知当t＝1时，线段DC上有一点M，使四边形PQMD是菱形．若运动过程中，线段DC上另有一点N，使四边形PQND是菱形，则此时t＝ ．
【答案】1或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当t＝1时，AP＝1，AQ＝3，
∴PQ＝2，
∵四边形PQMD是菱形，
∴PD＝PQ＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴AD＝，
当运动时间为t时，AP＝t，AQ＝3t，如图所示：
∴PQ＝2t，
∵四边形PQMD是菱形，
∴PD＝PQ＝2t，
∵∠A＝90°，
∴AP2＋AD2＝PD2，
∴t2＋（）2＝（2t）2，
∴t＝1（负值舍去），
当AQ＝CD＝3t，PQ＝2t，
∴DN＝BN＝（6 t），
∴CN＝t，
∵（6 t）2 t2＝3，
∴t＝，
故答案为：1或．
【分析】当t＝1时，AP＝1，AQ＝3，得到PQ＝2，根据菱形的性质得到PD＝PQ＝2，根据勾股定理得到AD＝，当运动时间为t时，AP＝t，AQ＝3t，求得PQ＝2t，根据勾股定理即可得到结论．
8． 如图， 在菱形 中， 对角线 相交于点 ， 点 在线段 上， 连结 ． 若 ， 则线段 的长为 .
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设BE＝x，则CD＝2x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝2x，
∴BD＝3x，
∴OB＝OD＝，
∵OE＋BE＝BO，
∴1＋x＝，
解得：x＝2，
即AB＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，OA＝
在Rt△AOE中，AE＝，
故答案为：.
【分析】设BE＝x，则CD＝2x，先求出OB＝OD＝，再结合OE＋BE＝BO，可得1＋x＝，求出x的值，可得AB＝4，OB＝3，最后利用勾股定理求出AE的长即可.
9． 如图， 四边形 是菱形， 交 的延长线于点 交 的延长线于点 ，则线段 与 的关系是 ． (填“ 或“=”)
【答案】=
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】：解：接BD，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CBD＝∠ABD，
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF．
故答案为：=。
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得BD平分∠ABC，根据角平分线的性质可得DE=DF．
10．如图，菱形 ABCD的边长为 2，∠DAB=60°，E为 BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则 PB+PE的最小值为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点E关于AC的对称点E′，连接BE′交AC于点P，连接PE，BD，
∴PE=PE′，
∴PB+PE=PB+PE′=BE′，
∵两点之间线段最短，
此时 PB+PE的最小值就是BE′的长；
∵菱形ABCD，
∴AC是对称轴，DC=BC，DC=BC，∠DAB=∠DCB=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB=DC=2，
∵点E是BC的中点，
∴E′是DC的中点，
∴BE′⊥DC，E′D=1，
∴∠DE′B=90°，
∴.
∴PB+PE的最小值为
故答案为：.
【分析】作点E关于AC的对称点E′，连接BE′交AC于点P，连接PE，BD，可证得PE=PE′，可推出PB+PE=BE′，利用两点之间线段最短可证此时 PB+PE的最小值就是BE′的长；利用菱形的性质可证得AC是对称轴，DC=BC，DC=BC，∠DAB=∠DCB=60°，可推出△BDC是等边三角形，可求出BD的长；利用等边三角形的性质可求出E′D=1，∠DE′B=90°，利用勾股定理求出PB+PE的最小值.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·北仑期末）如图，菱形的对角线与交于点O，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若 ，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：，．
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
为等边三角形，则
，
，
四边形是矩形，
，
四边形的周长是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握它们的性质和判定定理是解答的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即证；
（2）由菱形的性质及可得∠ABC=60°，可证为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，从而求出，，然后根据矩形的周长公式求解即可．
（1）证明：，．
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
为等边三角形，则
，则
，
四边形是矩形，
，
四边形的周长是．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=OC，连结CE.
（1）求证：四边形OCED是矩形.
（2）连结AE交OD于点F，若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形。
（2）解： 菱形ABCD的边长为6，
是等边三角形
在 中， ，
四边形OCED是矩形， ，
在 中， ，
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)先证明四边形OCED是平行四边形，结合四边形ABCD是菱形，则可得出∠DOC=90°，则可证得四边形OCED是矩形；
(2)根据菱形的性质，结合∠ABC=60°，得出△ABC为等边三角形，则可求出AC长，在Rt△ACE中，根据勾股定理求出AE长即可.
13．（2024八下·鄞州期末）如图，菱形中，，点在对角线上，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）连结，当时，判断与的数量关系并证明．
【答案】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图
在菱形中，，，
∵，
∴．（或直接由轴对称性得）
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∴．
∴．∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题；
（2）连接PB，根据菱形的性质准备条件，由SAS证明三角形CDP与三角形CBP全等，证得PB=PD，，然后利用菱形的性质和三角形内角和定理证明，得PB=PF，进而可以解决问题．
14．（2024八下·金东期末）如下图，在菱形中，点P是边上的点，连结交对角线于点E，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
，
.
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用证得，再根据全等三角形的性质得出结论；
（2）先根据全等三角形的性质证得，再由，根据等边对等角证得，然后利用三角形外角的性质列出方程求解．
（1）证明：∵四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．
（1）求证：EO=DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥ BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，
∴四边形AEBO是矩形，
∴EO=AB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= DC，
∴EO=DC；
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形，
∴∠EBO= 90°．
∵∠EBA =60° ，
∴∠ABO=30°．
在Rt△ABO中，AB=10，∠ABO=30°，
∴AO=5，BO=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=，AC=10，
∴菱形ABCD的面积=．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AEBO是平行四边形，由菱形得性质得AC⊥BD，AB= DC，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBO是矩形，根据矩形的对角线相等即可得解；
（2）根据矩形的性质及角的和差可得∠ABO=30°，在Rt△ABO中，由含30°角直角三角形的性质先求出AO=5，BO=，进而根据菱形的性质得BD=，AC=10，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半计算求解即可.
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