第五章 《 特殊平行四边形》5.2 菱形（2）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·桂阳期中）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．BA＝BC B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CD
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直，
则需添加条件：AC、BD互相平分
故选：B
【分析】
A、当BA＝BC时，只能说明BD垂直平分AC，虽然DA＝DC，但不能保证AB＝AD，因此不能判定四边形是菱形；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；
C、对角线互相垂直且相等并不能保证对角线互相平分，因此不能判定四边形是菱形；
D、设AC交BD于点O，当AC垂直BD且AB平行CD时只能推导出AB＝CD，则只能判定四边形是平行四边形，由于邻边不一定相等，所以不一定是菱形．
2．（2024八下·鹤壁期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（ ）
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴四边形是等腰梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A错误；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，故B正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故C正确；
∵，AD=BC，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故D正确.
故答案为：A．
【分析】（1）根据等腰梯形判定求解；
（2）根据平行四边形的判定、矩形的判定求解；
（3）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解；
（4）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解．
3．（2023八下·宁德期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、根据“等角对等边”可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，故选项A不符合题意；
B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为菱形，故选项B不符合题意；
C、根据同旁内角互补，两直线平行，可得一组对比平行，但不能得到平行四边形是菱形，故选项C符合题意；
D、根据平行四边形的对边平行，平行四边形的性质以及“等角对等边”可得平行四边形的两条邻边相等，据此可得到平行四边形为菱形，故选项D不符合题意；
故选C．
【分析】根据平行四边形形的性质结合菱形的判定方法对四个选项逐一进行判断即可．
4．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形)判断即可．
【解答】由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选B．
【点评】本题主要考查对作图-复杂作图，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
5．（2024八下·深圳期末）如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（ ）
①； ②； ③； ④．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：①根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形知，平行四边形ABCD是菱形，①满足题意；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD是矩形，②不满足题意；
③根据一组邻边相等的平行四边形是菱形知，平行四边形ABCD是菱形，③满足题意；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD是矩形，④不满足题意，
故满足题意的有①③.
故答案为：A．
【分析】根据菱形的判定定理：对角线相互垂直的平行四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；四个角是直角的四边形是矩形，可逐一判断得出答案.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·东莞期中）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】AB=BE（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：添加AB=BE，
∵将沿着方向平移得到，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形是菱形，
故答案为：AB=BE（答案不唯一）
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）分析求解即可.
7．如图， 在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形． 小米的作法是： 连结 ， 作 的垂直平分线 分别交 于点 ， 连结 ， 则四边形 是菱形．则小米的依据是
【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON，
∵AD∥BC，
∴∠AMO＝∠CNO，
在△AOM和△CON中
∴△AOM≌△CON（AAS）
∴AM＝CN，
又∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
故答案为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【分析】由MN垂直平分AC，推出△AOM≌△CON，从而得出AM＝CN，再根据AM∥CN，推出四边形AMCN是平行四边形，再由MN⊥AC，即可得出四边形AMCN是菱形，即可得出答案．
8．（2024八下·旌阳期中）如图，在矩形中，O为的中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是的中点，且，则下列结论：①；②；③四边形为菱形；④．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①设，则，
由勾股定理得，，
∵O为中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴此结论符合题意；
②∵，，
∴，
∴此结论不符合题意；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
∵点O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△OAE和△OCF中
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴AE=CF，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∴此结论符合题意；
④∵，，
∴，
∴此结论符合题意.
综上可得，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】①设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断此结论正确，
②结合①的结论可判断此结论错误；
③由题意，用角边角可证△OAE≌△OCF，由全等三角形的对应边相等可得AE=CF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断结论正确；
④根据三角形的面积和矩形的面积列式即可判断结论正确．
9．（2024八下·吉林期中）如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使，连接，请再添加一个条件： ，使四边形是菱形．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形．
10．（2024八下·石阡期中）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是 （填序号）．
【答案】②
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：当BA=BC时，四边形ADCE是菱形．
理由：∵AE∥CD，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形．
【分析】根据②作条件，先证明四边形ADCE是平行四边形，再证明一组邻边相等，可证得四边形ADCE是菱形.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·从江月考）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=10，BD=6，AB=4.
（1）求证：AB⊥BD；
（2）E，F分别是AD和BC的中点，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是菱形.
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=10，BD=6，
∴AO=CO=5，BO=DO=3.
∵AB=4，
∴32+42=52，即BO2+AB2=AO2，
∴△ABO为直角三角形，∠ABD=90°，
∴AB⊥BD.
（2）解：由（1）知△ABO为直角三角形.
∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴BE=DE=AE，BF=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵BE=DE，
∴平行四边形BEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得AO=CO=5，BO=DO=3，然后根据勾股定理的逆定理判断出△ABO=90°，且∠ABD=90°，从而即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=DE=AD，由中点定义得BF=CF=BC，由平行四边形的对边平行且相等得BC=AD，BC∥AD，则BF=DE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BEDF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
12．（2023八下·海淀期中）在中，，是的中点，过点作，且，连接交于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为，求的长．
【答案】（1）证明：∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∵点是边的中点，，
∴，
∴平行四边形是菱形.
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形是菱形；
（2）先利用菱形的性质可得，再利用“SSS”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，可得，求出DE的长，最后利用勾股定理求出BE的长即可.
（1）证明：∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∵点是边的中点，，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（2024八下·赤坎期末） 如图， 在矩形 中， 为 的中点， 过点 作 分别交 于点 .
（1） 求证： 四边形 是菱形；
（2） 若 ， 求四边形 的面积.
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴，
∵O为BD的中点，
∴，
∵，
∴，
∴OE=OF，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：在Rt △ DOF中，，
，
，，
四边形的面积为：．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先根据ASA证三角形OBE与ODF全等，得OE=OF，根据对角线互相平行证四边形BEDF为平行四边形，然后对角线垂直证得菱形；
（2）利用勾股定理求出OD的长，根据菱形的性质，求出EF和BD的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
14．（2024八下·博罗期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF，∠ECA=∠FCA.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝8，BC＝4，求菱形AFCE的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DE＝BF，
∴EC＝AF.
又∵EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵CD∥AB，∴∠ECA=∠FAC.
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA＝FC.
∴平行四边形AFCE是菱形.
（2）解：设FB＝x，则AF＝CF＝8－x，
在Rt△BCF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
∴菱形的边长AF＝8－3＝5.
∴菱形AFCE的面积为5×4＝20.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得CD∥AB，CD＝AB，推出EC=AF，根据平行四边形的判定可得四边形AFCE为平行四边形，再根据平行线的性质和等角对等边可得FA=FC，即可判定；
（2）设FB＝x，则AF＝CF＝8－x，根据勾股定理可得AF的长，再求菱形AFCE的面积即可.
15．（江西省赣州市兴国县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，在矩形ABCD中，P，M分别是AD，CD的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，找出BC的中点E；
（2）在图2中，以PM为边作一个菱形．
【答案】（1）解：连接AC，BD，交于点O，连接PO并延长交BC于点E，如图所示：
∴点E即为所求。
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠APO＝∠CEO，∠OAP＝∠OCE，
∴△AOP≌△COE（AAS），
∴AP＝CE，
∵点P是AD的中点，
∴AP＝AD，
∴CE＝BC，
故点E是BC的中点；
（2）解：分别取BC、AB的中点F、E，连接MF、FE、EP，四边形PEFM即为所作，如图所示：
∴菱形PMEF即为所求.
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC，AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠APO＝∠CFO，∠OAP＝∠OCF，∠OEB＝∠OMD，∠OBE＝∠ODM，
∴△AOP≌△COF（AAS），△EOB≌△MOD（AAS），
∴AP＝CF，PO＝FO，EO＝MO，BE＝DM，
∴四边形EFMP是平行四边形，
∵P，M分别是AD，CD的中点，
∴AP＝AD，DM＝DC，
∴AP＝BF，AE＝BE，
∴∠A＝∠EBF＝90°，
∴△APE≌△BFE（SAS），
∴PE＝EF，
∴平行四边形EFMP是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接AC，BD，交于点O，连接PO并延长交BC于点E；先利用“AAS”证出△AOP≌△COE，可得AP=CE，再利用线段中点的性质可得AP＝AD，最后利用等量代换可得CE＝BC，即可得到点E是BC的中点；
（2）分别取BC、AB的中点F、E，连接MF、FE、EP，四边形PEFM即为所作；先证出四边形EFMP是平行四边形，再结合P，M分别是AD，CD的中点，可得AP＝AD，DM＝DC，再利用“SAS”证出△APE≌△BFE，可得PE＝EF，从而可证出平行四边形EFMP是菱形．
1 / 1第五章 《 特殊平行四边形》5.2 菱形（2）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·桂阳期中）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．BA＝BC B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CD
2．（2024八下·鹤壁期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（ ）
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
3．（2023八下·宁德期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5．（2024八下·深圳期末）如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（ ）
①； ②； ③； ④．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·东莞期中）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
7．如图， 在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形． 小米的作法是： 连结 ， 作 的垂直平分线 分别交 于点 ， 连结 ， 则四边形 是菱形．则小米的依据是
8．（2024八下·旌阳期中）如图，在矩形中，O为的中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是的中点，且，则下列结论：①；②；③四边形为菱形；④．其中正确的是 ．（填序号）
9．（2024八下·吉林期中）如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使，连接，请再添加一个条件： ，使四边形是菱形．
10．（2024八下·石阡期中）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是 （填序号）．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·从江月考）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=10，BD=6，AB=4.
（1）求证：AB⊥BD；
（2）E，F分别是AD和BC的中点，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是菱形.
12．（2023八下·海淀期中）在中，，是的中点，过点作，且，连接交于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为，求的长．
13．（2024八下·赤坎期末） 如图， 在矩形 中， 为 的中点， 过点 作 分别交 于点 .
（1） 求证： 四边形 是菱形；
（2） 若 ， 求四边形 的面积.
14．（2024八下·博罗期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF，∠ECA=∠FCA.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝8，BC＝4，求菱形AFCE的面积.
15．（江西省赣州市兴国县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，在矩形ABCD中，P，M分别是AD，CD的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，找出BC的中点E；
（2）在图2中，以PM为边作一个菱形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直，
则需添加条件：AC、BD互相平分
故选：B
【分析】
A、当BA＝BC时，只能说明BD垂直平分AC，虽然DA＝DC，但不能保证AB＝AD，因此不能判定四边形是菱形；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；
C、对角线互相垂直且相等并不能保证对角线互相平分，因此不能判定四边形是菱形；
D、设AC交BD于点O，当AC垂直BD且AB平行CD时只能推导出AB＝CD，则只能判定四边形是平行四边形，由于邻边不一定相等，所以不一定是菱形．
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴四边形是等腰梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A错误；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，故B正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故C正确；
∵，AD=BC，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故D正确.
故答案为：A．
【分析】（1）根据等腰梯形判定求解；
（2）根据平行四边形的判定、矩形的判定求解；
（3）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解；
（4）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解．
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、根据“等角对等边”可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，故选项A不符合题意；
B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为菱形，故选项B不符合题意；
C、根据同旁内角互补，两直线平行，可得一组对比平行，但不能得到平行四边形是菱形，故选项C符合题意；
D、根据平行四边形的对边平行，平行四边形的性质以及“等角对等边”可得平行四边形的两条邻边相等，据此可得到平行四边形为菱形，故选项D不符合题意；
故选C．
【分析】根据平行四边形形的性质结合菱形的判定方法对四个选项逐一进行判断即可．
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形)判断即可．
【解答】由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选B．
【点评】本题主要考查对作图-复杂作图，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
5．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：①根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形知，平行四边形ABCD是菱形，①满足题意；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD是矩形，②不满足题意；
③根据一组邻边相等的平行四边形是菱形知，平行四边形ABCD是菱形，③满足题意；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD是矩形，④不满足题意，
故满足题意的有①③.
故答案为：A．
【分析】根据菱形的判定定理：对角线相互垂直的平行四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；四个角是直角的四边形是矩形，可逐一判断得出答案.
6．【答案】AB=BE（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：添加AB=BE，
∵将沿着方向平移得到，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形是菱形，
故答案为：AB=BE（答案不唯一）
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）分析求解即可.
7．【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON，
∵AD∥BC，
∴∠AMO＝∠CNO，
在△AOM和△CON中
∴△AOM≌△CON（AAS）
∴AM＝CN，
又∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
故答案为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【分析】由MN垂直平分AC，推出△AOM≌△CON，从而得出AM＝CN，再根据AM∥CN，推出四边形AMCN是平行四边形，再由MN⊥AC，即可得出四边形AMCN是菱形，即可得出答案．
8．【答案】①③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①设，则，
由勾股定理得，，
∵O为中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴此结论符合题意；
②∵，，
∴，
∴此结论不符合题意；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
∵点O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△OAE和△OCF中
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴AE=CF，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∴此结论符合题意；
④∵，，
∴，
∴此结论符合题意.
综上可得，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】①设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断此结论正确，
②结合①的结论可判断此结论错误；
③由题意，用角边角可证△OAE≌△OCF，由全等三角形的对应边相等可得AE=CF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断结论正确；
④根据三角形的面积和矩形的面积列式即可判断结论正确．
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形．
10．【答案】②
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：当BA=BC时，四边形ADCE是菱形．
理由：∵AE∥CD，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形．
【分析】根据②作条件，先证明四边形ADCE是平行四边形，再证明一组邻边相等，可证得四边形ADCE是菱形.
11．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=10，BD=6，
∴AO=CO=5，BO=DO=3.
∵AB=4，
∴32+42=52，即BO2+AB2=AO2，
∴△ABO为直角三角形，∠ABD=90°，
∴AB⊥BD.
（2）解：由（1）知△ABO为直角三角形.
∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴BE=DE=AE，BF=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵BE=DE，
∴平行四边形BEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得AO=CO=5，BO=DO=3，然后根据勾股定理的逆定理判断出△ABO=90°，且∠ABD=90°，从而即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=DE=AD，由中点定义得BF=CF=BC，由平行四边形的对边平行且相等得BC=AD，BC∥AD，则BF=DE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BEDF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
12．【答案】（1）证明：∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∵点是边的中点，，
∴，
∴平行四边形是菱形.
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形是菱形；
（2）先利用菱形的性质可得，再利用“SSS”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，可得，求出DE的长，最后利用勾股定理求出BE的长即可.
（1）证明：∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∵点是边的中点，，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．【答案】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴，
∵O为BD的中点，
∴，
∵，
∴，
∴OE=OF，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：在Rt △ DOF中，，
，
，，
四边形的面积为：．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先根据ASA证三角形OBE与ODF全等，得OE=OF，根据对角线互相平行证四边形BEDF为平行四边形，然后对角线垂直证得菱形；
（2）利用勾股定理求出OD的长，根据菱形的性质，求出EF和BD的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DE＝BF，
∴EC＝AF.
又∵EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵CD∥AB，∴∠ECA=∠FAC.
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA＝FC.
∴平行四边形AFCE是菱形.
（2）解：设FB＝x，则AF＝CF＝8－x，
在Rt△BCF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
∴菱形的边长AF＝8－3＝5.
∴菱形AFCE的面积为5×4＝20.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得CD∥AB，CD＝AB，推出EC=AF，根据平行四边形的判定可得四边形AFCE为平行四边形，再根据平行线的性质和等角对等边可得FA=FC，即可判定；
（2）设FB＝x，则AF＝CF＝8－x，根据勾股定理可得AF的长，再求菱形AFCE的面积即可.
15．【答案】（1）解：连接AC，BD，交于点O，连接PO并延长交BC于点E，如图所示：
∴点E即为所求。
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠APO＝∠CEO，∠OAP＝∠OCE，
∴△AOP≌△COE（AAS），
∴AP＝CE，
∵点P是AD的中点，
∴AP＝AD，
∴CE＝BC，
故点E是BC的中点；
（2）解：分别取BC、AB的中点F、E，连接MF、FE、EP，四边形PEFM即为所作，如图所示：
∴菱形PMEF即为所求.
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC，AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠APO＝∠CFO，∠OAP＝∠OCF，∠OEB＝∠OMD，∠OBE＝∠ODM，
∴△AOP≌△COF（AAS），△EOB≌△MOD（AAS），
∴AP＝CF，PO＝FO，EO＝MO，BE＝DM，
∴四边形EFMP是平行四边形，
∵P，M分别是AD，CD的中点，
∴AP＝AD，DM＝DC，
∴AP＝BF，AE＝BE，
∴∠A＝∠EBF＝90°，
∴△APE≌△BFE（SAS），
∴PE＝EF，
∴平行四边形EFMP是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接AC，BD，交于点O，连接PO并延长交BC于点E；先利用“AAS”证出△AOP≌△COE，可得AP=CE，再利用线段中点的性质可得AP＝AD，最后利用等量代换可得CE＝BC，即可得到点E是BC的中点；
（2）分别取BC、AB的中点F、E，连接MF、FE、EP，四边形PEFM即为所作；先证出四边形EFMP是平行四边形，再结合P，M分别是AD，CD的中点，可得AP＝AD，DM＝DC，再利用“SAS”证出△APE≌△BFE，可得PE＝EF，从而可证出平行四边形EFMP是菱形．
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