第五章 《 特殊平行四边形》5.3 正方形（1）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·杭州期末）如图，在正方形中，，点E、F分别是边、的中点，连接、，点M，N分别是、的中点，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点E、F分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵点M，N为别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】连接，利用正方形的性质和勾股定理求得长，再利用三角形中位线定理解答．
2．（2017八下·港南期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
3． 如图， 正方形 的边长是 2 ， 对角线 相交于点 ， 点 分别在边 ， 上， 且 ， 则四边形 的面积为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S△AOE＝S△BOF，
∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质和角的运算利用等量代换可得∠AOE＝∠BOF，再利用“ASA”证出△AOE≌△BOF，可得S△AOE＝S△BOF，最后利用正方形的面积公式及等量代换求出四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1即可.
4．如图， 在正方形 中， 是 上的一点， 且 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAE＝45°，∠ABC＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180° 45°）＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC ∠ABE＝90° 67.5°＝22.5°．
∴∠EBC的度数是22.5°．
故答案为：C.
【分析】利用正方形的性质可得∠BAE＝45°，∠ABC＝90°，再利用三角形的内角和公式及等腰三角形的性质求出∠ABE＝∠AEB＝（180° 45°）＝67.5°，最后利用角的运算求出∠EBC＝∠ABC ∠ABE＝90° 67.5°＝22.5°即可.
5．（2024八下·苍南期末）如图，四边形是边长为的正方形，点，分别在，上，连结，，当，时，的长( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为：B
【分析】连接AE，过点E作EM⊥AD于点M，根据SAS证，得出AECE，∠ECD=∠EAD，结合CE=EF得出AE-EF，于是得出∠AFE=∠FAE，即可求出∠EAD=30°，设EM=a，则AE=2a，根据勾股定理求出AM的长，再求出DM的长，根据AD=1即可求出a的值，从而求出CE的长．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD中，在BC延长线上，AE，BD交于点，连接FC，若，那么的度数是 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质可得，进而通过SAS判定，再由三角形外角和定理求得，然后通过三角形内角和定理求得的度数 .
7． 如图， 在边长为 3 的正方形 中， 对角线 相交于点 是 上的任意一点， 于点 于点 ， 则 的值为
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBO＝∠BCO＝45°，OB＝BD，
∴BD＝，∠BOC＝90°，
∴OB＝，
∵ME⊥BD于点E，MF⊥AC于点F，
∴∠OEM＝∠OFM＝90°＝∠EOF，△BEM是等腰直角三角形，
∴四边形OEMF是矩形，ME＝BE，
∴MF＝OE，
∴ME＋MF＝BE＋OE＝OB＝；
故答案为：.
【分析】先证出∠OEM＝∠OFM＝90°＝∠EOF，△BEM是等腰直角三角形，可得四边形OEMF是矩形，ME＝BE，再结合MF＝OE，利用线段的和差及等量代换可得ME＋MF＝BE＋OE＝OB＝，从而得解.
8．（2024八下·宁波期中）如图，已知点P是正方形对角线上一点，且，于点F，于点E，连结，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】连接，由正方形的性质“正方形的各边都相等、各角都等于90°、对角线平分每一组对角”可得，，，结合已知用边角边可证≌，由全等三角形的对应边相等得，根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”可得四边形PFCE是矩形，由矩形的性质“矩形的对角线相等”可得，于是EF的长可求解．
9．（2024八下·台州期中）如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】正方形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半解题．
10． 在正方形 中， 交对角线 于点 ， 则 等于
【答案】70°
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
.
故答案为：70°.
【分析】利用正方形的性质可得，进而通过SAS判定，再通过三角形外角和定理求得的度数.
三、解答题（共5题，共50分）
11． 如图， 正方形 的对角线交于点 ， 点 分别在 上 ， 且 的延长线交于点 的延长线交于点 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2） 若正方形 的边长为 为 的中点，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
（2）如图，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得根据同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，依据ASA判定△OAM≌△OBN即可推出OM=ON；
（2）根据正方形的性质求出OH=HA=2，根据勾股定理可得OM，进而求得MN.
12．在正方形 中， 对角线 与 相交于点 是线段 上的动点．
（1） 如图 1， 若 平分 ． ①求证： ． ②若 ， 求 的长．
（2） 如图 2， 延长 交 于点 ， 连结 ． 当 时， 探究 与 的数量关系， 并说明理由．
【答案】（1）解：①在正方形ABCD中，
② 如图，作，
，
，
（2）∴四边形HFCD为矩形，
∴DH=CF=AG=GH，
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1) ① 利用正方形的性质可得，再通过角平分线的定义得到，进而证得，故.
② 作，利用勾股定理求得EH的长度，再通过角平分线的性质求得OE的长度.
(2)由正方形的性质可得，再通过ASA判定得到OG=OF，进而证得GF=DF，接着由等腰三角形的性质得到GH=DH ，然后利用矩形的性质证得AD=3CF.
13．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG.求证：EF=FG.
（2）如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°.若BM=1，CN=3，求MN的长.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∠EAG=90°，
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF=FG；
（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，取CE=BM，连接AE、EN，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CE⊥BC，
∴∠ACE=∠B=45°，
在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE（SAS）
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，
∵∠BAC=90°，∠NAM=45°，
∴∠BAM+∠CAN=45°，
∴∠MAN=∠EAN=45°，
在△AMN和△AEN中，
∴△AMN≌△AEN（SAS）
∴MN=EN，
在Rt△CEN中，由勾股定理得：EN2=EC2+NC2，
∴MN2=BM2+CN2，
∵BM =1，NC =3，
∴MN=.
故答案为：.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意用边角边可证△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可得∠BAE=∠DAG，AE=AG，结合已知用边角边可证△AEF≌△AGF，由全等三角形的性质可求解；
（2）过点C作CE⊥BC，取CE=BM，连接AE、EN，由题意用边角边可证△ABM≌△ACE，由全等三角形的性质可得AM=AE，∠BAM=∠CAE，结合已知用边角边可证△AMN≌△AEN，则MN=EN，在Rt△CEN中，由勾股定理可求解.
14．如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ACD沿着 DA 方向平移得到△A'C'D'，A'C'，D'C'分别与AB，AC 相交于点G，H(点G不与点B重合).
（1）求证：四边形 AGC'H 是平行四边形.
（2）若四边形AGC'H 是菱形，求 AH 的长.
【答案】（1）证明：如图，过点C作CD⊥AD'交AD延长线于点D，
∵ 把△ACD沿着DA方向平移得到△A'C'D'，
∴AC∥A'C'，C'D'∥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴C'D'∥AB，
∴四边形AGC'H是平行四边形；
（2）解：∵四边形AGC'H是菱形，
∴AG=GC'=C'H=AH，
设AG=GC'=C'H=AH=x，则BG=AB-AG=4-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∵ 把△ACD沿着DA方向平移得到△A'C'D'，
∴∠A'C'D'=∠ACD=45°，
∵C'D'∥AB，
∴∠BGc'=∠A'C'D'=45°，
∴△BC'G是等腰直角三角形，
∴，即，
解得
∴AH=(8-4) cm.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；正方形的性质；平移的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）如图，过点C作CD⊥AD'交AD延长线于点D，由平移的性质得AC∥A'C'，C'D'∥CD，由正方形的性质得CD∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得C'D'∥AB，进而根据两组对边分别平行得四边形是平行四边形可得四边形AGC'H是平行四边形；
（2）由菱形的性质设AG=GC'=C'H=AH=x，则BG=AB-AG=4-x，由正方形的性质及平移的性质得∠A'C'D'=∠ACD=45°，由平行线的性质推出∠BGc'=∠A'C'D'=45°，则△BC'G是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，据此建立方程，求解即可得出答案.
15．
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在(1)的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于点M ，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：AE=AF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ADE =90° ，AB=AD．
∵∠BAF+∠BAE= 90° ，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠ DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE(ASA) ，
∴AE=AF．
（2）解：CE=MF．
理由：∵△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，即∠AFM= ∠AEC．
∴∠MAF+∠FAC= 90°，∠EAC+ ∠FAC= 90，
∴∠MAF=∠CAE．
在△AMF和△ACE中，
∴△AMF≌△ACE(ASA) ，
∴CE=MF．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)先利用余角的性质证得∠BAF=∠ DAE，再通过ASA判定△ABF≌△ADE，进而证得AE=AF．
(2)通过全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，AE=AF，进而证得∠AFM= ∠AEC，再利用余角的性质证得∠MAF=∠CAE，然后通过ASA判定△AMF≌△ACE，即可证得CE=MF．
1 / 1第五章 《 特殊平行四边形》5.3 正方形（1）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·杭州期末）如图，在正方形中，，点E、F分别是边、的中点，连接、，点M，N分别是、的中点，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
2．（2017八下·港南期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
3． 如图， 正方形 的边长是 2 ， 对角线 相交于点 ， 点 分别在边 ， 上， 且 ， 则四边形 的面积为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．4
4．如图， 在正方形 中， 是 上的一点， 且 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·苍南期末）如图，四边形是边长为的正方形，点，分别在，上，连结，，当，时，的长( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD中，在BC延长线上，AE，BD交于点，连接FC，若，那么的度数是 .
7． 如图， 在边长为 3 的正方形 中， 对角线 相交于点 是 上的任意一点， 于点 于点 ， 则 的值为
8．（2024八下·宁波期中）如图，已知点P是正方形对角线上一点，且，于点F，于点E，连结，则的长为 ．
9．（2024八下·台州期中）如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积 ．
10． 在正方形 中， 交对角线 于点 ， 则 等于
三、解答题（共5题，共50分）
11． 如图， 正方形 的对角线交于点 ， 点 分别在 上 ， 且 的延长线交于点 的延长线交于点 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2） 若正方形 的边长为 为 的中点，求 的长．
12．在正方形 中， 对角线 与 相交于点 是线段 上的动点．
（1） 如图 1， 若 平分 ． ①求证： ． ②若 ， 求 的长．
（2） 如图 2， 延长 交 于点 ， 连结 ． 当 时， 探究 与 的数量关系， 并说明理由．
13．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG.求证：EF=FG.
（2）如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°.若BM=1，CN=3，求MN的长.
14．如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ACD沿着 DA 方向平移得到△A'C'D'，A'C'，D'C'分别与AB，AC 相交于点G，H(点G不与点B重合).
（1）求证：四边形 AGC'H 是平行四边形.
（2）若四边形AGC'H 是菱形，求 AH 的长.
15．
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在(1)的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于点M ，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点E、F分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵点M，N为别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】连接，利用正方形的性质和勾股定理求得长，再利用三角形中位线定理解答．
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
3．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S△AOE＝S△BOF，
∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质和角的运算利用等量代换可得∠AOE＝∠BOF，再利用“ASA”证出△AOE≌△BOF，可得S△AOE＝S△BOF，最后利用正方形的面积公式及等量代换求出四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1即可.
4．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAE＝45°，∠ABC＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180° 45°）＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC ∠ABE＝90° 67.5°＝22.5°．
∴∠EBC的度数是22.5°．
故答案为：C.
【分析】利用正方形的性质可得∠BAE＝45°，∠ABC＝90°，再利用三角形的内角和公式及等腰三角形的性质求出∠ABE＝∠AEB＝（180° 45°）＝67.5°，最后利用角的运算求出∠EBC＝∠ABC ∠ABE＝90° 67.5°＝22.5°即可.
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为：B
【分析】连接AE，过点E作EM⊥AD于点M，根据SAS证，得出AECE，∠ECD=∠EAD，结合CE=EF得出AE-EF，于是得出∠AFE=∠FAE，即可求出∠EAD=30°，设EM=a，则AE=2a，根据勾股定理求出AM的长，再求出DM的长，根据AD=1即可求出a的值，从而求出CE的长．
6．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质可得，进而通过SAS判定，再由三角形外角和定理求得，然后通过三角形内角和定理求得的度数 .
7．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBO＝∠BCO＝45°，OB＝BD，
∴BD＝，∠BOC＝90°，
∴OB＝，
∵ME⊥BD于点E，MF⊥AC于点F，
∴∠OEM＝∠OFM＝90°＝∠EOF，△BEM是等腰直角三角形，
∴四边形OEMF是矩形，ME＝BE，
∴MF＝OE，
∴ME＋MF＝BE＋OE＝OB＝；
故答案为：.
【分析】先证出∠OEM＝∠OFM＝90°＝∠EOF，△BEM是等腰直角三角形，可得四边形OEMF是矩形，ME＝BE，再结合MF＝OE，利用线段的和差及等量代换可得ME＋MF＝BE＋OE＝OB＝，从而得解.
8．【答案】3
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】连接，由正方形的性质“正方形的各边都相等、各角都等于90°、对角线平分每一组对角”可得，，，结合已知用边角边可证≌，由全等三角形的对应边相等得，根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”可得四边形PFCE是矩形，由矩形的性质“矩形的对角线相等”可得，于是EF的长可求解．
9．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】正方形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半解题．
10．【答案】70°
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
.
故答案为：70°.
【分析】利用正方形的性质可得，进而通过SAS判定，再通过三角形外角和定理求得的度数.
11．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
（2）如图，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得根据同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，依据ASA判定△OAM≌△OBN即可推出OM=ON；
（2）根据正方形的性质求出OH=HA=2，根据勾股定理可得OM，进而求得MN.
12．【答案】（1）解：①在正方形ABCD中，
② 如图，作，
，
，
（2）∴四边形HFCD为矩形，
∴DH=CF=AG=GH，
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1) ① 利用正方形的性质可得，再通过角平分线的定义得到，进而证得，故.
② 作，利用勾股定理求得EH的长度，再通过角平分线的性质求得OE的长度.
(2)由正方形的性质可得，再通过ASA判定得到OG=OF，进而证得GF=DF，接着由等腰三角形的性质得到GH=DH ，然后利用矩形的性质证得AD=3CF.
13．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∠EAG=90°，
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF=FG；
（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，取CE=BM，连接AE、EN，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CE⊥BC，
∴∠ACE=∠B=45°，
在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE（SAS）
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，
∵∠BAC=90°，∠NAM=45°，
∴∠BAM+∠CAN=45°，
∴∠MAN=∠EAN=45°，
在△AMN和△AEN中，
∴△AMN≌△AEN（SAS）
∴MN=EN，
在Rt△CEN中，由勾股定理得：EN2=EC2+NC2，
∴MN2=BM2+CN2，
∵BM =1，NC =3，
∴MN=.
故答案为：.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意用边角边可证△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可得∠BAE=∠DAG，AE=AG，结合已知用边角边可证△AEF≌△AGF，由全等三角形的性质可求解；
（2）过点C作CE⊥BC，取CE=BM，连接AE、EN，由题意用边角边可证△ABM≌△ACE，由全等三角形的性质可得AM=AE，∠BAM=∠CAE，结合已知用边角边可证△AMN≌△AEN，则MN=EN，在Rt△CEN中，由勾股定理可求解.
14．【答案】（1）证明：如图，过点C作CD⊥AD'交AD延长线于点D，
∵ 把△ACD沿着DA方向平移得到△A'C'D'，
∴AC∥A'C'，C'D'∥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴C'D'∥AB，
∴四边形AGC'H是平行四边形；
（2）解：∵四边形AGC'H是菱形，
∴AG=GC'=C'H=AH，
设AG=GC'=C'H=AH=x，则BG=AB-AG=4-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∵ 把△ACD沿着DA方向平移得到△A'C'D'，
∴∠A'C'D'=∠ACD=45°，
∵C'D'∥AB，
∴∠BGc'=∠A'C'D'=45°，
∴△BC'G是等腰直角三角形，
∴，即，
解得
∴AH=(8-4) cm.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；正方形的性质；平移的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）如图，过点C作CD⊥AD'交AD延长线于点D，由平移的性质得AC∥A'C'，C'D'∥CD，由正方形的性质得CD∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得C'D'∥AB，进而根据两组对边分别平行得四边形是平行四边形可得四边形AGC'H是平行四边形；
（2）由菱形的性质设AG=GC'=C'H=AH=x，则BG=AB-AG=4-x，由正方形的性质及平移的性质得∠A'C'D'=∠ACD=45°，由平行线的性质推出∠BGc'=∠A'C'D'=45°，则△BC'G是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，据此建立方程，求解即可得出答案.
15．【答案】（1）解：AE=AF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ADE =90° ，AB=AD．
∵∠BAF+∠BAE= 90° ，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠ DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE(ASA) ，
∴AE=AF．
（2）解：CE=MF．
理由：∵△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，即∠AFM= ∠AEC．
∴∠MAF+∠FAC= 90°，∠EAC+ ∠FAC= 90，
∴∠MAF=∠CAE．
在△AMF和△ACE中，
∴△AMF≌△ACE(ASA) ，
∴CE=MF．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)先利用余角的性质证得∠BAF=∠ DAE，再通过ASA判定△ABF≌△ADE，进而证得AE=AF．
(2)通过全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，AE=AF，进而证得∠AFM= ∠AEC，再利用余角的性质证得∠MAF=∠CAE，然后通过ASA判定△AMF≌△ACE，即可证得CE=MF．
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