第五章 《 特殊平行四边形》5.3 正方形（2）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2023八下·华容期末）下列说法中错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．（2024八下·宁波期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( )
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
3． 如图， 四边形 是菱形， 添加一个条件不能使它成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
4． 如图， 将长方形纸片折叠， 使点 落在 上的点 处， 折痕为 ． 若沿 煎下， 则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
5．（2024八下·定兴期末）如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
两组对边分别相等 一组对边平行且相等
一组邻边相等 一个角是直角
顺次添加的条件：
，
则正确的添加顺序是( )
A．仅 B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
7．（2023八下·邻水期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有 个
8．（2023八下·沙坪坝月考）如图，正方形，点E、F、G、H分别在边上，若与的夹角为，，，则的长度为 ．
9．（2022八下·潢川期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中：①当时，它是菱形；②当时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形，正确的有 .
10．（2021八下·贺兰期中）四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断，
①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形；
②若四边形ABCD是平行四边形，则MP与NQ交于点O；
③若四边形ABCD是矩形，则四边形MNPQ也是矩形；
④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也一定是正方形．
所有正确推断的序号是 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·确山期中）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”．
（1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形；
（2）当时，求菱形的“神似度”．
12．如图，在四边形 中， 的垂直平分线 交 于点 ， 交 于点 ， 且 ．
（1）试判断四边形 是什么四边形，并说明理由．
（2）当 的大小满足什么条件时，四边形 是正方形？ 请回答并证明你的结论．
13．（2024八下·宜州期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是矩形．
（2）当△DBC满足什么条件时，四边形ABED是正方形？请说明理由．
14． 如图， 是等腰直角三角形， 分别是 上的动点， 且满足 是 的中点．
（1） 求证： 是等腰直角三角形．
（2） 当点 运动到什么位置时，四边形 是正方形 请说明理由．
15．（2024八下·兴业期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是__________，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形，故正确，不合题意；
B、每组邻边都相等实际是四条边都相等所以为菱形，故正确，不合题意；
C、四个角都相等，四个角的内角和为，可得到每个内角为所以为矩形，故正确，不合题意；
D、应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分，故错误，不合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、平行四边形、矩形和正方形的判定定理逐项判断解题．
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
【分析】
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
3．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
B、对角线相等的菱形是正方形，正确；
C、因为∠BAD+∠ABC=180°，所以∠BAD=∠ABC=90°，有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
D、一边等于一条对角线的菱形不能做为判定为正方形的依据，错误；
答案为：D.
【分析】本题主要考查正方形的判定方式，如果在菱形的基础上增加条件证明为正方形，通常情况下是增加"一个内角为直角"或“对角线相等”等条件 .
4．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得∠A=∠EFB=90°，AB=BF，
∵∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∵AB=BF，
∴矩形ABFE为正方形.
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；其它选项都不能直接推导出ABFE为正方形.
5．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】
解：：两组对边分别相等得出四边形是平行四边形，再添加 一组邻边相等，得到菱形，然后再添加一个角是直角可得正方形，故①符合题意；
： 两组对边分别相等与 一组对边平行且相等得出的四边形都是平行四边形， 再添加一组邻边相等得到是菱形，故②不符合题意；
： 一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形，再添加 一个角是直角是矩形，然后再添加 一组邻边相等可得正方形，故③符合题意；
故选C.
【分析】
①是根据一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形
②是一组邻边相等的平行四边形是菱形
③根据一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形.
6．【答案】1：2
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【分析】根据三角形的中位线定理可得NF∥BM，NE∥CM，根据两组对边平行得四边形MENF是平行四边形，根据一组邻边相等和一个角是直角即可判定是正方形.
7．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形FDEA为平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，①正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∵DF∥BA，
∴DAB=∠FDA，
∴∠DAC=∠FDA，
∴FD=FA，
∴四边形AEDF是菱形，②正确；
③∵AD⊥BC且AB＝AC，
∴DA平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB，
∵DF∥BA，
∴DAB=∠FDA，
∴∠DAC=∠FDA，
∴FD=FA，
∴FD=FA，
∴四边形AEDF是菱形，但不一定为正方形，③错误；
∴正确的有2个，
故答案为：2
【分析】根据等腰三角形的性质、平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】如图所示：过点A作AN∥EG，交DC于N，作AM∥HF，交BC于M，连接MN.
∴ 四边形AMFH和四边形AEGN均为平行四边形，
∴ AM=HF=，AN=EG
∵与的夹角为
∴ ∠MAN=45°
将顺时针旋转90°，得到，且
∴ DN=BK，AN=AK，∠MAK=45°
∵ AM为公共边
∴（SAS）
∴ KM=NM
∵ AM=，AB=2
∴ BM=
∴ MC=2-BM=1，
设DN=BK=x，则NC=2-x，MN=KM=1+x
∴
即 （1+x） =1 +（2-x）
解得x=
在中，AN==
则 EG=
【分析】本题考查正方形的半角模型和勾股定理计算。正方形的半角模型是从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。由于两射线的夹角是正方形一个内角的一半，故名半角模型，又称“角含半角模型”。将45°角的两边及其对边围成的三角形称为“半角三角形”。 半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。 即图中的MN=BM+DN，这是解题关键。
9．【答案】①②③
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当时，它是菱形，故①正确；
当时，它是菱形，故②正确；
当时，它是矩形，故③正确；
当时，它是矩形，故④错误；
∴正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形，则可判断①；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可判断 ② ；根据一个内角等于90°的平行四边形是矩形，则可判断 ③ ；根据对角线相等的平行四边形是矩形，则可判断④.
10．【答案】①②
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①如图，
∵点M ，N，P ，Q分别为边AB，BC，CD，DA的的中点，
∴MN是△ABC的中位线，PQ是△ADC的中位线，MQ是△ABD的中位线，PN是△BCD的中位线，
MN∥AC、MN=AC ， PQ∥AC ， PQ=AC， MQ=BD，
∴MN∥PQ ， MN=PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，①正确；
②如图，
若四边形ABCD是平行四边形，点M， N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形MNPQ是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形，MP与NQ互相平分，NQ的中点就是AC的中点，则MP与NQ交于点O，正确；
③若四边形ABCD是矩形，则AC=BD，∴MN= MQ，∴四边形ABCD是菱形，不是矩形，错误；
④∵四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则四边形MNPQ是正方形，
∴若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD不一定是正方形，错误；
综上，正确的是： ①② ，
故答案为： ①②.
【分析】 ①由三角形中位线定理得出MN∥AC，MN=AC，PQ∥AC，PQ=AC，MQ=BD，则MN∥PQ，MN=PQ，得出①正确；
②由题意得出四边形MNPQ是平行四边形，四边形ABNQ是平行四边形，则MP与NQ互相平分，NQ的中点就是AC的中点，则MP与NQ交于点O，②正确；
③周长四边形MNPQ是菱形，不是矩形；③不正确；
④四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则四边形MNPQ是正方形，④不正确．
11．【答案】（1）
（2）解：如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即菱形的“神似度”为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当时，即时，菱形是正方形，
∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的判定定理解答；
（2）连接和，交于点，可以得到、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，求出，，然后根据“神似度”的定义计算解题．
12．【答案】（1）解：四边形 BECF 是菱形.理由如下，
∵EF 垂直平分BC，
·
∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，
∴EC=AE，∴BE=AE.∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF.
∴四边形 BECF 是菱形.
（2）解：当∠A=45°时，菱形BECF 是正方形.
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠3=∠1=45°.
∴∠EBF=2∠3=90°，∴菱形 BECF 是正方形.
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）本题运用垂直平分线的性质求得BF=FC，BE=EC，∠3=∠1，通过∠3+∠4=∠1+∠2=90°得到∠2=∠4，进而得到CE=AE，又因为CF=AE，得到四边形BECF四条边相等，判定为菱形.
（2）在（1）的基础上要得到四边形BECF为正方形，根据“有一个角为直角的菱形为正方形”，需要满足∠CEB为直角，因为∠CEB=∠2+∠4则∠2=∠4=45°，即∠A=45°.
13．【答案】（1）证明：∵AD//BC，∠ABC＝90°
∴∠A＝180°－∠ABC＝90°
∵DB＝DC，E是BC的中点
∴DE⊥BC
∴∠DEB＝90°
∴四边形ABED是矩形．
（2）当△DBC满足∠BDC＝90°时，四边形ABED是正方形．
理由：∵DB＝DC，E是BC的中点，∠BDC＝90°
∴DE＝BE＝BC
由（1）可知四边形ABED是矩形
∴四边形ABED是正方形
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠A=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠DEB＝90°，从而证出四边形ABED是矩形即可．
(2)根据邻边相等的矩形是正方形添加条件即可.
14．【答案】（1）解：连接AD，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B，
在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，
∵∠BDP＋∠ADP＝90°
∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°，
又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP＝AP＝AB，
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．
【知识点】正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接AD，先利用“SAS”证出△BPD≌△AQD，可得PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，再利用角的运算和等量代换可得∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，即可证出△PDQ为等腰直角三角形；
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形，先证出△ABD是等腰直角三角形，再证出四边形APDQ为矩形，最后结合DP＝AP＝AB，即可证出矩形APDQ为正方形.
15．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下；如图1，连接，
点E、H分别是中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
四边形是平行四边形
（2）解：互相垂直且相等（且），证明如下；如图2，连结，
同理（1）可知，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
平行四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）如图1，连接BD，由点E、H分别是AB、AD中点，可得EH∥，，同理，，，则，，进而可证四边形是平行四边形；
（2）如图2，连结，同理（1）可知，四边形是平行四边形，由，可得，证明平行四边形是矩形，由，可得，进而可证四边形是正方形．
1 / 1第五章 《 特殊平行四边形》5.3 正方形（2）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2023八下·华容期末）下列说法中错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形，故正确，不合题意；
B、每组邻边都相等实际是四条边都相等所以为菱形，故正确，不合题意；
C、四个角都相等，四个角的内角和为，可得到每个内角为所以为矩形，故正确，不合题意；
D、应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分，故错误，不合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、平行四边形、矩形和正方形的判定定理逐项判断解题．
2．（2024八下·宁波期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( )
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
【分析】
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
3． 如图， 四边形 是菱形， 添加一个条件不能使它成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
B、对角线相等的菱形是正方形，正确；
C、因为∠BAD+∠ABC=180°，所以∠BAD=∠ABC=90°，有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
D、一边等于一条对角线的菱形不能做为判定为正方形的依据，错误；
答案为：D.
【分析】本题主要考查正方形的判定方式，如果在菱形的基础上增加条件证明为正方形，通常情况下是增加"一个内角为直角"或“对角线相等”等条件 .
4． 如图， 将长方形纸片折叠， 使点 落在 上的点 处， 折痕为 ． 若沿 煎下， 则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得∠A=∠EFB=90°，AB=BF，
∵∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∵AB=BF，
∴矩形ABFE为正方形.
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；其它选项都不能直接推导出ABFE为正方形.
5．（2024八下·定兴期末）如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
两组对边分别相等 一组对边平行且相等
一组邻边相等 一个角是直角
顺次添加的条件：
，
则正确的添加顺序是( )
A．仅 B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】
解：：两组对边分别相等得出四边形是平行四边形，再添加 一组邻边相等，得到菱形，然后再添加一个角是直角可得正方形，故①符合题意；
： 两组对边分别相等与 一组对边平行且相等得出的四边形都是平行四边形， 再添加一组邻边相等得到是菱形，故②不符合题意；
： 一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形，再添加 一个角是直角是矩形，然后再添加 一组邻边相等可得正方形，故③符合题意；
故选C.
【分析】
①是根据一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形
②是一组邻边相等的平行四边形是菱形
③根据一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
【答案】1：2
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【分析】根据三角形的中位线定理可得NF∥BM，NE∥CM，根据两组对边平行得四边形MENF是平行四边形，根据一组邻边相等和一个角是直角即可判定是正方形.
7．（2023八下·邻水期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有 个
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形FDEA为平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，①正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∵DF∥BA，
∴DAB=∠FDA，
∴∠DAC=∠FDA，
∴FD=FA，
∴四边形AEDF是菱形，②正确；
③∵AD⊥BC且AB＝AC，
∴DA平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB，
∵DF∥BA，
∴DAB=∠FDA，
∴∠DAC=∠FDA，
∴FD=FA，
∴FD=FA，
∴四边形AEDF是菱形，但不一定为正方形，③错误；
∴正确的有2个，
故答案为：2
【分析】根据等腰三角形的性质、平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．（2023八下·沙坪坝月考）如图，正方形，点E、F、G、H分别在边上，若与的夹角为，，，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】如图所示：过点A作AN∥EG，交DC于N，作AM∥HF，交BC于M，连接MN.
∴ 四边形AMFH和四边形AEGN均为平行四边形，
∴ AM=HF=，AN=EG
∵与的夹角为
∴ ∠MAN=45°
将顺时针旋转90°，得到，且
∴ DN=BK，AN=AK，∠MAK=45°
∵ AM为公共边
∴（SAS）
∴ KM=NM
∵ AM=，AB=2
∴ BM=
∴ MC=2-BM=1，
设DN=BK=x，则NC=2-x，MN=KM=1+x
∴
即 （1+x） =1 +（2-x）
解得x=
在中，AN==
则 EG=
【分析】本题考查正方形的半角模型和勾股定理计算。正方形的半角模型是从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。由于两射线的夹角是正方形一个内角的一半，故名半角模型，又称“角含半角模型”。将45°角的两边及其对边围成的三角形称为“半角三角形”。 半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。 即图中的MN=BM+DN，这是解题关键。
9．（2022八下·潢川期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中：①当时，它是菱形；②当时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形，正确的有 .
【答案】①②③
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当时，它是菱形，故①正确；
当时，它是菱形，故②正确；
当时，它是矩形，故③正确；
当时，它是矩形，故④错误；
∴正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形，则可判断①；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可判断 ② ；根据一个内角等于90°的平行四边形是矩形，则可判断 ③ ；根据对角线相等的平行四边形是矩形，则可判断④.
10．（2021八下·贺兰期中）四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断，
①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形；
②若四边形ABCD是平行四边形，则MP与NQ交于点O；
③若四边形ABCD是矩形，则四边形MNPQ也是矩形；
④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也一定是正方形．
所有正确推断的序号是 ．
【答案】①②
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①如图，
∵点M ，N，P ，Q分别为边AB，BC，CD，DA的的中点，
∴MN是△ABC的中位线，PQ是△ADC的中位线，MQ是△ABD的中位线，PN是△BCD的中位线，
MN∥AC、MN=AC ， PQ∥AC ， PQ=AC， MQ=BD，
∴MN∥PQ ， MN=PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，①正确；
②如图，
若四边形ABCD是平行四边形，点M， N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形MNPQ是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形，MP与NQ互相平分，NQ的中点就是AC的中点，则MP与NQ交于点O，正确；
③若四边形ABCD是矩形，则AC=BD，∴MN= MQ，∴四边形ABCD是菱形，不是矩形，错误；
④∵四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则四边形MNPQ是正方形，
∴若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD不一定是正方形，错误；
综上，正确的是： ①② ，
故答案为： ①②.
【分析】 ①由三角形中位线定理得出MN∥AC，MN=AC，PQ∥AC，PQ=AC，MQ=BD，则MN∥PQ，MN=PQ，得出①正确；
②由题意得出四边形MNPQ是平行四边形，四边形ABNQ是平行四边形，则MP与NQ互相平分，NQ的中点就是AC的中点，则MP与NQ交于点O，②正确；
③周长四边形MNPQ是菱形，不是矩形；③不正确；
④四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则四边形MNPQ是正方形，④不正确．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·确山期中）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”．
（1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形；
（2）当时，求菱形的“神似度”．
【答案】（1）
（2）解：如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即菱形的“神似度”为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当时，即时，菱形是正方形，
∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的判定定理解答；
（2）连接和，交于点，可以得到、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，求出，，然后根据“神似度”的定义计算解题．
12．如图，在四边形 中， 的垂直平分线 交 于点 ， 交 于点 ， 且 ．
（1）试判断四边形 是什么四边形，并说明理由．
（2）当 的大小满足什么条件时，四边形 是正方形？ 请回答并证明你的结论．
【答案】（1）解：四边形 BECF 是菱形.理由如下，
∵EF 垂直平分BC，
·
∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，
∴EC=AE，∴BE=AE.∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF.
∴四边形 BECF 是菱形.
（2）解：当∠A=45°时，菱形BECF 是正方形.
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠3=∠1=45°.
∴∠EBF=2∠3=90°，∴菱形 BECF 是正方形.
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）本题运用垂直平分线的性质求得BF=FC，BE=EC，∠3=∠1，通过∠3+∠4=∠1+∠2=90°得到∠2=∠4，进而得到CE=AE，又因为CF=AE，得到四边形BECF四条边相等，判定为菱形.
（2）在（1）的基础上要得到四边形BECF为正方形，根据“有一个角为直角的菱形为正方形”，需要满足∠CEB为直角，因为∠CEB=∠2+∠4则∠2=∠4=45°，即∠A=45°.
13．（2024八下·宜州期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是矩形．
（2）当△DBC满足什么条件时，四边形ABED是正方形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵AD//BC，∠ABC＝90°
∴∠A＝180°－∠ABC＝90°
∵DB＝DC，E是BC的中点
∴DE⊥BC
∴∠DEB＝90°
∴四边形ABED是矩形．
（2）当△DBC满足∠BDC＝90°时，四边形ABED是正方形．
理由：∵DB＝DC，E是BC的中点，∠BDC＝90°
∴DE＝BE＝BC
由（1）可知四边形ABED是矩形
∴四边形ABED是正方形
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠A=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠DEB＝90°，从而证出四边形ABED是矩形即可．
(2)根据邻边相等的矩形是正方形添加条件即可.
14． 如图， 是等腰直角三角形， 分别是 上的动点， 且满足 是 的中点．
（1） 求证： 是等腰直角三角形．
（2） 当点 运动到什么位置时，四边形 是正方形 请说明理由．
【答案】（1）解：连接AD，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B，
在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，
∵∠BDP＋∠ADP＝90°
∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°，
又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP＝AP＝AB，
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．
【知识点】正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接AD，先利用“SAS”证出△BPD≌△AQD，可得PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，再利用角的运算和等量代换可得∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，即可证出△PDQ为等腰直角三角形；
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形，先证出△ABD是等腰直角三角形，再证出四边形APDQ为矩形，最后结合DP＝AP＝AB，即可证出矩形APDQ为正方形.
15．（2024八下·兴业期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是__________，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下；如图1，连接，
点E、H分别是中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
四边形是平行四边形
（2）解：互相垂直且相等（且），证明如下；如图2，连结，
同理（1）可知，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
平行四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）如图1，连接BD，由点E、H分别是AB、AD中点，可得EH∥，，同理，，，则，，进而可证四边形是平行四边形；
（2）如图2，连结，同理（1）可知，四边形是平行四边形，由，可得，证明平行四边形是矩形，由，可得，进而可证四边形是正方形．
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