新浙教版数学九年级（上）单元测验 第三章 圆的基本性质综合能力测试卷B（含参考答案）

第三章 圆的基本性质综合能力测试卷B
班级 姓名 学号
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
　
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
2、下列命题中，不正确的是（ ）
A. 一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外；
B. 一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线；
C. 两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线；
D. 圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点。
3、如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为( )
A．40° B．140° C．70° D．80°
4、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（　　）21世纪教育网版权所有
A． π B． 6π C． 3π D． 1.5π
5、数学课上，老师让学生尺规作图画，使其斜边 ，一条直角边.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断是直角的依据是（ ）21·cn·jy·com
A．勾股定理 　　　 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 　　　 D．90°的圆周角所对的弦是直径
6、已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为的点共有（ ）www.21-cn-jy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=8，⊙A与BC相切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F，则劣弧的长是( )2·1·c·n·j·y
A．π B．2π C．3π D．4π
8、如图，三个半径为的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是（ ）2-1-c-n-j-y
A．12+6 B．12+12 C．18+12 D． 18+6
9、如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（ ）　　21*cnjy*com
10、如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A． 2015π B． 3019.5π C． 3018π D． 3024π
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 .21*cnjy*com
第11题图 第12题图
12、如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC= 度．
13、AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，则∠BAC的度数是 ．
14、如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形BCFG的面积是12cm2，则正八边形的面积为 cm2．
第14题图
第15题图
15、如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
16、一走廊拐角的横截面积如图，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为　 　m．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）17.（6分）如图，已知锐角△ABC.过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
18、（8分）已知：如图，CA=CB=CD，过三点A，C，D的⊙O交AB于点F．
求证：CF平分∠BCD．
19、（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知弦CD⊥AB于E点，PC=3，PB=3，求CD长．
20、（10分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
21、（10分）如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求PD的长．
22、（12分）如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作DE⊥AP交AP于E点．21教育名师原创作品
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长．
23、（12分）如图，直线AB的解析式为y=﹣x+6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．点P以2cm/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l垂直于y轴．若点C与点P 同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，试求：
（1）求点A和点B的坐标；
（2）∠ABO的度数；
（3）整个运动过程中直线l与⊙C共有几次相切？分别求出相切时的t值．
答案详解
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
【解答】 解：根据圆的有关性质即可作出判断：
∵半径等于圆心到圆的距离，如果这个点圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外，A正确；
一条直线垂直于圆的半径，这条直线可能是圆的割线，B不正确；
两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆相切，有三条公切线，C正确；
∵半径等于圆心到圆的距离，圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，则这条直线一定经过园内，与圆有两个交点，D正确。21·世纪*教育网
故选B。
3、如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为( )
A．40° B．140° C．70° D．80°
【解答】 解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP=90°，
同理∠OBP=90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
∴∠ACB=∠AOB=70°．
故选C．
4、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（　　）21教育网
　 A． π B． 6π C． 3π D． 1.5π
【解答】 解：的长==1.5π．
故选D．
5、数学课上，老师让学生尺规作图画，使其斜边 ，一条直角边.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断是直角的依据是（ ）【出处：21教育名师】
A．勾股定理 　　　 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 　　　 D．90°的圆周角所对的弦是直径
【解答】 解：小明的作法是：①取，作的垂直平分线交于点；
②以点为圆心，长为半径画圆；
③以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；
④连接.
则即为所求.
从以上作法可知，是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角.
故选B．
6、已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为的点共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
【解答】 解：如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE=2，
过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE=，
∴⊙O上到直线l的距离为的点在直线l的左边和右边各有两个，共四个，
故选D．
7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=8，⊙A与BC相切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F，则劣弧的长是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
【解答】 解：如图，连接AD，
∵BC为⊙A的切线，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D为BC中点，且∠BAC=90°，
∴BD=DC=AD=BC=4，
又∵∠BAC=90°，
∴===2π，
故选B．
8、如图，三个半径为的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是（ ）【版权所有：21教育】
A．12+6 B．12+12 C．18+12 D． 18+6
【解答】 解：如图，∵连接AO、OP、PB、OE、PF、ON；
∴根据相切两圆性质得出OP=PN=ON=2，
∴△ONP是等边三角形，
∴∠OPN=∠PON=∠ONP=60°，
∵根据切线性质得出OE⊥AB，PF⊥AB，
∴OE∥PF，OE=PF，
∴四边形OEFP是矩形，
∴OP∥AB，
同理PN∥BC，ON∥AC，
则∠OPN=∠ABC=60°，∠PON=∠BAC=60°
根据切线长定理∠ABP=∠ABC=30°，∠EAO=30°，
在Rt△AOE中，∠EAO=30°，OE=；
则AE=3，同理可得BF=3；
由于⊙O、⊙P外切，所以OP=2；
故AB=AE+EF+BF=6+2，根据切线长定理可得，AB=BC=AC，
因此△ABC的周长为：18+6．
故选：D．
9、如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是
【解答】 解：（1）当点P沿O→C运动时，
当点P在点O的位置时，y=90°，
当点P在点C的位置时，
∵OA=OC，
∴y=45°，
∴y由90°逐渐减小到45°；
（2）当点P沿C→D运动时，
根据圆周角定理，可得
y≡90°÷2=45°；
（3）当点P沿D→O运动时，
当点P在点D的位置时，y=45°，
当点P在点0的位置时，y=90°，
∴y由45°逐渐增加到90°．
故选：B．
10、如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）
A． 2015π B． 3019.5π C． 3018π D． 3024π
【解答】 解：转动一次A的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是：，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，
2015÷4=503余3
顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 .
【解答】 解：如图，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，
以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，
12、如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC=120度．
【解答】 解：过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．
∴OD=OE，AD=CD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，OD=BC，
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°﹣60°=120°，即弧AC=120度．
故答案为：120．
13、AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，则∠BAC的度数是105°或15°．
【解答】解：如图所示，
∵AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，
∴==90°，==60°．
当点C在C1的位置时，
∵优弧=360°﹣90°﹣60°=210°，
∴∠BAC1=×210°=105°；
当点C在C2的位置时，=﹣=90°﹣60°=30°，
∴∠BAC2=×30°=15°．
综上所述，∠BAC的度数是105°或15°．
故答案为：105°或15°．
14、如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形BCFG的面积是12cm2，则正八边形的面积为24cm2．
【解答】解：连接HE，AD，
在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，
∵正八边形每个内角为：=135°，
∴∠HGM=45°，
∴MH=MG，
设MH=MG=x，
则HG=AH=AB=GF=x，
∴BG×GF=2（+1）x2=12，
∴四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=6，
∴正八边形的面积为：6×2+12=24（cm2）．
故答案为：24．
15、如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
【解答】解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3，
设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，
解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO?BO=3，
∴CO=，
∴CD=CO+OD=3+，
故答案为：3+．
16、一走廊拐角的横截面积如图，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为　（4﹣2）　m．
【解答】 解：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于G，
∵DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点，
∴OE⊥ED，OF⊥FG，
∵AB∥DE，BC∥FG，
∴OG⊥AB，OH⊥BC，
∵∠EOF=90°，∴四边形BGOH是矩形，
∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，⊙O半径为1m，
∴OG=OH=2，∴矩形BGOH是正方形，
∴∠BOG=∠BOH=45°，
∵P是的中点，∴OB经过P点，
在正方形BGOH中，边长=2，∴OB=2，
∵OP=1，∴BP=2﹣1，
∵p是MN与⊙O的切点，∴OB⊥MN，
∵OB是正方形BGOH的对角线，∴∠OBG=∠OBH=45°，
在△BPM与△BPN中
∴△BPM≌△BPN（ASA）∴MP=NP，∴MN=2BP，
∵BP=2﹣1，∴MN=2（2﹣1）=4﹣2，
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）17.（6分）如图，已知锐角△ABC.过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
【解答】 解：（1）作图如答图所示，AD为所作.
①以点A为圆心画弧交BC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两交于点G；
③连接AG，即为BC边的垂线MN，交BC于点D.
18、（8分）已知：如图，CA=CB=CD，过三点A，C，D的⊙O交AB于点F．
求证：CF平分∠BCD．
【解答】 解： 证明：连接AD，
∵CA=CD，
∴∠D=∠CAD．
∵∠D=∠CFA，
∴∠CAD=∠CFA．
∵∠CFA=∠B+∠FCB，
∴∠CAF+∠FAD=∠B+∠FCB．
∵CA=CB，
∴∠CAF=∠B，
∴∠FAD=∠FCB，
∵∠FAD=∠FCD，
∴∠FCB=∠FCD，
∴CF平分∠BCD．
19、（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB．21cnjy.com
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知弦CD⊥AB于E点，PC=3，PB=3，求CD长．
【解答】 解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠COB=∠A+∠ACO，
∴∠COB=2∠ACO，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OB=r，所以OP=r+3，
在Rt△PCO中，∵OC2+PC2=OP2，
∴r2+（3）2=（r+3）2，解得r=3
∴OC=3，OP=6，
∵CE?OP=OC?PC，
∴CE==，
∵CD⊥AB，
∴CD=2CE=3．
20、（10分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
【解答】 解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°﹣∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣108°=72°，
∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．
21、（10分）如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求PD的长．
【解答】 解：（1）证明：连结OC，如图，
∵AC⊥OB，∴AM=CM，
∴OB为线段AC的垂直平分线，∴BA=BC，
在△OAB和△OCB中
，∴△OAB≌△OCB，
∴∠OAB=∠OCB，
∵OA⊥AB，∴∠OAB=90°，
∴∠OCB=90°，∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，
∴OB==2，
∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，
∵PB⊥OB，∴∠PBO=90°，
在Rt△PBO中，OB=2，∠BPO=30°，∴PB=OB=2，
在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，
∴PD==，
22、（12分）如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作DE⊥AP交AP于E点．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长．
【解答】 解：（1）证明：连接OD．
∵OC=OD，
∴∠1=∠3．
∵CD平分∠PCO，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∵DE⊥AP，
∴∠2+∠EDC=90°．
∴∠3+∠EDC=90°．
即∠ODE=90°．
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．
（2）过点O作OF⊥AP于F．
由垂径定理得，AF=CF．
∵AC=8，
∴AF=4．
∵OD⊥DE，DE⊥AP，
∴四边形ODEF为矩形．
∴OF=DE．
∵DE=3，
∴OF=3．
在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=42+32=25．
∴OA=5．
∴AB=2OA=10．
23、（12分）如图，直线AB的解析式为y=﹣x+6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．点P以2cm/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l垂直于y轴．若点C与点P 同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，试求：
（1）求点A和点B的坐标；
（2）∠ABO的度数；
（3）整个运动过程中直线l与⊙C共有几次相切？分别求出相切时的t值．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵直线AB的解析式为y=﹣x+6，分别与x轴、y轴相交于B、A两点，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=6，
∴点A的坐标为：（0，6），点B的坐标为：（6，0）；
（2）由（1）得：OA=6，OB=6，
∴在Rt△AOB中，∴∠ABO=30°；
（3）在Rt△BCD中，BC=2CD，
如图1，直线直线l与⊙C第一次相切，
由题意得：OP=2t，BC=3t，
∴CD=2t﹣1，
∴3t=2（2t﹣1），
解得：t=2；
如图2，直线直线l与⊙C第二次相切，
由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BC=3t，
∴CD=12﹣2t﹣1，
∴3t=2（12﹣2t﹣1），
解得：t=；
如图3，直线直线l与⊙C第三次相切，
由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BC=3t，
∴CD=12﹣2t+1，
∴3t=2（12﹣2t+1），
解得：t=．
综上所述：在整个运动过程中直线l与⊙C共有3次相切；
相切时的t值分别为：2，，．