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专题6.2.1 反比例函数的图象和性质（一）八大题型（一课一讲）
（内容：反比例函数的图象以及应用）
【浙教版】
题型一：已知反比例函数分布象限求参数范围
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若函数的图像在第二、四象限，则函数的图像过（ ）
A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数以及一次函数的概念，已知反比例函数的图像在第二、四象限，根据反比例函数的图像及性质，可得k为负，则直线的函数值y随着x的增大而减小，且与y轴交于负半轴，即可判断直线经过的象限．
【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限，
∴，
∴直线的图像经过第二、三、四象限．
故选：A．
【变式训练1-1】（2025·广东东莞·模拟预测）若反比例函数的图象在第二、四象限，则k的值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数是常数，的图像是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限在每一象限内；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限根据反比例函数的图像与性质解答即可
【详解】∵反比例函数＝的图象位于第二、四象限，
∴，
∴的取值可能是的取值不可能是，，，
故选
【变式训练1-2】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k能取的最大整数为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查反比例函数的性质，由图象位于第二、四象限得，求得的取值范围即可得到答案，由函数图象所在的象限确定比例系数的取值范围是关键．
【详解】解：反比例函数图象位于第二、四象限，
，
，
的最大整数解为，
故选：B．
【变式训练1-3】（24-25九年级上·重庆北碚·期末）若反比例函数的图像经过第二、四象限，则点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数性质，根据反比例函数的图像经过第二、四象限得到，即可判断所在象限．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过第二、四象限，
∴，
∴在第四象限，
故选：D．
【变式训练1-4】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解一元二次方程，先根据反比例函数的定义列出方程求出的可能取值，再根据图象经过的象限决定常数的取值范围，进而得出的值，解题的关键是正确理解当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
【详解】依题意有，解得或，
∵函数图象位于第二、四象限，
∴，即，
∴的值是，
故选：．
【变式训练1-5】（24-25九年级上·广东湛江·期末）若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质，掌握反比例函数，当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限．
根据反比例函数的性质得，解得，根据正比例函数的性质得，解得，所以，然后找出此范围内的整数即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
正比例函数的图象经过第二、四象限，
，解得，
，
整数为4．
故选：C．
题型二：判断反比例函数的增减性
【经典例题2】（2025·江苏泰州·一模）已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先判断反比例函数所在的象限，再根据，即可得出答案，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．
【详解】解：反比例函数中，，
∴反比例函数图象在第二、四象限，
∵，
∴点，在第二象限，随的增大而增大，
∴，
故选：A．
【变式训练2-1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
由题意可知函数的图象在二、四象限，由三点的横坐标可知在第二象限，，在第四象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答．
【详解】解：反比例函数中，
此函数的图象在二、四象限，
，，
在第二象限，，在第四象限，
，，，
，y随x的增大而增大，
，
，
故选：B．
【变式训练2-2】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如果点，，在双曲线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图像及性质，比较函数值大小．根据题意可得反比例函数经过第一象限和第三象限，继而可知随的增大而减小，继而可得本题答案．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数经过第一象限和第三象限，随的增大而减小，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练2-3】（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）已知为曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】此题考查反比例函数图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．先分析出反比例函数的增减性，再根据不同情况进行分类讨论．
【详解】解：曲线是反比例函数，
，
在二、四象限中，随的增大而增大，且第二象限的函数值为正，第四象限的函数值为负，
若，则与同号，但不能确定的正负，则不能确定的正负，故选项A不符合题意；
若，则与异号，
，
，
，故，选项B符合题意；
若，则与同号，但不能确定的正负，则不能确定的正负，故选项C不符合题意．
若，则与异号，但不能确定的正负，则不能确定的正负，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式训练2-4】（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知点，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征，
首先由点求出，得到反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每一个象限中，y随x的增大而增大，进而求解即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每一个象限中，y随x的增大而增大，
∵点，在第二象限，且，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练2-5】（2025·浙江杭州·一模）已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限，增减性是解题的关键．根据反比例函数的解析式得到反比例函数经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，由此即可求解．
【详解】解：反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，
当时，即时，，故A选项错误，不符合题意；
当，即时，，故B选项正确，符合题意；
当，即时，，故C选项错误，不符合题意；
当时，即时，，故D选项错误，不符合题意．
故选：B ．
【变式训练2-6】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知三点都在反比例函数的图象上，且，则大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值判断增减性即可得出结论．
【详解】解：由题意反比例函数中，，
∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在各个象限内，y随x的增大而增长，
∵，
∴在第二象限，在第四象限，
∴，
故选：B
题型三：已知反比例函数增减性求参数
【经典例题3】（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题意判断出该反比例函数的增减性，进而即可求解．
根据，，得y随x的增大而减小，得函数图象在第三象限，即得的取值范围．
【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，且，，
∴时，y随x的增大而减小，
∴．
故答案为：．
【变式训练3-1】（2025·陕西渭南·二模）已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是 ．（只写一个）
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：点和在图象上，且当时，，
，
解得：，
的值可以是4（答案不唯一）．
故答案为：4（答案不唯一）．
【变式训练3-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）点，是双曲线上的两点，，若，，写出一个满足条件的的值是 ．
【答案】不唯一，
【分析】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．根据点的坐标特点得出反比例函数的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质得出．
【详解】解：，为反比例函数上的两个点，，，，
∴，在同一象限且随的增大而增大，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，即，
∴的值可以为．
故答案为：不唯一，．
【变式训练3-3】（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、，
当时，有，
∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大，
∴
得，
故选：D．
【变式训练3-4】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的性质．首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围．
【详解】解：时，，
反比例函数图象在第一，三象限，
，
解得：．
故选C．
【变式训练3-5】（24-25九年级下·浙江·阶段练习）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则可能小于0也可能大于0
C．若，点，在同一象限，则 D．若，点，在不同象限，则
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解；
【详解】A、若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故A错误；
B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于0也可能大于0，故B正确；
C．若，点，在同一象限，则随的增大而减小，所以，故C错误；
D．若，点，在不同象限，则，故D错误；
故选：B
【变式训练3-6】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根．
【详解】解：∵在每一个象限内y随着x增大而增大，
∴，
∵
，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【变式训练3-7】（24-25九年级上·河北承德·期末）点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合点的坐标，即可求出a的取值范围．
【详解】解：，
在反比例函数的图像在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小．
，
点都在第一象限．
．
解得：．
故选：C
题型四：判断反比例函数所在象限
【经典例题4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图像经过，则它的图像位于（ ）
A．第四象限 B．第一象限
C．第二、四象限 D．第一、三象限
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，解得，则
【详解】解：∵反比例函数的图像经过，
∴，
解得，
∵
∴反比例函数经过第二、四象限，
故选：C．
【变式训练4-1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的图象经过点，进行解答．熟练掌握该性质是关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
此函数的图象位于第二、四象限，
故选：D．
【变式训练4-2】（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）若关于的方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得关于的不等式，解不等式得，再根据反比例函数的性质作答即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，，
∴反比例函数的图象在第二象限，
故选：．
【变式训练4-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵反比例函数经过点，
∴，
故选项A说法正确；
，
∴函数图象分布在第一、三象限，
故选项B说法正确；
当时，y随x的增大而减小，
故选项C说法错误，
∴函数图象经过点，
当时，由于x是负数且绝对值大于2，
那么 的值会落在和0之间，即。
故选项D说法正确；
故选：C．
【变式训练4-4】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质.
先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
∴，
∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限，
故选：C
【变式训练4-5】（23-24八年级下·全国·期中）下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数的图象分布在第二、四象限
B．一次函数的图象不经过第一象限
C．对于一次函数，y随x的增大而增大
D．若点，都在反比例函数图象上，且，则
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的性质是解答的关键．分别根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴反比例函数的图象分布在第一、二象限，
故此选项说法错误，不符合题意；
B、∵，，
∴一次函数的图象经过第二、三、四，不经过第一象限，
故此选项说法正确，符合题意；
C、∵，
∴对于一次函数，y随x的增大而减小，
故此选项说法错误，不符合题意；
D、∵，
∴反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴当或时，，
故此选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练4-6】（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．熟记相关结论即可求解．
【详解】解：∵直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，
∴，；
∴
∴反比例函数的图象位于第二、四象限
故选：C
【变式训练4-7】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则函数（x为一切实数）的图像经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
【答案】D
【分析】该题考查了反比例函数和一次函数的性质，根据题意得出，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵在反比例函数，当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴函数（x为一切实数）的图像经过第一、二、三象限，
故选：D．
题型五：反比例函数与一次函数图象综合判断
【经典例题5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比例函数图象，解题关键是读懂图象信息．
根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与轴交于，再根据两个函数中的值相同即可判断正确答案．
【详解】解：一次函数与轴交于，
而选项、选项中一次函数均与轴交于负半轴，
选项、选项错误；
又两个函数中的值相同，
时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限；
时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限，
选项错误，选项正确．
故选：．
【变式训练5-1】（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义，得，根据函数图象的画法，确定解答即可．
本题考查了新定义问题，根据新定义确定函数的性质是解题的关键．
【详解】解：根据新定义，得，
画图如下：
，
故选：C．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了依据正比例函数与反比例函数的图像所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图像与字母系数的关系是解题的关键．
根据正比例函数和反比例函数图像经过的象限，再对照四个选项中的图像即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴正比例函数在第二，四象限内，且过原点，
函数 在第一，三象限内，
故选项 B符合题意；
故选：B．
【变式训练5-3】（2023·广东清远·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误；
C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确．
故选：D．
【变式训练5-4】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键．
根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得．
当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误；
当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确．
故选：D．
【变式训练5-5】（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案．
【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意；
当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，
故选：C．
【变式训练5-6】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质，由正比例函数中，如果随增大而增大，可得，得到反比例函数过一、三象限，据此判断即可．
【详解】解：∵正比例函数中，如果随增大而增大，
∴，图象过一、三象限，
∴反比例函数在一三象限，
故选：A．
题型六：已知反比例函数的图象判断参数取值范围
【经典例题6】（24-25九年级上·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，掌握函数图象在哪个象限内与相关参数的关系是解题的关键．
先判断出一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．
∴.
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
综上所述， ．
故选C．
【变式训练6-1】（2023·贵州遵义·一模）下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据图象上一次函数和反比例函数的性质就可得出判断．
【详解】解：根据一次函数图象过一、二、三象限可知：，，
根据反比例函数图象过一、三象限可知：，
，，，
故选：A．
【变式训练6-2】（23-24九年级上·陕西商洛·期末）反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，数形结合．根据反比例函数的图像与性质可得，从而得到抛物线的开口向下和对称轴为，进而得到的取值范围；由抛物线与轴交于点，可得，推出即可求出的取值范围．
【详解】解：反比例函数的图像过第二象限，
，
当时，，
，
抛物线的开口向下，对称轴为，
抛物线的对称轴为直线，
，
依据题意得，
，
，
即，
故选：C．
【变式训练6-3】（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图象经过的象限可得， ，，当时，由图象可得，即，进而可求解．
【详解】解：由题意得：，，，
当时，，即，
，
故选D．
【变式训练6-4】（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，其中点A的横坐标为4，
∴B点的横坐标为，
故当时，x的取值范围是：或．
故选B．
【变式训练6-5】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接）
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；
取，如图所示：
；
综上所述，，
故答案为：．
【变式训练6-6】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键；由图象经过的象限可得，当时，由图象可得，即，进而可求解；
【详解】由题意得：，
当时，，
，
，
故答案为：．
题型七：由反比例函数的对称性求解
【经典例题7】（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知对于双曲线，在其上始终存在两点，使得关于直线对称，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．双曲线E是不具有对称轴的中心对称图形
B．双曲线E是中心对称图形且有一条对称轴
C．双曲线E是具有两条对称轴的轴对称图形
D．双曲线E的自变量能够保证连续性
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，反比例函数的对称性，反比例函数图象上的点的坐标特点，过点A作轴，交直线于G，连接，设，，可证明，得到，则可证明，，则，则关于直线对称的点A和点B一定在一个反比例函数图象上，据此可得答案．
【详解】解；过点A作轴，交直线于G，连接，
设，，
∵直线与x轴的夹角为，
∴由平行线的性质可得，
∵关于直线对称，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴关于直线对称的点A和点B一定在一个反比例函数图象上，
∴双曲线一定关于直线对称，且关于直线对称，
∵在中，，
∴四个选项中只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
【变式训练7-1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点．
根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．
【详解】解： 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
它的另一个交点的坐标是．
故选：C．
【变式训练7-2】（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为，
点的坐标为．
故选：．
【变式训练7-3】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两函数图象的一个交点横坐标为2，将代入正比例求得，则正比例函数与反比例函数交点，利用反比例函数的中心对称性即可求得另一个交点的坐标．
【详解】解： 一个交点的横坐标为2，
将代入得：，
交点为，
反比例函数与正比例函数的图象的一个交点为，
另一个交点为．
故选：B．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当时，的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先根据反比例函数图象的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案．
【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，
，
由图象可知，当时，x的取值范围是或，
故选：D．
【变式训练7-5】（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点；
③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称；
⑤若，是该函数上两点，当时，一定有．
其中说法正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】①根据分式有意义的条件即可判断；②把代入即可；③当时，判断是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围及对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①，
，
故①正确；
②当时，，
该函数与轴交于点，
故②正确；
③，，
∴当时，
，，
则，此时该函数图象不经过第四象限；
当时，
，，
则，此时该函数图象不经过第四象限；
当时，
，，
则，此时该函数图象不经过第四象限；
该函数图象不经过第四象限；
故③正确；
④若该函数图象关于轴对称，
则函数图象的每一个点都关于轴对称，
当时，，
当时，，
∵，
而与不关于轴对称，
故④错误；
⑤当时，取，时，
∴，，
则，
故⑤错误，
故答案为：①②③．
题型八：画反比例函数图像
【经典例题8】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，．
(1)求k的值，并写出函数表达式；
(2)若点P、Q、R在该函数的图像上，则这3个点的坐标分别为，，；
(3)点分别是第（2）小题中点P、Q、R关于原点的中心对称点，写出点的坐标；
(4)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像．
【答案】(1)(2)8，，4(3)，，(4)见解析
【分析】此题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，画反比例函数图象，求关于原点对称的点的坐标等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别将三个点的横纵坐标代入表达式求解即可；
（3）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数求解即可；
（4）列表，然后描点连线即可．
【详解】（1）∵当时，
∴
∴
∴反比例函数表达式为；
（2）将代入得，
∴；
将代入得，
∴；
将代入得，
解得
∴；
（3）∵，，，点分别是点P、Q、R关于原点的中心对称点
∴，，；
（4）列表如下：
x 2 4
y 2 4 8
画图如下：
【变式训练8-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象：．根据图象，观察所在的象限是否相同，y随x的变化情况是否相同．
解：（1）列表：
x
（2）描点．
（3）连线．
【答案】见解析
【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据列表、描点、连线，画出函数图象即可．
【详解】解：（1）列表：
x 1 2 4 8
8 4 2 1
2 1 0.5 0.25
（2）描点．
（3）连线．如下图：
由图象得，的图象分布在相同的象限，即第一、三象限；y随x的变化情况相同，即在第一象限内，y随x的增大而减小，在第三象限内，y随x的增大而减小．
【变式训练8-2】（2025·河南安阳·一模）如图，已知直线，它与反比例函数相交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象．
(3)过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；(2)作图见解析；(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式及图象，熟练掌握反比例函数的解析式及图象是解题的关键．
（1）将点代入直线得点的坐标为，将点代入反比例函数，即可得出答案；
（2）根据反比例函数的解析式，选择点、、，并画出图象即可；
（3）过点A作轴于点H，设点到的距离为，根据点的坐标及的面积为3，易求，即可得出点的横坐标为或，代入反比例函数解析式即可求出答案．
【详解】（1）解：将点代入直线得：，即点的坐标为，
将点代入反比例函数得：，即，
则反比例函数的解析式为；
（2）根据反比例函数的解析式，如图所示，选择点、、，先描出这三个点，再画出反比例函数的图象为：
（3）如图所示，过点A作轴于点H，设点到的距离为，
点坐标为，
，
，
，即点到的距离为，
点的横坐标为，
点的横坐标为或，
分别代入反比例函数可得：或，
点P的坐标为或．
【变式训练8-3】（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表：
… …
… 1 …
其中，______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的；
②函数：的图象关于_____成中心对称；
③写出这个函数的一条性质_______；
④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)(2)画图见解析
(3)①右，，上，；②；③当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可）④或
【分析】（）把代入函数解析式计算即可；
（）根据表格对应值描点连线即可；
（）①根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”即可求解；②根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”即可求解；③根据函数图象写出一条性质即可；④求出函数与的交点坐标，再结合图象解答即可；
本题考查了画反比例函数的图象，反比例函数图象的平移，反比例函数与不等式等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：；
（2）解：画图如下：
（3）解：①函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
故答案为：右，，上，；
②∵函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
∴反比例函数图象的对称中心为，即，
故答案为：；
③由图象可知，当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可）
④在图中作出函数的图象如下：
设与的图象相交于点，
由，解得或，
∴，，
由图象可知，当或时，，
即不等式的解集为或．
【变式训练8-4】（2025·重庆渝北·一模）如图，在中，，，，点为线段上一点（不与点，重合），，的面积为，的面积与的面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】(1)；
(2)图象见解析；当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小
(3)
【分析】（1）根据勾股定理可求出，根据三角形面积公式求出；求出，再与的面积作比，即可求出关于x的函数表达式；
（2）根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可；
（3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象下方时x的取值范围求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）解：画出函数，的图象如图，
由图象可知，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小．
（3）解：由图象可知与相交于点，
∴当时，的图象在的图象下方，
∴时x的取值范围为．
【变式训练8-5】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ；
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整．
1 2 3
1 2 4 4 2
(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：
① ； ② ．
(3)若点在函数的图象上，在函数的
图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为，
若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)1，画图见解析(2)函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一）(3)或．
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
（1）将代入求解，根据表格所给点作图．
（2）观察图象即可得出函数的性质．
（3）把代入得，，求得，设，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：将代入得，
，
把图象补充完整如图所示；
故答案为：1；
（2）解：①函数图象关于轴对称，
②函数值，
故答案为：函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一）；
（3）解：把代入得，，
，
设，
的面积为，
，
解得或，（舍去）或（舍去），
或．
【变式训练8-6】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面类比学习函数的过与方法，探究分段函数的图象与性质．
(1)列表：请完成表格
x … 0 1 2 3 …
y … ____ 2 1 ____ 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
连线：如图，请在坐标系中描出该函数图像；
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点在函数图象上，则_______，________（摸“”，“”或“”）
②当函数值时，求自变量x的值．
【答案】(1)见解析(2)①，；②的值为或3
【分析】本题主要考查了画函数图象，比较函数值的大小，求自变量的值，解题的关键是数形结合，理解题意，画出函数图象．
（1）首先列表，然后将坐标系中的点连接即可得出函数图象；
（2）①分别根据图象进行解答即可；
②分两种情况求出x的值即可．
【详解】（1）列表：
x … 0 ． 1 2 3 …
y … 1 2 1 0 1 2 …
如图所示，
（2）①点，在上，且在第二象限内随的增大而增大，
；
点，在上，
当时，随的增大而增大，
．
故答案为：，；
②当，时，，
解得：，
当，时，，
解得：或（舍），
所以的值为或3．
【变式训练8-7】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为，所以我们对函数进行探究．
… 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 3 5 …
(1)与的几组对应值如表：其中 ， ．
(2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象．
(3)根据所画图象，回答下列问题：
①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）；
②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的．
(4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题．
①方程有 个解；
②不等式的解集是 ．
【答案】(1)2，0(2)画图见解析；(3)①增大；②上，1(4)①2；②或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，平移的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）把和分别代入，即可求得m、n的值；
（2）根据表格数据，绘制函数的图象即可；
（3）①利用函数图象的增减性即可得到答案；②结合表格信息，利用平移的性质即可得到答案；
（4）①先画出函数的图象，观察图象即可解决问题．②利用即可解决问题．
【详解】（1）解：把和分别代入，
∴，；
（2）解：先描点，再画图如下：
（3）解：①当时，随的增大而增大；
②函数的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的．
（4）解：的图象如图所示，
∴①由图象可得方程有个解；
②由图象可得的两个解为：
，，经检验符合题意；
∴函数图象的两个交点的横坐标为，，
∴不等式的解集是或．中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.2.1 反比例函数的图象和性质（一）八大题型（一课一讲）
（内容：反比例函数的图象以及应用）
【浙教版】
题型一：已知反比例函数分布象限求参数范围
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若函数的图像在第二、四象限，则函数的图像过（ ）
A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【变式训练1-1】（2025·广东东莞·模拟预测）若反比例函数的图象在第二、四象限，则k的值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式训练1-2】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k能取的最大整数为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式训练1-3】（24-25九年级上·重庆北碚·期末）若反比例函数的图像经过第二、四象限，则点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式训练1-4】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（ ）
A． B．或 C．或 D．
【变式训练1-5】（24-25九年级上·广东湛江·期末）若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二：判断反比例函数的增减性
【经典例题2】（2025·江苏泰州·一模）已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如果点，，在双曲线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）已知为曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练2-4】（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知点，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】（2025·浙江杭州·一模）已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【变式训练2-6】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知三点都在反比例函数的图象上，且，则大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：已知反比例函数增减性求参数
【经典例题3】（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ．
【变式训练3-1】（2025·陕西渭南·二模）已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是 ．（只写一个）
【变式训练3-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）点，是双曲线上的两点，，若，，写出一个满足条件的的值是 ．
【变式训练3-3】（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】（24-25九年级下·浙江·阶段练习）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则可能小于0也可能大于0
C．若，点，在同一象限，则 D．若，点，在不同象限，则
【变式训练3-6】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【变式训练3-7】（24-25九年级上·河北承德·期末）点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：判断反比例函数所在象限
【经典例题4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图像经过，则它的图像位于（ ）
A．第四象限 B．第一象限
C．第二、四象限 D．第一、三象限
【变式训练4-1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
【变式训练4-2】（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）若关于的方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练4-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，
【变式训练4-4】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【变式训练4-5】（23-24八年级下·全国·期中）下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数的图象分布在第二、四象限
B．一次函数的图象不经过第一象限
C．对于一次函数，y随x的增大而增大
D．若点，都在反比例函数图象上，且，则
【变式训练4-6】（2024·安徽六安·模拟预测）直线（a，b是常数且）经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【变式训练4-7】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则函数（x为一切实数）的图像经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
题型五：反比例函数与一次函数图象综合判断
【经典例题5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-3】（2023·广东清远·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-4】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-5】（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-6】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．B．C． D．
题型六：已知反比例函数的图象判断参数取值范围
【经典例题6】（24-25九年级上·全国·课后作业）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1】（2023·贵州遵义·一模）下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式训练6-2】（23-24九年级上·陕西商洛·期末）反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练6-3】（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【变式训练6-5】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接）
【变式训练6-6】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为 ．
题型七：由反比例函数的对称性求解
【经典例题7】（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知对于双曲线，在其上始终存在两点，使得关于直线对称，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．双曲线E是不具有对称轴的中心对称图形
B．双曲线E是中心对称图形且有一条对称轴
C．双曲线E是具有两条对称轴的轴对称图形
D．双曲线E的自变量能够保证连续性
【变式训练7-1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当时，的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式训练7-5】（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点；
③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称；
⑤若，是该函数上两点，当时，一定有．
其中说法正确的有 ．（填序号）
题型八：画反比例函数图像
【经典例题8】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，．
(1)求k的值，并写出函数表达式；
(2)若点P、Q、R在该函数的图像上，则这3个点的坐标分别为，，；
(3)点分别是第（2）小题中点P、Q、R关于原点的中心对称点，写出点的坐标；
(4)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像．
【变式训练8-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象：．根据图象，观察所在的象限是否相同，y随x的变化情况是否相同．
解：（1）列表：
x
（2）描点．
（3）连线．
【变式训练8-2】（2025·河南安阳·一模）如图，已知直线，它与反比例函数相交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象．
(3)过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标．
【变式训练8-3】（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表：
… …
… 1 …
其中，______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的；
②函数：的图象关于_____成中心对称；
③写出这个函数的一条性质_______；
④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【变式训练8-4】（2025·重庆渝北·一模）如图，在中，，，，点为线段上一点（不与点，重合），，的面积为，的面积与的面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【变式训练8-5】（24-25九年级下·江苏盐城·期中）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ；
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整．
1 2 3
1 2 4 4 2
(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：
① ； ② ．
(3)若点在函数的图象上，在函数的
图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为，
若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．
【变式训练8-6】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面类比学习函数的过与方法，探究分段函数的图象与性质．
(1)列表：请完成表格
x … 0 1 2 3 …
y … ____ 2 1 ____ 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
连线：如图，请在坐标系中描出该函数图像；
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点在函数图象上，则_______，________（摸“”，“”或“”）
②当函数值时，求自变量x的值．
【变式训练8-7】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为，所以我们对函数进行探究．
… 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 3 5 …
(1)与的几组对应值如表：其中 ， ．
(2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象．
(3)根据所画图象，回答下列问题：
①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）；
②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的．
(4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题．
①方程有 个解；
②不等式的解集是 ．
