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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题6.2.2 反比例函数的图象和性质（二）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知点在函数的图象上，下列关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A． B．3 C．0 D．
3．如图，两个阴影部分面积的值分别是（ ）
A．3，2 B．1.5，2 C．3，1 D．1.5，1
4．反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（ ）
A．B．C． D．
5．已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数与轴交于点，若，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
7．已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8．关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．它与直线没有交点 B．随着的增大而增大
C．图象位于第一、三象限 D．图象经过点，则
9．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
10．如图，矩形的两边分别在坐标轴上，，，点在反比例函数（为常数，）的图象上，且在矩形内部，其横坐标为．过点作轴交于点，作轴交于点，连结．记的面积为，以下说法正确的是（ ）
A．的值仅与有关 B．的值仅与有关
C．的值仅与有关 D．的值与都有关
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点是，则它们的另一个交点是 ．
12．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ．
13．已知反比例函数的图像在同一象限内随的增大而减小，那么的取值范围是 ．
14．两条直线均过坐标原点，直线与函数的图象交于两点，直线与函数的图象交于两点．若的面积为1，则的面积为 ．
15．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接）
16．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若△ABC为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ．
17．如图，已知直线经过点，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上．若，则的取值范围为 ．
18．如图，A，B两点在反比例函数（）的图象上，其中，轴于点C，轴于点D．
（1）若，，当时，k的值为 ；
（2）点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且．若，，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知反比例函数的图象经过点．
(1)求m的值；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)根据图象，当时，求y的取值范围．
20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求、的值；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较的大小．
21．如图，点、都在反比例函数的图像上．
(1)求m、k的值；
(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M、N的坐标，并画出相应的图形．
22．已知反比例函数和一次函数．
(1)当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？
(2)若一次函数和反比例函数的图象相交于点，
①求m和k的值．
②根据函数图象回答：当时，x的取值范围是什么？
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．
(1)k的值为_____，点B的坐标为_____．
(2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积．
(3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标．
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专题6.2.2 反比例函数的图象和性质（二）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知点在函数的图象上，下列关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将点代入，分别求出，即可解答．
【详解】解：点三点都在函数的图象上，
，
，
，
故选：A．
2．若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A． B．3 C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数的增减性列出不等式，解出的范围，即可判断．
【详解】解：反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，
，即，
故四个选项中k的值只有数值3符合，
故选：B．
3．如图，两个阴影部分面积的值分别是（ ）
A．3，2 B．1.5，2 C．3，1 D．1.5，1
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数比例系数k的几何意义．求出当时的函数值，然后根据三角形的面积公式可求出第一个图的面积；根据反比例函数比例系数k的几何意义可求出第二个图的面积．
【详解】解：∵当时，，
∴第一个图的面积；
∵，
∴第二个图的面积．
故选D．
4．反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像所在的象限与系数的关系，关键在于熟练掌握两种函数的性质．
首先由反比例函数y＝的图像位于第二、四象限，得出，则，得到一次函数图像经过第二，四象限且与y轴正半轴相交．
【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限，
∴，
∴，
∴函数的图像过二、四象限，与y轴相交于正半轴，
∴一次函数的图像过一、二、四象限．
故选：C．
5．已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数与轴交于点，若，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、求反比例函数解析式等知识点，掌握求反比例函数的方法是解题的关键．
由反比例函数与一次函数的交点在第一象限，即；再求得，即；设，根据可得，即可确定，最后求得k即可．
【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点A，
∴，
∵一次函数与 y 轴交于点B，
∴，即，
设，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∴．
故选：B．
6．如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，垂直平分线的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算是关键．根据题意得，，由垂直平分线得到，则的周长为，即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，过作轴，
∴，
∵，
∴，
∵的垂直平分线交于，
∴，
∴△ABC的周长为，
故选：A ．
7．已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键．
由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，即
∵反比例函数的图象上总存在两个关联点，
∴，即且有两个不相等实数根，
∴，解得：，
当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意．
综上，的取值范围是或．
故选D．
8．关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．它与直线没有交点 B．随着的增大而增大
C．图象位于第一、三象限 D．图象经过点，则
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，正比例函数的图象性质，熟悉掌握图象性质是解题的关键．
根据反比例函数的图象性质逐一判断即可．
【详解】解：A：经过二，四象限，经过一，三象限，它与直线没有交点，故A正确；
B：在每一个象限内才会随着的增大而增大，故B错误；
C：经过二，四象限，故C错误；
D：把代入可得：，解得：或，故D错误；
故选：A．
9．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解．
【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为，
将代入可得，
反比例函数解析式为，
根据反比例函数图象可得：
当液体密度时，浸在液体中的高度，
选项说法错误，不符合题意；
当液体密度时，浸在液体中的高度，
选项说法错误，不符合题意；
根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小，
当浸在液体中的高度时，该液体的密度，
选项说法正确，符合题意；
根据反比例函数图象可得，
当液体的密度时，浸在液体中的高度，
选项说法错误 ，不符合题意．
故选：．
10．如图，矩形的两边分别在坐标轴上，，，点在反比例函数（为常数，）的图象上，且在矩形内部，其横坐标为．过点作轴交于点，作轴交于点，连结．记的面积为，以下说法正确的是（ ）
A．的值仅与有关 B．的值仅与有关
C．的值仅与有关 D．的值与都有关
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数，一次函数，矩形的性质，掌握待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数求几何图形面积的计算是关键．
运用待定系数法得到直线的解析式为，根据题意得到，则，，，所以，，由，即可求解．
【详解】解：根据题意，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在反比例函数图象上，横坐标为，
∴，则，，
∵轴交于点，
∴点的纵坐标为，代入直线中得，，
解得，，
∴，
∴，，
∴，
∴的值仅与有关，
故选：C ．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点是，则它们的另一个交点是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，联立得到方程组进行求解是解答此题的关键．先根据反比例函数与正比例函数的图象的一个交点为，求出两个函数的解析式，把两个函数解析式联立解方程组即可得到另一个交点．
【详解】解：∵反比例函数y＝与正比例函数的图象的一个交点为，
∴ ，，
∴，，
∴，
由题意得到，
解得或，
∴另一个交点为，
故答案是：．
12．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的减法运算．根据题意得到是解题的关键．
把分别代入与，可得，然后再代入，即可求解．
【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
13．已知反比例函数的图像在同一象限内随的增大而减小，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根据反比例函数的性质求参数的范围，根据反比例函数的图像在同一象限内随的增大而减小，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像在同一象限内随的增大而减小，
∴，
∴；
故答案为：．
14．两条直线均过坐标原点，直线与函数的图象交于两点，直线与函数的图象交于两点．若的面积为1，则的面积为 ．
【答案】2
【分析】本题考查反比例函数图象的中心对称性，全等三角形的判定和性质，和等底等高性质求三角形面积，解题关键是利用反比例函数图象关于原点对称的性质，推出点的对称关系，进而得出三角形的全等和面积关系．
利用反比例函数图象关于原点对称的性质，得出、关于原点对称，、关于原点对称，，进而得到，．证明，得出．依据推出．计算即可．
【详解】解：如图
∵反比例函数的图象关于原点对称，
直线过原点与函数的图象交于，两点，直线过原点与函数的图象交于，两点，
∴，关于原点对称，即；
，关于原点对称，所以．
∴，
∵ ，
∴．
∵，和同高，
∴，
∴．
故答案为：2．
15．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接）
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据判断点、在第四象限，点在第二象限． 利用单调性得出、、的大小关系即可．
【详解】∵反比例函数，，
∴图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴点，在第四象限，且在第四象限随的增大而增大，
∴ ，而第四象限的值大于，
∴．
故答案为： ．
16．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若△ABC为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解．
【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点横坐标为，
∵点为反比例函数的图象一点，
∴，
∴反比例函数图象为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
17．如图，已知直线经过点，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上．若，则的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图象法求不等式解集，掌握图像法解不等式解集是关键．
根据题意得到一次函数，反比例函数解析式，再根据题意得到一次函数与反比例函数交点，结合图象法求不等式解集即可．
【详解】解：∵经过点，
∴，
∴，
∴点关于轴的对称点，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，即，
∴化为，
令，
∴反比例函数与一次函数的交点的计算如下，
，整理得，，
解得，，
如图所示，
∴或．
18．如图，A，B两点在反比例函数（）的图象上，其中，轴于点C，轴于点D．
（1）若，，当时，k的值为 ；
（2）点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且．若，，则 ．
【答案】 / 3
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求函数解析式，两点之间距离公式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）先表示出，，由，根据两点间距离公式建立方程求解即可；
（2）由求出反比例函数解析式为，则，由，根据两点间距离公式得到，再化简求解即可．
【详解】解：（1）∵A，B两点在函数的图象上，轴，轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：或．
∵，
∴；
（2）由题意得，，
∴将代入得，，
∴反比例函数解析式为，
∵点B的横坐标为b，且点在反比例函数图象上，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；3．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知反比例函数的图象经过点．
(1)求m的值；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)根据图象，当时，求y的取值范围．
【答案】(1)；(2)见解析(3)．
【分析】本题考查反比例函数的图象．
（1）利用待定系数法把代入反比例函数即可得到m的值；
（2）根据反比例函数解析式，计算出反比例函数所经过的点，再画出图象即可；
（3）根据函数的图象即可求得．
【详解】（1）解：把点代入，得
，
解得；
（2）解：由（1）反比例函数的解析式为，
列表如下，
x … 1 2 4 …
y … 1 2 4 …
描点，连线，该函数的图象如下，
；
（3）解：由图象可知，当时，则．
20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求、的值；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较的大小．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）先把点代入一次函数，求得，再将点代入一次函数，得到，将代入反比例函数，即可求出的值；
（2）根据反比例函数的增减性即可解答．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与y轴交于点，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴．
（2）解：∵反比例函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小，
且点在第三象限， ，在第一象限，
∴．
21．如图，点、都在反比例函数的图像上．
(1)求m、k的值；
(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M、N的坐标，并画出相应的图形．
【答案】(1)，
(2)或，画图见解析
【分析】（1）根据反比例函数解析式，利用反比例函数图象上点的坐标特征列出关于m的方程，从而求得k、m的值；
（2）过点A作轴，过点B作轴，两线交于P，求出A、B的坐标，根据平行四边形性质得，证明，得，分类得或．
【详解】（1）解：∵点、都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
过点A作轴，过点B作轴，两线交于P，
∴，
∵M为x轴上一点，N为y轴上一点，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或．
22．已知反比例函数和一次函数．
(1)当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？
(2)若一次函数和反比例函数的图象相交于点，
①求m和k的值．
②根据函数图象回答：当时，x的取值范围是什么？
【答案】(1)(2)①；②或
【分析】本题主要查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）函数的图象有两个不同的交点，可得反比例函数位于二、四象限，即可求解；
（2）①把点代入，可得m的值，再把交点坐标代入，可得k的值；②根据题意得到一次函数和反比例函数的图象另一个交点为，然后画出函数图象，即可求得x的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴一次函数经过二、四象限，
∵反比例函数与一次函数有两个不同交点，
∴反比例函数位于二、四象限，
即；
（2）解：①把点代入，得：，
∴一次函数和反比例函数的图象相交于点，
把点代入，得：，
∴；
②∵一次函数和反比例函数的图象相交于点，
∴一次函数和反比例函数的图象另一个交点为，
画出函数图象，如图，
观察图象得：当时，x的取值范围是或．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为．一次函数的解析式为
(2)存在，交点坐标为
【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数解析式、一次函数图象平移问题、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握求函数解析式、正确计算是解题的关键．
（1）将点A代入反比例函数，求出解析式，然后求出点坐标，在代入直解析式中计算得出答案即可；
（2）根据一次函数图象的平移，得出平移后直线的解析式，结合反比例函数的解析式计算求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得；
反比例函数的解析式为．
在反比例函数中，
当时，，
点的坐标为．
把A，两点的坐标代入，得
解得．
一次函数的解析式为．
（2）一次函数的图象向下平移1个单位长度后与的图象仍有一个交点，理由如下：
将直线向下平移个单位长度，平移后所得直线解析式为，
令，整理得，
解得．
把代入，得．
交点坐标为．
24．如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．
(1)k的值为_____，点B的坐标为_____．
(2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积．
(3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标．
【答案】(1)8；(2)153)或
【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点A的横坐标代入，求出点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，联立两个函数解析式，求出点B的坐标即可；
（2）求出点C的坐标为，过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形，得出，，，，，根据，求出结果即可；
（3）设点P的横坐标为（且），则，分两种情况：当时，当时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点A横坐标为4，
∴把代入得：，
∴，
∵点A是直线与双曲线的交点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为：；
（2）解：如图，
∵点C在双曲线上，纵坐标为8，
∴把代入得：，
∴点C的坐标为，
过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形，
则，，，，，，
∴
；
（3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设点P的横坐标为（且），则，
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴，
若，如图所示，
∵，
∴，
∴．
∴，（舍去），
∴；
若，如图所示，
∵，
∴．
∴，
解得，（舍去），
∴．
∴点P的坐标是或．
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