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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破八：一次函数与反比例函数综合之存在性问题（20道）
1．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若点关于原点的对称点为，求的面积；
(3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．
(1)求的值；
(2)求反比例函数解析式；
(3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由．
3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一次函数与斩交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且．
(1)求一次函数关系式和的值；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为．
(1)如图①，求反比例函数和直线的函数表达式；
(2)如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标；
(3)如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
6．（2025·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．
7．（24-25九年级上·四川成都·期末）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，过点A作反比例函数图象．
(1)求出a，k的值；
(2)在x轴上是否存在点D，使得，若存在请直接写出坐标，若不存在请说明理由．
8．（2025·吉林松原·一模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，．
(1)求反比例函数的解析式及点的坐标；
(2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
(1)请你求出反比例函数和一次函数的表达式．
(2)当时，的取值范围是 ．
(3)能否在轴上找一点，使的值最小，若点存在，请求出点的坐标；若点不存在，请说明理由．
10．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接．
(1)如图1，设A点坐标为，若，，且．
①求k的值；
②若的面积为，求点B的坐标；
(2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由．
11．（2025·山东聊城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
13．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，．
(1)______，______，______．
(2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象相交于、两点，轴于点，点的坐标为，连接、．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴压半轴上，的长分别是方程的两个根，且．
(1)求点B的坐标；
(2)如图2，过点A且垂直于的直线交y轴于点F，在直线上截取，过点D作轴于点E，求经过点D的反比例函数的关系式；
(3)在（2）的条件下，Q为平面内一点，在x轴上是否存在一点P，使以A，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形与反比例函数的图象相交于C、D两点，点C的坐标为，点D的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若，在反比例函数的图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得的面积是矩形面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段与上述反比例函数的图象相交于点D．
(1)求k的值和直线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点．
(1)求的值；
(2)连接，求的面积；
(3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破八：一次函数与反比例函数综合之存在性问题（20道）
1．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若点关于原点的对称点为，求的面积；
(3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解；
（2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数图象过点，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：如图，过点作，交于点，
，
点关于原点的对称点为的坐标为，
把代入，
可得，
，
，
；
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
点．
2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．
(1)求的值；
(2)求反比例函数解析式；
(3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）设点B的横坐标为，根据的面积为得到，求出，设反比例函数解析式为，代入点B坐标求解即可；
（3）设，根据题意分和两种情况，分别根据题意求解即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数经过点，
∴
∴；
（2）解：∵轴，的面积为
∴设点B的横坐标为
∴
∴
∴
∴
设反比例函数解析式为
将代入得，
∴
∴反比例函数解析式为；
（3）解：∵点C在直线上
∴设
如图所示，当时，即
∵轴，
∴轴
∴
∴
∴；
如图所示，当时，
∴
∴
整理得，
解得或（舍去）
∴．
综上所述，点的坐标为或．
3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一次函数与斩交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且．
(1)求一次函数关系式和的值；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数关系式为，；(2)
(3)、、、．
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）将一次函数与反比例函数关系式联立，求出点C的坐标，根据即可求解；
（3）分，，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，得：，
一次函数关系式为，
在一次函数图象上，
，
，
将代入，
得：；
（2）解：将与联立，得：，
解得，，
将代入，得
，
，
，
，
；
（3）解：，
．
当时，如图：
点M的坐标为：、；
当时，作轴于点H，
则，
，
点M的坐标为：；
当时，设点M的坐标为，
则，
解得，
点M的坐标为：；
综上可知，存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，、、、．
4．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为．
(1)如图①，求反比例函数和直线的函数表达式；
(2)如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标；
(3)如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数为；直线的函数表达式为
(2)的最小值为，此时
(3)的值为
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得反比例函数解析式；把点B的纵坐标代入所求反比例函数式中，求得点B的横坐标，从而求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）作点A关于x轴的对称点E，连接，则当三点共线，且时，的值最小；设点，则得，由此可求得最小值，得到点P的坐标；
（3）由M在反比例函数图像上得；求出直线的函数解析式，则可得，从而知四边形是平行四边形，若要使它为菱形，则即可，由勾股定理建立关于m的方程即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图像经过点，
∴，即，
∴；
∵点B的纵坐标为3，且在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴；
设直线的函数表达式为，把B、C两点坐标分别代入其中，
得：，解得：，
∴．
即直线的函数表达式为．
（2）解：如图，作点A关于x轴的对称点E，连接，
则，，
∴，
则当三点共线，且时，的值最小；
设点，由勾股定理得，
∵，
∴，
当时，有最小值18，则有最小值；
当时，，即，
∴的最小值为，此时；
（3）解：存在，理由如下；
∵点M在反比例函数的图像上，且，
∴；
设直线解析式为，则有，解得：，
∴直线解析式为；
同理求得直线的解析式为；
由两直线解析式的系数相等得，且，
∴四边形是平行四边形；
∵四边形是菱形，
∴，
而，
∴，
解得（舍去），
即的值为．
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；(2)或；
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
（）连接，交轴于点，由菱形的性质可知关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（）求出点坐标，再根据图象即可得出不等式的解集；
（）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
【详解】（1）解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，S△OAP＝2，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
6．（2025·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为．一次函数的解析式为(2)存在，交点坐标为
【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数解析式、一次函数图象平移问题、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握求函数解析式、正确计算是解题的关键．
（1）将点A代入反比例函数，求出解析式，然后求出点坐标，在代入直解析式中计算得出答案即可；
（2）根据一次函数图象的平移，得出平移后直线的解析式，结合反比例函数的解析式计算求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得；
反比例函数的解析式为．
在反比例函数中，
当时，，
点的坐标为．
把A，两点的坐标代入，得
解得．
一次函数的解析式为．
（2）一次函数的图象向下平移1个单位长度后与的图象仍有一个交点，理由如下：
将直线向下平移个单位长度，平移后所得直线解析式为，
令，整理得，
解得．
把代入，得．
交点坐标为．
7．（24-25九年级上·四川成都·期末）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，过点A作反比例函数图象．
(1)求出a，k的值；
(2)在x轴上是否存在点D，使得，若存在请直接写出坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)，(2)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）把点代入一次函数解析式，求出的值，进而求出值即可；
（2）分点在轴的正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点代入，得：，
∴，
∴；
（2）解∶ ①当点在轴的正半轴上时，
∵，
∴，
∴轴，
∵
∴；
②当点在轴的负半轴上时，设交轴与点，
∵，
∴，
设，
∴，解得：，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴当时，，
∴，
∴或．
8．（2025·吉林松原·一模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，．
(1)求反比例函数的解析式及点的坐标；
(2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为；
(2)存在，点的坐标为或．
【分析】本题考查坐标与图形，求反比例函数解析式等知识．正确求出反比例函数解析式是解题关键．
（1）由题意可求出，设反比例函数的表达式为，将代入，即可求出k的值，即得出反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）设，则根据，求出x的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
设反比例函数的表达式为，把代入可得
∴反比例函数的表达式为，
把代入中，，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
设，的面积等于3，
∴，
解得：或，经检验符合题意；
∴或．
9．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
(1)请你求出反比例函数和一次函数的表达式．
(2)当时，的取值范围是 ．
(3)能否在轴上找一点，使的值最小，若点存在，请求出点的坐标；若点不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)或(3)点P的坐标为
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式，轴对称——最短路线问题，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
（1）把点代入即可确定反比例函数解析式及点A的坐标，然后利用待定系数法即可确定一次函数解析式；
（2）根据图象得出时x的取值范围即可；
（3）利用“两点之间，线段最短”，过点B作关于y轴的对称点D，连接，交y轴于点P，此时的值最小，用待定系数法求出直线的解析式，令，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：把点代入得：
，
∴，
∴，，
将点代入得：，
解得：，
∴；
（2）∵，
∴根据图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，
时，x的取值范围为或；
故答案为：或；
（3）如图，过点B作关于y轴的对称点D，连接，交y轴于点P，此时的值最小，
，
设直线的解析式为，
把A，D两点代入得，
解得，
直线的解析式为，
令，得，
点P的坐标为．
10．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接．
(1)如图1，设A点坐标为，若，，且．
①求k的值；
②若的面积为，求点B的坐标；
(2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①4；②(2)存在，3
【分析】（1）①依题意，得，再解n的值，即可作答；
②过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，易得，进而用坐标可以表示出的长度，建立方程求解即可；
（2）连接，易证E是中点，进而可表示出点A坐标，求出反比例函数表达式，设出B点坐标，再表示出E点坐标即可得解．
本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数的解析式，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）①∵，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴A点坐标为，
∴；
②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N，
设点B的坐标为，
∵反比例函数图象上有A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
即，
整理可得：，
解得（负值舍去），
∴点B的坐标为．
（2）解：连接，
∵的面积与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O为中点，
∴
∴E为中点，
∴为的中位线
∴，
∵D点坐标为，
∴A点坐标为，
则，
∴反比例函数表达式为，
设点B的坐标为，
∴点C的坐标为，
∵A点坐标为，E为中点，
∴，
∴点E的坐标为，
∵点B在点A右侧，
∴，
∴，
∴点E始终在直线的下方，
∴a的最小值为3．
11．（2025·山东聊城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
(2)或(3)点的坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可得解；
（2）利用函数图象即可得解；
（3）设，分两种情况：当以为边时，当以为对角线时，分别由平行四边形的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：将代入反比例函数可得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入反比例函数得，
∴，
∴，
将，代入一次函数得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可得：不等式的解集为或；
（3）解：设，
∵，，，以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形
∴当以为边时，由平行四边形的性质可得：或，
解得：或，即或，
当以为对角线时，由平行四边形的性质可得：，
解得：，即，
综上所述，点的坐标为或或．
12．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；(2)存在，点的坐标为或；；
(3)或或或
【分析】（1）将代入，得，可得，再将点A代入反比例函数的解析式为，即可得出答案；
（2）设点的坐标为，则，，，根据勾股定理求得，根据的面积求出，再由即可列出方程，求解即可；
（3）由，分，，三种情形，分别得出答案．
【详解】（1）解：，
点A的纵坐标为3，
正比例函数的图象经过点A，
当时，，
∴，
，
设反比例函数的解析式为，
∵该反比例函数过点，
∴，解得，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：轴于点，设点的坐标为，
∵，，
∴，，，
∴在中，，
过点作于，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点到直线的距离等于它到点的距离，即，
∴，
∴或，
综上所述，满足要求的点的坐标为或；
（3）解：分三种情况讨论：
①当时，
∵，
∴或；
②当时，
∵，
∴，
∴；
③当时，设，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得，
∴．
综上所述：或或或．
13．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，．
(1)______，______，______．
(2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8；；3(2)当时，；当时，；
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
（2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案；
（3）先求出，，再分两种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
【详解】（1）反比例函数的图象经过，两点，
，，
，，反比例函数解析式是，
把，分别代入得，
，
解得：，
故答案为：，，；
（2）由（1）知，一次函数解析式为，
由题意得，，，
，，
当时，；
当时，；
（3）在第二象限内存在点Q，使得是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点；理由如下：
由（1）知，直线的解析式为，
令，则，
令，则，
∴，
∴，，
∴，，如图，
∵是等腰直角三角形，
∴①当时，，
过点Q作轴于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②当时，同①的方法得，；
即满足条件的点Q的坐标为或．
14．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象相交于、两点，轴于点，点的坐标为，连接、．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由轴于点，得到的横坐标为，将其代入正比例函数中，求出，再将代入反比例函数中，求出，即可求解；
（2）联立正比例函数与反比例函数，求出，，结合，，得到，，进而得出，，根据“的面积与的面积相等”列方程求出，即可求解．
【详解】（1）解：轴于点，
的横坐标为，
在正比例函数中，令，则，
，
将代入反比例函数中，得：，
反比例函数的表达式为；
（2）存在，
联立，
解得：或，
，，
，，
，，
，，
的面积与的面积相等，
，
解得：或，
在反比例函数的图象上存在点，使得的面积与的面积相等，点的坐标为或．
15．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，或
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式；
（1）根据正方形求出点的坐标，代入计算即可；
（2）根据反比例函数的几何意义求出四边形的面积，再设表示出的面积，根据的面积等于四边形的面积列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为6，轴，
∴，轴，轴，
∵点的坐标为，
∴，，，
把代入得，解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴四边形的面积为，
设，
∴，
∵的面积等于四边形的面积，
∴，
解得，
∴或．
16．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)8(3)存在，或或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分割法求出的面积即可；
（3）分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
∴，，
把、代入，得：
，解得：，
∴；
（2）设直线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∴；
（3）存在；
设，
∵，
∴，，，
是以为腰的等腰三角形，分两种情况：
①，则：，
∴，
∴或；
②，则：，
解得：（舍去）或；
∴；
综上：存在或或，使是以为腰的等腰三角形．
17．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴压半轴上，的长分别是方程的两个根，且．
(1)求点B的坐标；
(2)如图2，过点A且垂直于的直线交y轴于点F，在直线上截取，过点D作轴于点E，求经过点D的反比例函数的关系式；
(3)在（2）的条件下，Q为平面内一点，在x轴上是否存在一点P，使以A，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)或或或
【分析】（1）解一元二次方程得到，，再利用坐标与图形性质求解即可；
（2）过点A作交延长线于点G，证明，利用三角形全等求出所需线段的长度，再在根据坐标与图形即可得到点 D 的坐标，最后用待定系数法求出经过点 D 的反比例函数的解析式；
（3）设，根据题意判断出以A，D，P为顶点的的三角形是等腰三角形，然后分、、三种情况，利用两点坐标距离公式列方程求解m值即可．
【详解】（1）解：解方程得，，
∵的长分别是方程的两个根，且，
∴，，又四边形是矩形，
∴点B的坐标为；
（2）解：过点A作交延长线于点G，则，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
设过点D的反比例函数解析式为，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵以A，D，P，Q为顶点的四边形是菱形，
∴以A，D，P为顶点的的三角形是等腰三角形，
由题意，，，
分三种情况：
当时，，则，
解得或，
则点P坐标为或；
当时，，则，
解得或（与点A重合，舍去），
∴点P坐标为；
当时，，则，
解得，
∴点P坐标为，
综上，满足条件的点P坐标为或或或．
18．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形与反比例函数的图象相交于C、D两点，点C的坐标为，点D的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若，在反比例函数的图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得的面积是矩形面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)点P的坐标为或．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m，可得点C、D坐标，继而求出反比例函数解析式；
（2）先求出矩形的面积，进一步求得的面积，再设设，则根据三角形面积公式得到，解方程求出m值可得点P坐标．
【详解】（1）解：∵，在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，点D的坐标为，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：存在，如图，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，，
∵的面积是矩形面积的一半，
∴，
设，则，
即，
解得或，
∴点P的坐标为或．
19．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段与上述反比例函数的图象相交于点D．
(1)求k的值和直线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)存在，；
【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解；
（2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立得到方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标
【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点，
∴，即反比例函数解析式为，
设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
如图，延长交轴于点，根据三角形不等关系可知：，所以此时的值最大，
把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，
，即，，
设的表达式为，
将代入得到，，
解得，，
的表达式为，
联立，解得，，
点的横坐标大于0，
的横坐标为4，
将代入得到：，
即，
设的表达式为，
将，代入得，
解得，
，
令，代入得到，
．
20．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点．
(1)求的值；
(2)连接，求的面积；
(3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；(2)的面积为；(3)点或或．
【分析】（）由直线图象过点，与轴交于点，可求出，，则有点，然后代入即可求解；
（）由（）得一次函数解析式为，则点，然后用三角形面积公式即可求解；
（）分当点在轴上时和当点在轴上时，两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解；
【详解】（1）解：∵直线图象过点，与轴交于点，
∴，，
∴，，
∴点，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）解：如图，
由（）得，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
∴的面积为；
（3）解：当点在轴上时，设点，点，
∵以为顶点的四边形为平行四边形，
∴和是对角线，且互相平分，
∴，
∴，
∴点，
∴，
∴，
∴点，
当点在轴上时，设点，点，
若为对角线，
则，，
∴，，
∴点，
若为对角线，
则，，
∴，，
∴点，
此时点在的延长线上，不合题意舍去，
当为对角线时，同理可求点，点，
综上所述：点或或．
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