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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破七：一次函数与反比例函数综合之面积问题（20道）
1．（2025·四川泸州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1．将直线沿轴向上平移2个单位长度后与反比例函数图象交于点，．
(1)求该反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)连接，，求的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求函数的解析式，整理掌握待定系数法以及数形结合是解题的关键．
（1）将代入，可得．把代入，可得，
则反比例函数的表达式为；联立一次函数和反比例函数解析式，解方程即可求出；
（2）先求出直线平移后的直线表达式为，联立求得D、E横坐标的差的绝对值为，过作轴交于，则，，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵点在一次函数上，且点的横坐标为1，
∴将代入，可得，
∴．
又∵点在反比例函数上，
∴把代入，可得，
∴反比例函数的表达式为；
联立方程得到，
即，解得，，
∴；
（2）解：∵直线沿轴向上平移2个单位长度，得到平移后的直线表达式为，
∴联立，得，即：，
解得，
∴D、E横坐标的差的绝对值，
过作轴交于，
∵当时，，则，
∴，
∴．
2．（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限内交于点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若有一点P在x轴上，且的面积等于5，求点P的坐标．
【答案】(1)，(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：待定系数法，三角形的面积的计算方法，求出点B坐标是解本题的关键．
（1）由一次函数与轴、轴分别交于B，C两点，得到，得到，把两函数的交点A的坐标分别代入，可得到两函数解析式；
（2）设点的坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出t得到P点坐标．
【详解】（1）解：一次函数与轴、轴分别交于B，C两点，
当；
当，
解得：，
．
，
∴，
解得：（舍负），
∴，
一次函数的解析式为；
点在一次函数上，
∴，
点．
把点代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：设点的坐标为．
当时，，解得，则点．
的面积等于5，
，
解得或，
点的坐标为或．
3．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标．
（1）利用待定系数法求出，再求得点P的坐标为，利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题；
（3）根据，求出的面积，再根据的面积是面积的一半，构建方程求得的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵点P的纵坐标为3，且点P也在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴点P的坐标为，
∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或；
（3）解：令，，
∴点的坐标为，
∴，
由题意得，即，
∴，
∴点的坐标为或．
4．（2025·河南驻马店·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点．与轴相交于点．
(1)分别求直线和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)直接写出当时，关于的不等式的解集．
【答案】(1)，(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立两解析式，求出点B的坐标，然后根据计算即可；
（3）根据点A、B的坐标，结合函数图象判断即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积，根据函数图象确定不等式解集等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
【详解】（1）点在上，
，
，
；
点均在上，
，
，，
；
（2）联立得，，
，
解得，，
，，
作，垂直轴于，两点，
∵
；
（3）由图象可得，当或时，直线在双曲线下面
∴关于的不等式的解集为或．
5．（2025·山东临沂·一模）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，
①求出的值．
②直接写出的面积．
【答案】(1)(2)；的面积是7.5
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
（1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；②先求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：直线过点，
，
将代入中，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为，
点在的图象上，
，
，
由平移得，平移后直线的解析式为，
将代入中，得，
；
②由（1）可知直线的解析式为，
令，得，令，得，
与轴、轴的交点坐标为，，
，
．
6．（2025·湖北鄂州·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
(3)在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围．
【答案】(1)，(2)3)
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，难度适中．利用数形结合是解题的关键．
（1）先将点代入，求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围即可；
（3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由直线的解析式可得出直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，结合函数图象及，可知在的右边，进而求出点纵坐标的取值范围．
【详解】（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
7．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交，两点．
(1)求一次函数解析式；
(2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
(3)点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标．
【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练应用数形结合思想是解题的关键．
（1）先利用反比例函数解析式求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）一次函数图象在反比例函数图象下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集；
（3）连接，根据计算出，设，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过点，，
，解得，
，，
把A、B的坐标代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，，
观察图象可得，不等式的解集为：或；
（3）解：连接，
中，当时，
，
，
设，
由题意，
解得，
或．
8．（2025·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N．
(1)求直线的函数解析式；
(2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______；
(3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积．
【答案】(1)(2)(3)5
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合是解题的关键，
（1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据，可知一次函数的图象在反比例函数的上方，根据图象即可解答；
（3）由题意知点坐标为，即可知，，，根据四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
∴，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方，
又∵，
∴由图象可知．
故答案为：；
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，，
四边形的面积
．
9．（24-25九年级下·湖北·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)D为第一象限反比例函数图象上的一动点，当的面积大于的面积时，直接写出点D的横坐标a的取值范围．
【答案】(1)，；(2)．
【分析】本题考查了求一次函数与反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，正确求得一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）把代入一次函数即可求得一次函数的解析式，再把代入求得的值，即可求得反比例函数解析式；
（2）利用面积公式找到的面积等于的面积时，点的坐标，即可得到点D的横坐标a的取值范围．
【详解】（1）解：把代入一次函数，
可得，
解得，
一次函数的表达式为，
把代入，可得，
，
把代入反比例函数可得，
解得，
反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，当的面积等于的面积时
当时，，
，
，
设点的纵坐标为，
则可得，
解得，
点的横坐标为，
当时，点的纵坐标大于，此时的面积大于的面积，
故．
10．（2025·湖北襄阳·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)反比例函数为，一次函数的解析式为；(2)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，比例系数的几何意义，利用待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（）先求出点坐标，由面积关系列出不等式即可求解.
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过于，两点，
∴，解得：，，
∴反比例函数为，，
∵一次函数的图象相交，两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵直线交于点，
∴当时，，
∴，
∴，
∵点是正半轴上的一个动点，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴．
11．（2025·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识点，掌握方程思想和数形结合是解题的关键．
（1）联立求得A的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）求得B、C的坐标，利用求得即可；
（3）根据图象即可求解．
【详解】（1）解：联立，解得，
点坐标为．
将代入，得．
．
反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得或．
．
在中，令，得．
故直线与轴的交点为．
如图，过、两点分别作轴的垂线，交轴于、两点，
则．
（3）解：根据图象：关于的不等式的解集为或．
12．（2025·四川泸州·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点在反比例函数的图象上，其横坐标为，且，过点的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，，若四边形的面积为12时，求出的值．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）运用待定系数法即可解答；
（2）如图：过点A作轴交于F，过点B作轴交于G，分两种情况，当时，点D在的左侧，当时，点D在的右侧，可得，再根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵一次函数的图象过点，点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图：过点A作轴交于F，过点B作轴交于G，
由题意得：，
设直线的解析式为，即，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，
∴，
当时，点D在的左侧，
则
，
∵，
∴，解得：或，
∵，
∴此时无解；
当时，点D在的右侧，
则
，
∵，
∴，解得：或，
∵，
∴．
13．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图像于点Q，若，直接写出P点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．(2)或
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
（1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点，
，
解得：，
，
解得：，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）解：设，
轴，
，，
∵，即，
∴，
∴，
，整理得：，
解得：或，
出P点的坐标为或即或．
14．（2025·山东青岛·一模）如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与轴交于点，将直线AB沿轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与轴交于点．
(1)求与的解析式；
(2)观察图象，直接写出时的取值范围；
(3)连接，若的面积为4，则的值为___________
【答案】(1)；(2)(3)2
【分析】本题考查了一次函数于反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）数形结合，直接写出不等式的解集即可；
（3）作，垂足为，根据直线解析式得到为等腰直角三角形，利用三角形面积求出，根据等腰直角三角形三边关系求出向下平移的单位长度即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象交于两点，
，
解得：，
∴反比例函数解析式为：，
∵点在一次函数图象上，
∴，解得：，
．
（2）解：观察图象可得，当时，的取值范围为：；
（3）解：原直线向下平移个单位，得到新的直线解析式为，
如图，作，垂足为，
，
，
∵的面积为 4 ，
，
解得：，
∵直线解析式为，
∴为等腰直角三角形，
．
15．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6(2)
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）当时，．
∴．
∵为x轴正半轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或（舍去）．
∴．
16．（2025·山东临沂·一模）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接．
(1)求的值；
(2)直接写出时的取值范围；
(3)连接，当与的重合部分的面积为1时，求的面积．
【答案】(1)8(2)或(3)6
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键．
（1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可；
（2）根据要使得，只需的图象在的图象上方时的取值范围，再结合其交点坐标即可得出答案；
（3）设与的重合部分的面积值为，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4
∴将代入
∴
∴将代入，得，
的值为8；
（2）令与的另一个交点为，
由反比例函数与正比例函数的性质可知，
要使得，只需的图象在的图象上方，
此时，或；
（3）连接，令与交点为，设与的重合部分的面积值为，
在直线上，
设点的坐标为，
，
，
解得或（舍去），
，
，
点在函数的图象上，
，
梯形的面积，
由（1）知，，
，
梯形的面积，
梯形的面积．
17．（2025·江西景德镇·一模）如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点．
(1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式；
（2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数经过点，
∴，
解得：
∴反比例函数解析式为；
故答案为：，；
（2）解：如图，连接，
由（1）知，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去）；
∴，
∴．
18．（2025·宁夏固原·二模）双曲线的图象与一次函数的图象交于两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若P为x轴上一点，当的面积为3时，求点P的坐标．
【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值，一次函数和反比例函数交点问题，一次函数与轴交点问题等．
（1）先将交点求出，再将其代入反比例函数解析式即可；
（2）观察图象一次函数在反比例函数上方即可；
（3）先求出，再设，后列式，求出，继而得到或，即可求出本题答案．
【详解】（1）解：由题意得：将分别代入中，
，解得：，
，解得：，
∴，
∴将代入中，得：，
∴反比例函数的解析式：；
（2）解：∵一次函数与反比例函数交于，
∴观察图象，不等式的解集为：或；
（3）解：∵直线与x轴交于点C，直线为，
∴令，即：，
∴，
∵P为x轴上一点，
∴设，
∵的面积为3，
∴，即：，
∴，解得：或，
∴或．
19．（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B在函数的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，，连结、．
(1)求B点的坐标．
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．
（1）将点A的坐标代入求出k的值，然后求出点B的坐标即可；
（2）利用计算解题．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入可得，
的值为8；
函数的解析式为，
，，
，
，
点B的横坐标为6，将代入，得，
点B的坐标．
（2）．
20．（2025·湖南·模拟预测）如图，点，分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点．其中点的坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
(1)求反比例函数与正比例函数的解析式；
(2)写出点的坐标，并求四边形的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，(2)点的坐标为，3)或
【分析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，平行四边形的面积．
（1）根据点在利用待定系数法即可得出反比例函数与正比例函数的解析式；
（2）由反比例函数及正比例函数的性质可知，点的坐标为，再结合平行四边形的性质即可求解；
（3）直接根据两函数的图象即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：将代入，可得：，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，可得：，即
∴正比例函数的解析式为；
（2）由反比例函数及正比例函数的性质可知，点与点关于原点成中心对称，
∴点的坐标为，
∵轴于点， 轴于点，
∴且，，
∴四边形为平行四边形，则；
（3）解：∵，，
由函数图象可知，当或是直线在双曲线的下方，
∴不等式的解集为或．
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破七：一次函数与反比例函数综合之面积问题（20道）
1．（2025·四川泸州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1．将直线沿轴向上平移2个单位长度后与反比例函数图象交于点，．
(1)求该反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)连接，，求的面积．
2．（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限内交于点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若有一点P在x轴上，且的面积等于5，求点P的坐标．
3．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标．
4．（2025·河南驻马店·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点．与轴相交于点．
(1)分别求直线和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)直接写出当时，关于的不等式的解集．
5．（2025·山东临沂·一模）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，
①求出的值．
②直接写出的面积．
6．（2025·湖北鄂州·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
(3)在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围．
7．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交，两点．
(1)求一次函数解析式；
(2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
(3)点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标．
8．（2025·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N．
(1)求直线的函数解析式；
(2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______；
(3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积．
9．（24-25九年级下·湖北·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)D为第一象限反比例函数图象上的一动点，当的面积大于的面积时，直接写出点D的横坐标a的取值范围．
10．（2025·湖北襄阳·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围．
11．（2025·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
12．（2025·四川泸州·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点在反比例函数的图象上，其横坐标为，且，过点的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，，若四边形的面积为12时，求出的值．
13．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图像于点Q，若，直接写出P点的坐标．
14．（2025·山东青岛·一模）如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与轴交于点，将直线AB沿轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与轴交于点．
(1)求与的解析式；
(2)观察图象，直接写出时的取值范围；
(3)连接，若的面积为4，则的值为___________
15．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值．
16．（2025·山东临沂·一模）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接．
(1)求的值；
(2)直接写出时的取值范围；
(3)连接，当与的重合部分的面积为1时，求的面积．
17．（2025·江西景德镇·一模）如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点．
(1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______；
(2)连接，求的面积．
18．（2025·宁夏固原·二模）双曲线的图象与一次函数的图象交于两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若P为x轴上一点，当的面积为3时，求点P的坐标．
19．（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B在函数的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，，连结、．
(1)求B点的坐标．
(2)求四边形的面积．
20．（2025·湖南·模拟预测）如图，点，分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点．其中点的坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
(1)求反比例函数与正比例函数的解析式；
(2)写出点的坐标，并求四边形的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
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