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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破三：画反比例函数图象（20道）
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，．
(1)求k的值，并写出函数表达式；
(2)若点P、Q、R在该函数的图像上，则这3个点的坐标分别为，，；
(3)点分别是第（2）小题中点P、Q、R关于原点的中心对称点，写出点的坐标；
(4)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求m的值；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)根据图象，当时，求y的取值范围．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求k的值，并画出函数的图象．
(2)这个函数的图象在哪几个象限？在每一个象限内，y的值随x的增大怎样变化？
(3)点、、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？
(4)如果点在这个函数的图象上，那么点、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？
4．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．
(1)求该函数的表达式，并补画函数图象的另一支；
(2)若该反比例函数与一次函数的图象交于第一象限内一点，求代数式的值．
下面是几位同学解决问题（2）时的讨论：
小平：把两个函数表达式联立求交点坐标，可是好像方程组不会解……
小胜：可以用图象法！
小王：也可以把通分，结合函数表达式求解．
请你选择一种合适的方法解决上面问题．
5．（2025·河南安阳·一模）如图，已知直线，它与反比例函数相交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象．
(3)过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标．
6．（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表：
… …
… 1 …
其中，______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的；
②函数：的图象关于_____成中心对称；
③写出这个函数的一条性质_______；
④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
7．（2025·重庆渝北·一模）如图，在△ABC中，，，，点为线段上一点（不与点，重合），，的面积为，△ABC的面积与的面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
8．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ；
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整．
1 2 3
1 2 4 4 2
(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：
① ； ② ．
(3)若点在函数的图象上，在函数的
图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为，
若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．
9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面类比学习函数的过与方法，探究分段函数的图象与性质．
(1)列表：请完成表格
x … 0 1 2 3 …
y … ____ 2 1 ____ 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
连线：如图，请在坐标系中描出该函数图像；
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点在函数图象上，则_______，________（摸“”，“”或“”）
②当函数值时，求自变量x的值．
10．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为，所以我们对函数进行探究．
… 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 3 5 …
(1)与的几组对应值如表：其中 ， ．
(2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象．
(3)根据所画图象，回答下列问题：
①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）；
②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的．
(4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题．
①方程有 个解；
②不等式的解集是 ．
11．（24-25九年级下·重庆渝中·阶段练习）在科技手工课上，老师带领同学们制作简易天平装置．在天平的左侧固定位置放置一个重为G的小摆件A，右侧悬挂一个可在间移动的水杯B（不包含支点C和端点D），水杯自重4g．往水杯中添加水可以使天平平衡．改变水杯与天平支点C的距离，记录水杯中添加水的质量，得到如下表：
水杯与点C的距离 … 5 10 15 20 25 30 40 …
水杯与水的总质量 … 60 30 20 15 10 …
加入的水的质量 … 56 26 16 11 a 6 …
(1)根据实验结果，填空：_______，根据实验数据直接写出与x的的函数关系式：_______；
(2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：_______；
(3)【深入探究】已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当时x的取值范围：_______；
12．（24-25八年级下·河南·期中） 某“兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)函数的自变量x的取值范围是________；
(2)下表是x与y的几组对应值：
x … 1 2 3 …
y … 2 m …
则表中m的值为________；
(3)根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出了函数的一部分，请你画出该函数的图象的另一部分；
(4)观察函数图象，写出该函数的一条性质：__________________________．
13．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在△ABC中，的长为，边上的高为，△ABC的面积为2．
(1)关于的函数关系式是______，的取值范围是______．
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象．
(3)直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点．点是轴上的点，的面积等于面积的，求点的坐标．
14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个长方形的面积为6，长为x，宽为y
(1)y与x之间的函数关系式为_________；
(2)列表如下：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 3 m 1 …
直接写出上面表格中m的值：_________，并在图中画出该函数的图象；
(3)在（2）的条件下，若点与点是该图象上的两点，试比较b和c的大小．
15．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在△ABC中，于点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动秒，的面积为为面积与点运动路程之比．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
16．（2025·甘肃嘉峪关·一模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A．
(1)求双曲线的函数表达式．
(2)请分别画出直线和双曲线．
(3)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围．
17．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)画出反比例函数的图象；
(3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？
18．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”．
第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强与受力面积．
第二步，数据整理，收集记录的数据如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4
桌面所受的压强 600 400 300 25 200 150
第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的？并直接写出p关于S的函数表达式．
(2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
(3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为_______．
19．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下：
(1)列表：下表是与的几组对应值，其中______________；
.... 6 4 3 2 2 3 4 6 ....
.... 2 3 6 6 4 3 2 ....
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)下列关于函数的说法，正确的有_____________．
①函数图象分别位于一、三象限；②当时，随的增大而减小；
③函数图象关于轴对称；④函数值始终大于0；
(3)已知直线与图象的交点坐标为_____________，则不等式的解集为_____________．
20．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，△ABC中，∠B=90°，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为．
(1)请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破三：画反比例函数图象（20道）
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，．
(1)求k的值，并写出函数表达式；
(2)若点P、Q、R在该函数的图像上，则这3个点的坐标分别为，，；
(3)点分别是第（2）小题中点P、Q、R关于原点的中心对称点，写出点的坐标；
(4)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像．
【答案】(1)(2)8，，4(3)，，(4)见解析
【分析】此题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，画反比例函数图象，求关于原点对称的点的坐标等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别将三个点的横纵坐标代入表达式求解即可；
（3）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数求解即可；
（4）列表，然后描点连线即可．
【详解】（1）∵当时，
∴
∴
∴反比例函数表达式为；
（2）将代入得，
∴；
将代入得，
∴；
将代入得，
解得
∴；
（3）∵，，，点分别是点P、Q、R关于原点的中心对称点
∴，，；
（4）列表如下：
x 2 4
y 2 4 8
画图如下：
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求m的值；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)根据图象，当时，求y的取值范围．
【答案】(1)；(2)见解析(3)．
【分析】本题考查反比例函数的图象．
（1）利用待定系数法把代入反比例函数即可得到m的值；
（2）根据反比例函数解析式，计算出反比例函数所经过的点，再画出图象即可；
（3）根据函数的图象即可求得．
【详解】（1）解：把点代入，得
，
解得；
（2）解：由（1）反比例函数的解析式为，
列表如下，
x … 1 2 4 …
y … 1 2 4 …
描点，连线，该函数的图象如下，
；
（3）解：由图象可知，当时，则．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求k的值，并画出函数的图象．
(2)这个函数的图象在哪几个象限？在每一个象限内，y的值随x的增大怎样变化？
(3)点、、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？
(4)如果点在这个函数的图象上，那么点、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？
【答案】(1)，见解析(2)一、三，减小(3)、不在，在(4)在，见解析
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点．
（1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出k，并画出函数的图象即可；
（2）根据函数的性质得出即可；
（3）把点、、的坐标代入函数解析式，看看两边是否相等即可；
（4）根据已知得，即可判断．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，作出函数图象如下：
（2）解：∵，
∴函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；
（3）解：当时，；
当时，；
∴点、不在这个函数的图象上，点在函数的图象上；
（4）解：∵点在这个函数的图象上，
∴，
∴，
∴点、在这个函数的图象上．
4．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．
(1)求该函数的表达式，并补画函数图象的另一支；
(2)若该反比例函数与一次函数的图象交于第一象限内一点，求代数式的值．
下面是几位同学解决问题（2）时的讨论：
小平：把两个函数表达式联立求交点坐标，可是好像方程组不会解……
小胜：可以用图象法！
小王：也可以把通分，结合函数表达式求解．
请你选择一种合适的方法解决上面问题．
【答案】(1) ，图象见详解(2)
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，作反比例函数图象，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）利用待定系数法直接求出k值，写出关系式即可，反比例函数图象的另一支关于原点成中心对称作图即可；
（2）小平的解法：把两个函数表达式联立求交点坐标，可得，由此可得，，即可得解；
小胜的解法：可以用图象法，找出一次函数和反比例函数的图象的交点坐标为，由此可得，，即可得解；
小王的解法：利用点在函数图象上得，点在函数图象上得，再根据即可求解．
【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数表达式为，另一支图象如图所示：
；
（2）解：
小平的解法：联立，
得，
，
，
解得，，
∴，，
∵P点在第一象限，
∴，
∴，，
∴；
小胜的解法：如图，在同一直角坐标线中作出一次函数和反比例函数的图象．
由图知两个函数图象在第一象限的交点坐标为，
∴，，
∴；
小王的解法：
点在反比例函数图象上，
，
点在函数图象上，
，
．
5．（2025·河南安阳·一模）如图，已知直线，它与反比例函数相交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点（网格线的交点），再画出反比例函数的图象．
(3)过点A作轴于点H，点P是反比例函数上一动点，当的面积为3时，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；(2)作图见解析；(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式及图象，熟练掌握反比例函数的解析式及图象是解题的关键．
（1）将点代入直线得点的坐标为，将点代入反比例函数，即可得出答案；
（2）根据反比例函数的解析式，选择点、、，并画出图象即可；
（3）过点A作轴于点H，设点到的距离为，根据点的坐标及的面积为3，易求，即可得出点的横坐标为或，代入反比例函数解析式即可求出答案．
【详解】（1）解：将点代入直线得：，即点的坐标为，
将点代入反比例函数得：，即，
则反比例函数的解析式为；
（2）根据反比例函数的解析式，如图所示，选择点、、，先描出这三个点，再画出反比例函数的图象为：
（3）如图所示，过点A作轴于点H，设点到的距离为，
点坐标为，
，
，
，即点到的距离为，
点的横坐标为，
点的横坐标为或，
分别代入反比例函数可得：或，
点P的坐标为或．
6．（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表：
… …
… 1 …
其中，______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的；
②函数：的图象关于_____成中心对称；
③写出这个函数的一条性质_______；
④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)(2)画图见解析
(3)①右，，上，；②；③当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可）④或
【分析】（）把代入函数解析式计算即可；
（）根据表格对应值描点连线即可；
（）①根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”即可求解；②根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”即可求解；③根据函数图象写出一条性质即可；④求出函数与的交点坐标，再结合图象解答即可；
本题考查了画反比例函数的图象，反比例函数图象的平移，反比例函数与不等式等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：；
（2）解：画图如下：
（3）解：①函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
故答案为：右，，上，；
②∵函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
∴反比例函数图象的对称中心为，即，
故答案为：；
③由图象可知，当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可）
④在图中作出函数的图象如下：
设与的图象相交于点，
由，解得或，
∴，，
由图象可知，当或时，，
即不等式的解集为或．
7．（2025·重庆渝北·一模）如图，在△ABC中，，，，点为线段上一点（不与点，重合），，的面积为，△ABC的面积与的面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】(1)；
(2)图象见解析；当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小
(3)
【分析】（1）根据勾股定理可求出，根据三角形面积公式求出；求出，再与的面积作比，即可求出关于x的函数表达式；
（2）根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可；
（3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象下方时x的取值范围求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）解：画出函数，的图象如图，
由图象可知，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小．
（3）解：由图象可知与相交于点，
∴当时，的图象在的图象下方，
∴时x的取值范围为．
8．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ；
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整．
1 2 3
1 2 4 4 2
(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：
① ； ② ．
(3)若点在函数的图象上，在函数的
图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为，
若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)1，画图见解析
(2)函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一）(3)或．
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
（1）将代入求解，根据表格所给点作图．
（2）观察图象即可得出函数的性质．
（3）把代入得，，求得，设，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：将代入得，
，
把图象补充完整如图所示；
故答案为：1；
（2）解：①函数图象关于轴对称，
②函数值，
故答案为：函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一）；
（3）解：把代入得，，
，
设，
的面积为，
，
解得或，（舍去）或（舍去），
或．
9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面类比学习函数的过与方法，探究分段函数的图象与性质．
(1)列表：请完成表格
x … 0 1 2 3 …
y … ____ 2 1 ____ 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
连线：如图，请在坐标系中描出该函数图像；
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点在函数图象上，则_______，________（摸“”，“”或“”）
②当函数值时，求自变量x的值．
【答案】(1)见解析(2)①，；②的值为或3
【分析】本题主要考查了画函数图象，比较函数值的大小，求自变量的值，解题的关键是数形结合，理解题意，画出函数图象．
（1）首先列表，然后将坐标系中的点连接即可得出函数图象；
（2）①分别根据图象进行解答即可；
②分两种情况求出x的值即可．
【详解】（1）列表：
x … 0 ． 1 2 3 …
y … 1 2 1 0 1 2 …
如图所示，
（2）①点，在上，且在第二象限内随的增大而增大，
；
点，在上，
当时，随的增大而增大，
．
故答案为：，；
②当，时，，
解得：，
当，时，，
解得：或（舍），
所以的值为或3．
10．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为，所以我们对函数进行探究．
… 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 3 5 …
(1)与的几组对应值如表：其中 ， ．
(2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象．
(3)根据所画图象，回答下列问题：
①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）；
②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的．
(4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题．
①方程有 个解；
②不等式的解集是 ．
【答案】(1)2，0(2)画图见解析；(3)①增大；②上，1(4)①2；②或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，平移的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）把和分别代入，即可求得m、n的值；
（2）根据表格数据，绘制函数的图象即可；
（3）①利用函数图象的增减性即可得到答案；②结合表格信息，利用平移的性质即可得到答案；
（4）①先画出函数的图象，观察图象即可解决问题．②利用即可解决问题．
【详解】（1）解：把和分别代入，
∴，；
（2）解：先描点，再画图如下：
（3）解：①当时，随的增大而增大；
②函数的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的．
（4）解：的图象如图所示，
∴①由图象可得方程有个解；
②由图象可得的两个解为：
，，经检验符合题意；
∴函数图象的两个交点的横坐标为，，
∴不等式的解集是或．
11．（24-25九年级下·重庆渝中·阶段练习）在科技手工课上，老师带领同学们制作简易天平装置．在天平的左侧固定位置放置一个重为G的小摆件A，右侧悬挂一个可在间移动的水杯B（不包含支点C和端点D），水杯自重4g．往水杯中添加水可以使天平平衡．改变水杯与天平支点C的距离，记录水杯中添加水的质量，得到如下表：
水杯与点C的距离 … 5 10 15 20 25 30 40 …
水杯与水的总质量 … 60 30 20 15 10 …
加入的水的质量 … 56 26 16 11 a 6 …
(1)根据实验结果，填空：_______，根据实验数据直接写出与x的的函数关系式：_______；
(2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：_______；
(3)【深入探究】已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当时x的取值范围：_______；
【答案】(1)8，；(2)见解析，当时，随的增大而减小(3)或
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，理解题意是解答本题的关键．
（1）根据表格中的数据关系可知水杯与点C的距离与水杯与水的总质量成反比例，可得，；
（2）根据描点连线画出的图象，根据图象写出性质即可；
（3）根据函数图象写出结论即可．
【详解】（1）解：格中的数据关系可知水杯与点C的距离与水杯与水的总质量成反比例，可得，；
当时，，
故答案为：8，；
（2）解：根据表格中的数据描点连线得，
性质：当时，随的增大而减小；
（3）解：一次函数与的图象如图，
所以，当或时，
12．（24-25八年级下·河南·期中） 某“兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)函数的自变量x的取值范围是________；
(2)下表是x与y的几组对应值：
x … 1 2 3 …
y … 2 m …
则表中m的值为________；
(3)根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出了函数的一部分，请你画出该函数的图象的另一部分；
(4)观察函数图象，写出该函数的一条性质：__________________________．
【答案】(1)(2)3)见解析(4)见解析
【分析】本题考查了分式有意义的条件，画函数图像，反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据分式有意义的条件求解即可；
（2）将代入解析式，即可求得m的值；
（3）据表中数据，描点连线，即可得到该函数图象的另一部分；
（4）观察表中数据和函数图象的特征，写出其中一条性质即可．
【详解】（1）解：函数的自变量x在分母上，
x的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：当时，，
故答案为：；
（3）解：如图，即为该函数的图象的另一部分；
（4）解：观察函数图象可知该函数的性质（写出一条即可）
①该函数无最大值，也无是小值；
②函数图象关于原点对称；
③当时，y随x增大而增大；
④当时，y随x增大而增大；
⑤当时，y随x增大而减小；
⑥当时，y随x增大而减小．
13．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在△ABC中，的长为，边上的高为，△ABC的面积为2．
(1)关于的函数关系式是______，的取值范围是______．
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象．
(3)直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点．点是轴上的点，的面积等于面积的，求点的坐标．
【答案】(1)，(2)见解析(3)或
【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．
（1）根据三角形的面积公式求解即可；
（2）利用列表描点法画出函数图象即可；
（3）先求出、的坐标，进而得到，设，再根据的面积等于面积的列方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，的长为，边上的高为，的面积为2，
则，
关于的函数关系式是，的取值范围是，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知，，
列表如下：
描点连线，函数图象如下：
（3）解：令，则，
则，
联立，解得：，（舍），
，
，
点是轴上的点，
设，则，
的面积等于面积的，
，
，
，
点的坐标为或．
14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个长方形的面积为6，长为x，宽为y
(1)y与x之间的函数关系式为_________；
(2)列表如下：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 3 m 1 …
直接写出上面表格中m的值：_________，并在图中画出该函数的图象；
(3)在（2）的条件下，若点与点是该图象上的两点，试比较b和c的大小．
【答案】(1)(2)2，画图见解析(3)
【分析】本题考查的是列反比例函数解析式，画反比例函数图象，利用反比例函数的性质解决问题；
（1）根据长方形的面积公式可得函数解析式；
（2）把代入可得，再根据表格信息描点画图即可；
（3）由图象可知，y随着x的增大而减小，结合图象进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵一个长方形的面积为6，长为x，宽为y，
∴，
∴；
（2）解：当时，，
∴画出函数图象如图所示．
（3）解：由图象可知，y随着x的增大而减小．
而点与点是该图象上的两点，，
∴．
15．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在△ABC中，于点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动秒，的面积为为面积与点运动路程之比．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
【答案】(1)；；(2)图象见解析，性质见解析
(3)或．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键．
（1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得；当点P在上时，过点D作于E，根据等面积法求出，则；根据为面积与点运动路程之比列出函数解析式即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可；
（3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象下方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
由勾股定理得，，
如图，当点P在上时，
∴
即
如图，点P在上时，过点D作于E，
，
∴，
∵
∴，
综上所述，；
，
即；
（2）解：画的图象：
列表：
x 1 3
y 2 6
描点连线得：如图，
画的图象：
列表：
x 3 8
y 6 0
描点连线得：如图，不包含和这两点
画的图象：
列表：
x 1 2 3 6
y 6 3 2 1
描点连线得：如图，
由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小．
（3）解：由图象得，当时，或．
16．（2025·甘肃嘉峪关·一模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A．
(1)求双曲线的函数表达式．
(2)请分别画出直线和双曲线．
(3)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)(2)见解析(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质、画函数图象、根据函数图象确定函数值的取值范围等知识点，熟练掌握反比例函数图像上点的性质是解题的关键．
（1）把代人可得，即；把代入求得k的值即可解答；
（2）根据描点连线画出函数图像即可；
（3）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答．
【详解】（1）解：把代人，得，解得．
把代入得．
双曲线的函数表达式为
（2）解：画出直线和双曲线如解图所示．
（3）解：联立直线和双曲线，解得：，
∴其交点的纵坐标分别为：，
如图：当时， b的取值范围或．
17．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)画出反比例函数的图象；
(3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？
【答案】(1)(2)作图见解析(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．
（1）将A点坐标代入即可求解；
（2）分别找出三个整数点即可画出函数图象；
（3）由，当时，，从而得到平移距离．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点，
将代入得解析式得，
∴，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）解：三个整数点，如图所示：
（3）解：由题意可知，
当时，，
将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．
18．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”．
第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强与受力面积．
第二步，数据整理，收集记录的数据如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4
桌面所受的压强 600 400 300 25 200 150
第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的？并直接写出p关于S的函数表达式．
(2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
(3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为_______．
【答案】(1)第四组，(2)图见解析(3)
【分析】（1）通过观察表中数据即可发现明显错误的数据，根据变量间的关系设，把代入，即可求出的值，进而得出关于的函数表达式；
（2）将格点在坐标系中描点，再连线作图即可；
（3）令，代入，得，由此即可求出的值．
【详解】（1）解：第四组数据是明显错误的，理由如下：
通过观察表中数据可以发现，除第四组外，其余每组与的积都是定值，因此第四组数据明显有误（压强错了），
设，把代入，得：，
，
关于的函数表达式为；
（2）解：画出函数图象如图所示：
（3）解：令，代入，得：，
，
长方体A的受力面积至少为，
故答案为：．
19．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下：
(1)列表：下表是与的几组对应值，其中______________；
.... 6 4 3 2 2 3 4 6 ....
.... 2 3 6 6 4 3 2 ....
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)下列关于函数的说法，正确的有_____________．
①函数图象分别位于一、三象限；②当时，随的增大而减小；
③函数图象关于轴对称；④函数值始终大于0；
(3)已知直线与图象的交点坐标为_____________，则不等式的解集为_____________．
【答案】(1)4；图像见解析(2)③④(3)，或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握基本性质是解题关键．
（1）直接将代入函数求解即可，再通过表格中的数，在第二象限描点然后作图即可；
（2）根据函数图象直接进行判断即可；
（3）画出一次函数图象，求出两个函数交点，再数形结合可得到答案．
【详解】（1）解：时，，
故答案为：4；
补充图象如图：
（2）解：发现函数图象位于第一、二象限，故①错误；
当时，随的增大而增大，故②错误；
函数图象关于轴对称，故③正确；
函数值始终大于0，故④正确；
故答案为：③④
（3）解：在方格纸中画出直线如图：
有图象可知：交点坐标为：，
不等式的解集为：或．
故答案为：，或．
20．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，△ABC中，∠B=90°，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为．
(1)请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
【答案】(1)；(2)画图见解析，性质见解析(3)
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题；
（1）分，，结合三角形的面积公式可得的解析式，由的长度与的比为，可得的图象．
（2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质；
（3）直接利用函数图象得到的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，，
当时，，，
∵的面积为，
∴，
当时，则，，
∴，
综上：；
∵的长度与的比为．
∴；
（2）解：如图，，的图象如下：
；
当，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小．
（3）解：由图象可得：当时，图象在之间；
∴；
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