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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破十：反比例数中定义新运算（20道）
1．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称．
(1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ；
(2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值；
(3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）根据新定义，点的“对称点”与点关于对称，点的“对称点”与点关于轴对称，进行求解即可；
（2）设点，当时，关于直线对称，当时，关于轴对称，分别求出点的坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可；
（3）设一次函数的图象上的点，分别求出和时，点的对称点所在的直线，进而确定图形，利用数形结合的思想，找到直线与图形恰好没有交点时的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴点的“对称点”与点关于对称，
连接，分别作轴，轴，则：，，
∵对称，
∴，
∵直线为一，三象限的角平分线，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴点的“对称点”与点关于轴对称，
∴；
故答案为：，
（2）∵设点，
①当时，则：关于直线对称，
由（1）可知：关于直线对称的点的特点为横纵坐标位置互换，
∵，
∴，此时，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，符合题意；
②当时，则：关于轴对称，
∴，此时，即：，
∴，
∴，符合题意；
综上：；
（3）设一次函数的图象上的点，
当时，即：时，点的对应点为：，
令，，则：，
即此时点的对应点在直线上，
当，即：时，点的对应点为：，
同法，可知：点的对应点在直线上，
∵，
∴当时，，
如图，
当经过时，，
此时直线恰好与图形没有交点，
当直线向上移动时，直线恰好与图形有交点，
当直线向下移动时，直线与图形没有交点，
故的范围为：．
2．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于平面直角坐标系中的两个图形，，图形上的任意一点与图形的任意一点的所有距离的最小值为，那么图形与图形叫做“距”关联图形．当值小于等于1时，又称这两个图形互为“近邻图形”．
(1)已知点，点
①如图1，点与线段是“_________距”关联图形
点与线段是“_________距”关联图形
②如图2，将线段向上平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围；
(2)如图3，已知点，若双曲线与是“0距”关联图形，请直接写出的取值范围___________________________．
【答案】(1)①0；；②；(2)或
【分析】（1）①根据“距”关联图形，点在线段上，点与线段的最近距离为，从而求得答案；②先求得，，若直线与四边形互为“近邻图形”， 与点和点的最大距离为，作直线交，延长交直线于点，那么，设与轴的交点为，与轴的交点为，先证明是等腰直角三角形，计算出，得到，然后将代入求得，同理可求得当与点的最大距离为，，从而得到的范围；
（2）根据题意，可知双曲线与有交点，①当时，双曲线过点，那么，，双曲线过点，那么，，得到；②时，双曲线过点，那么，，先求得直线，联立直线和双曲线，得到，当双曲线与直线有唯一交点时，利用判别式为0求得，从而求得的范围．
【详解】（1）解：①根据题意，点在线段上，所以点与线段是“0距”关联图形；点与线段的最近距离为，，点与线段是“距”关联图形；
故答案为：0；；
②解：将线段向上平移2个单位，得到线段，连接，，
，，
若直线与四边形互为“近邻图形”，
与四边形的最大距离为，
与点和点的最大距离为，
作直线于，延长交直线于点，那么，设与轴的交点为，与轴的交点为，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
将代入，那么，解得；
同理，可算得当与点的最大距离为，；
当时，与四边形的距离小于等于，直线与四边形互为“近邻图形”，
的取值范围为：；
（2）解：双曲线与是“0距”关联图形，
双曲线与有交点，
①当时，双曲线过点，那么，
双曲线过点，那么，，此时也过
如图所示：
从图中可知，时，当越小，越靠近原点，
；
②时，双曲线过点，那么，，
设直线为，代入，，
，
，
直线为：，
联立直线和双曲线，得到，
，
双曲线与直线有唯一交点时，
，
如图所示：
时，当越大，越靠近原点，
．
故答案为：或．
3．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，求出的值．
【答案】(1)，是矩形的“友好函数”，理由见解析；(2)①；②．
【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论；
（2） ①求出正比例函数，设点，则，则，根据折叠的性质得，延长交轴与， 根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，根据勾股定理列方程并求出，求出点坐标，即可求出；
②当时，即，将点的坐标代入反比例函数表达式得，即，根据，得到，即可求解．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式，得：．
∴反比例函数的表达式为：，
当时，，
∴点在反比例函数图像上，
∴该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式，得，
∴正比例函数表达式为，
∵正比例函数是矩形的“友好函数”，
∴点在直线上，
设点，点，
∴，
∵将矩形沿折叠，点的对应点为，点落在轴上，
∴，
延长交轴于，如图：
∵四边形是矩形．
∴．
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，
解得：或，
∵，
∴．
∴．
，
当时，，
把代入反比例函数得：，
∴；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即，
∵，
∴，
∵．
∴，
∴当时， ，
当时，，
∴，，
，
当时，，
∴，，
，
∴．
4．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）阅读下列材料
定义运算：，当时，；当时，．例如：；．完成下列任务
(1)①______；②______．
(2)如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于A、B两点．
①当时，请直接写出x的取值范围；
②当时，．求这两个函数的解析式．
【答案】(1)(2)①或 ②
【分析】本题主要考查了新定义运算和反比例函数图象的性质，熟练掌握新定义运算的法则和反比例函数的性质是解答本题的关键.
（1）根据定义运算的法则解答即可；
（2）①根据时，可得一次函数的解析式，然后呢求出点的坐标代入反比例函数解析式计算解题．
②根据①的结论和定义运算的法则解答即可；
【详解】（1）解：①∵，
∴
②∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①由图象得：当或时，；
②当时，，
∵，
∵一次函数，
当 时，，
，
将点代入中， 得，
，
故答案为：．
5．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
(1)点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，求b的值．
(2)①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______；
②在①的条件下，在双曲线上，求的值．
(3)在（2）的条件下，平面内找一点G，使O，E，F，G四点组成平行四边形，直接写出G点坐标．
【答案】(1)不是；4(2)18；(3)或或
【分析】（1）分计算矩形的周长和面积，然后结合“美好点”的定义，即可判断点是否为“美好点”；分计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得，然后求解即可；
（2）①分计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得求解即可确定点，再将其代入双曲线解析式，求解即可；②首先确定点，过点作轴，垂足为，然后由求解即可；
（3）设，分为对角线、为对角线和为对角线三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：如下图，
∵，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴矩形的周长，矩形的面积，
又∵，
∴点不是“美好点”；
如下图，
∵，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴矩形的周长，矩形的面积，
若点是“美好点”，
则有，解得，
∴．
故答案为：不是；4；
（2）解：①∵点为“美好点”，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴矩形的周长，矩形的面积，
则有，解得，
∴，
∵点在双曲线的图像上，
∴，解得，
故答案为：18；
②由①可知，该双曲线解析式为，
∵点在双曲线上，
则有，即，
如下图，过点作轴，垂足为，
则，，，，
∴，
∴
；
（3）解：如下图，
设，
∵，，，
若以为对角线，
则有，，
解得：，，
∴；
若以为对角线，
则有，，
解得，，
∴；
若以为对角线，
则有，，
解得，，
∴．
综上所述，G点坐标为或或．
6．（2025·河南·二模）定义：在平面直角坐标系中，若函数W的图象经过的四个顶点，则称函数W是的“美好函数”．如图，反比例函数的图象经过点和点，且反比例函数是的“美好函数”．
(1)求k，a的值．
(2)已知，请在图中画出，并直接写出点C，D的坐标．
【答案】(1)，(2)，
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解分式方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）将和点代入反比例函数解析式即可求解；
（2）根据反比例函数解析式为，可设，根据平行四边形的性质，结合点的平移得到，再代入反比例函数解析式，解方程即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点和点，
，
解得：；
（2）解：如图，即为所作：
由（1）可得反比例函数解析式为
设，
∵，、，
∴，
∴由平移可得：，
将代入得：，
解得：或，
经检验：或都是原方程的解，但不符合题意，故舍去
∴，．
7．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）定义：对于平面直角坐标系内的点和反比例函数，若，则称点是反比例函数的“双曲点”．
已知点和反比例函数．
(1)判断点是否为反比例函数的“双曲点”，并说明理由；
(2)如图1，过点作轴，轴，分别与反比例函数的图象交于点和，将直线右侧的图象沿翻折，交轴于点，将直线下方的图象沿翻折，翻折后的曲线相交于点．
①求点到轴和轴的距离比；
②如图2，若点位于点上方，过点作轴，交轴左侧曲线于点，交轴右侧曲线（实线部分）于点．若，求的值．
【答案】(1)点是反比例函数的“双曲点”，见解析(2)①；②或4
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，“双曲点”的定义，关于直线对称的点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
（1）将计算出，即可进行判断；
（2）①设点的坐标为，设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为．得到，，将，代入反比例函数中，得到，即可求出答案；
②设点关于直线的对称点为，分另种情况进行讨论，当点在点下方时，设点关于直线的对称点为，根据反比例函数的图像和性质得到，，列出式子进行求解；当点在点上方时，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：，，
点是反比例函数的“双曲点”；
（2）解：①设点的坐标为，
如图1，设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为．
，
依题可知点，都在反比例函数图象上，
．
，即点到轴和轴的距离比为；
②轴，，
．
设点关于直线的对称点为，
如图2，当点在点下方时，
设点关于直线的对称点为，
，，
将和代入得，，．
．
，．
，
．
解得，（舍）
如图3，当点在点上方时，
，
，．
，
综上，的值为或4．
8．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题：
(1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ；
(2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由；
(3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：．
【答案】(1)(2)不在．理由见解析(3)见解析
【分析】（）根据两个函数的“均值函数”的定义即可求解；
（）根据题意得，若经过点，则转化为，然后根据根的判别式即可求解；
（）由点在的图象上，则或，再根据轴，轴，求出，，，，再由和的“均值函数”为，则，最后由平行四边形的判定与性质即可求证；
本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数和，
∴，
∴它们的“均值函数”是，
故答案为：；
（2）解：不在，理由如下：
根据题意，，
若经过点，
∴，
∴，
整理，得．
∵，
∴此方程无解，
∴不存在的值，使得，
∴点不在函数和的“均值函数”图象上；
（3）解：∵点在的图象上，
∴或，
∵轴，
∴，，
∴，，
∵轴，
∴，，
∴，．
∵和的“均值函数”为，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
9．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如果一个矩形的周长和面积都是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍矩形”．
【概念辨析】
（1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为________，面积为________；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？
我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意，，则，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数和反比例函数的图像来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽．
请观察图像，则长为3，宽为2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为________和________（结果精确到0.1）
我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意：，，则，，请完成以下解答过程．（结果保留根号）
【答案】（1）24，16；（2）存在，，；，
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍矩形”，结合图像取近似数，即可作答．
联立方程组，求出，再求出，即可作答．
本题考查了一次函数与反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的“2倍矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：（1）依题意，∵一个矩形的周长是12，面积是8，
则
∴它的“2倍矩形”的周长为24，面积为16；
故答案为：24，16；
（2）观察图像，两个函数有交点，
则长为3，宽为2的矩形存在“2倍矩形”，
∵，
∴结合图像，则它的长和宽分别约为和，
故答案为：存在，，；
依题意，
整理得
∴，
∴
解得或，
∵
∴（舍去），
∴宽为，
即．
10．（24-25八年级下·辽宁大连·开学考试）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且（或且），则称直线是图形与的 “区分直线”．
例如：如图，正方形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，直线是函数的图象与正方形的一条“区分直线”．
(1)在直线中，是图函数的图象与正方形的“区分直线”的为_____；
(2)若直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，求公共点的坐标；
(3)如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，点在点的右侧，点在点的上方，直角顶点的坐标是与的“区分直线”有且只有一条，求此“区分直线”的函数表达式；
(4)正方形的边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“区分直线”，
若，“区分直线”有且只有一条时，求的值；
若存在“区分直线”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)(4) 或
【分析】（1）根据“区分直线”的定义即可解答；
（2）因为直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，则令，解得，因为直线与函数的图象有一个公共点，则，将代入中，解得，将代入中，解得，即可得解；
（3）如图，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则，直线是与的唯一一条“区分直线”，根据点的坐标求得，在中，根据勾股定理得：，求得，根据得，，求得，设直线的解析式为，代入求得，即可解答；
（4）若，则正方形在轴下方，则正方形为图形，函数的图象为图形，如图，对于抛物线，当时，，当时，所以直线过点时，，即，得出直线恰好经过点和点，当点在直线上时，“区分直线”有且只有一条，求出的坐标为，将点坐标代入，解得，即可得解；
由得，当时，存在“区分直线”，若，如图，则的图象为图形，正方形为图形，由得，当直线与抛物线有唯一公共点时，，解出，此时唯一公共点的横坐标在和之间，当点在直线时，得，解得，则时，存在“区分直线”，即可求解．
【详解】（1）解：根据“区分直线”的定义可知是图函数的图象与正方形的“区分直线”，
故答案为：；
（2）解：直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，
则只有一个公共点，令，整理得，，
解得：，
因为直线与函数的图象有一个公共点，则，
将代入中，得，
解得：，
将代入中，则，
公共点的坐标为；
（3）解：如图，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则，直线是与的唯一一条“区分直线”，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
代入，则，
解得：，
与的“区分直线”是；
（4）解：若，则正方形在轴下方，则正方形为图形，函数的图象为图形，
如图，对于抛物线，当时，，当时，
直线过点时，，
，
当时，，
直线恰好经过点和点，
当点在直线上时，“区分直线”有且只有一条，
正方形的中心在轴上，
点到边的距离为，则的坐标为，
将代入，得，
解得：，
当，“区分直线”有且只有一条时，的值为；
或，
由得，当时，存在“区分直线”，
若，如图，则的图象为图形，正方形为图形，
由得，
当直线与抛物线有唯一公共点时，，
，
解得：，
此时唯一公共点的横坐标在和之间，
点坐标为，
当点在直线时，得，
，
则时，存在“区分直线”，
综上所述，的取值范围为或．
．
11．（24-25九年级上·山西晋中·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ．
【深入探究】：
（2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ；
②在①的条件下，在双曲线上，求的值．
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围
②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①或（）；②是定值
【分析】（1）过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，得到，于是矩形的周长为，面积为，不相等，判断即可；根据点是第一象限内的一个“美好点”，得到，解答即可．
（2）①根据点是“美好点”（），得到，确定m的值，继而得到点，把确定的坐标代入解析式确定k值即可；
②把代入双曲线中，得到，得到，过点F作轴于点H，交的延长线于点G，设，直线的解析式为，确定直线的解析式，点G的坐标，根据解答即可．
（3）①根据定义，得，整理表示y即可．
②根据，变形得即，变形解答即可．
【详解】（1）解：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，根据题意，得，
∴矩形的周长为，面积为，不相等，
∴点不是“美好点”；
∵点是第一象限内的一个“美好点”，
∴，
解得．
故答案为：不是；4．
（2）①解：∵点是“美好点”（），
∴，
解得，
∴点，
把代入解析式中，得，
解得；
②解：∵，
∴双曲线的解析式为，
∵点在上，
解得，
故点，
过点F作轴于点H，交的延长线于点G，
设，直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
（3）①解：∵点是第一象限内的“美好点”．
∴，
∴，
∵点是第一象限内的“美好点”，
∴，
∴，
∴，
∴或．
②解：是定值，且为．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
故是定值，且为．
12．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题：
(1)试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由；
(2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式；
(3)若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析；(2)；(3)．
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，反比例函数的增减性，新定义，理解闭函数的定义是解答关键．
（1）根据反比例函数的增减性结合闭函数的定义来求解；
（2）根据闭函数的定义，结合一次函数的增减性可求出和，进而求出一次函数的解析式；
（3）根据函数在时的增减性，结合闭函数的定义得到图象过点和两点，得到，结合来求解．
【详解】（1）解：反比例函数是闭区间上的“闭函数”．
理由如下：
反比例函数在第一象限内随的增大而减小，
当时，；当时，，
即图象过点和，
当时，有，符合闭函数的定义．
所以反比例函数是闭区间上的“闭函数”．
（2）解：因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，
根据一次函数的图象与性质，当时，随的增大而增大，
即图象过点和两点，…
则，
解得，
所以，此时函数的表达式是．
（3）解：因为函数在时，随的增大而增大，
又函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，
即图象过点和两点，
代入有，
即，
又，
故，是方程的两个不相等正根，
即有，
解得：，
所以的取值范围是．
13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数．
(1)求函数的“镜子”函数．
(2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点．
①当时，求函数的“镜子”函数．
②若，且点的横坐标为，求点的横坐标．
【答案】(1)(2)①；②点横坐标为15
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，正确运用“镜子”函数的定义（若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数）是解答本题的关键．
（1）设“镜子”函数上某点的坐标为，得出关于直线的对称点为，代入即可得解；
（2）①依照（1）的思路可得解；②根据“镜子”函数的定义可得点的坐标为，设点坐标为，由中点坐标公式得点坐标为，结合反比例函数解析式得，进一步可得结论．
【详解】（1）解：设“镜子”函数上某点的坐标为，
则关于直线的对称点为，
所以函数的“镜子”函数为
（2）解：①设“镜子”函数上某点的坐标为，
则关于直线的对称点为，
所以函数的“镜子”函数为
②函数的“镜子”函数为
点坐标为
设点坐标为，
，即为线段的中点，
点坐标为，
，即点横坐标为15．
14．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”．
(1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由．
①；②．
(2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)①存在两倍点为；②不存在两倍点，见解析(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题：
（1）根据两倍点的定义，即可求解；
（2）根据两倍点的定义，可得，再由反比例函数的性质可得直线与反比例函数图象的另一交点是其另一个两倍点，再结合弱倍点的定义，可得反比例函数图象的弱倍点在直线的下方，即可求解．
【详解】（1）解：令．
①，
解得，
，故存在两倍点为．
②，
即，
，
方程无实根，即不存在两倍点．
（2）解：点是反比例函数图象上的两倍点，的横坐标为3，
，
如图，直线与反比例函数图象的另一交点是其另一个两倍点；
∵弱倍点应符合，即反比例函数图象的弱倍点在直线的下方，
弱倍点的横坐标的取值范围为或．
15．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形．
(1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点．
①分别求出两点的坐标；
②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形．
(2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)①，；②证明见解析；(2)点的坐标为或或或．
【分析】（）①联立函数解析式解方程组即可求解；
②利用两点距离公式求出，进而由勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质证明即可求证；
（）设点的坐标为， 分、、和四种情况，利用全等三角形的性质和平移的性质解答即可求解．
【详解】（1）解：①由，解得，，
∴，；
②证明：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴平行四边形是勾股四边形；
（2）解：由（）知，，，，
设点的坐标为，
①如图，当时，
∵，，
∴，
解得，
∴；
②如图，当时，
∵，，
∴，
解得，
∴；
③如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于点，作轴，过点作于点，则，
∵直线， 令，则，
解得，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴；
④如图，当时，
∵，，
∴，
解得，
∴；
综上，点的坐标为或或或．
16．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为．
(1)①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______；
②如图，如果，作轴，那么______，______．
(2)直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标；
(3)反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式．
【答案】(1)①；②2，(2)(3)
【分析】本题在新定义的基础上考查了勾股定理，反比例函数的定义等知识，解决问题的关键是紧扣定义．
（1）①根据定义得出点到的距离等于点到点距离，进而得出结果；
②可得出，，根据勾股定理求得的值．
（2）作于，交轴于，连接，作于，设，可得出，，，在中，根据勾股定理列出方程，进一步得出结果．
（3）作，交轴于，作轴于，根据得出，，，在中根据勾股定理得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：①点到的距离等于点到点距离，
，
故答案为：；
②，，，
，
，
轴，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图1，
作于，交轴于，连接，作于，
设，
，
，，
在中，，
，
或（舍去），
；
（3）解：如图2，
作，交轴于，作轴于，
，
，
，，
，
在中，，
，
设反比例函数的解析式为，
，
，
这个反比例函数的解析式为：．
17．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．
【概念辨析】
（1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；
②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？
我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”．
那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；
（3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；
②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长．
【答案】（1）①是；②24，16；（2）存在，矩形的长为：；（3）①画出函数的图象见解答，函数的表达式为：；②7.2（答案不唯一）．
【分析】（1）由新定义即可求解；
(2)从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，联立两个函数表达式得∶ ，即可求解；
（3)①由新定义求出函数表达式，画出函数图象即可；②在①的图象中，函数的图象，得到两个函数交点即可．
【详解】解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，故该正方形为“完美矩形”，
故答案为∶是；
②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16．
故答案为∶ 24，16；
（2）存在，
理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，
联立两个函数表达式得∶ ，
解得∶ 或 (舍去)，
即矩形的长为：；
（3）①画出函数的图象，
由题意得，矩形的周长为，面积为，则，即，
列表如下：
描点、连线，如下图所示：
②长为x，宽为的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，则，
即，
在①的图象中，函数的图象，两个函数的交点为∶2.9和7.2(答案不唯一)，则周长为20的“完美矩形”的长7.2(答案不唯一)．
18．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式．
【答案】(1)是矩形的“友好函数”(2)①；②
【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论；
（2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k；
分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图像上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
,
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即，
，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，．
19．（2024·山东济南·一模）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点作轴交直线于点，连接，，若的面积是面积的倍，请求出点坐标；
(3)平面上任意一点，沿射线方向平移个单位长度得到点，点怡好在反比例函数的图象上；
①请写出点纵坐标关于点横坐标x的函数关系式______；
②定义，则函数的最大值为______．
【答案】(1)(2)点坐标为或(3)①；②
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．
（1）先根据点求出的解析式，然后求出点的坐标，最后将点的坐标代入中，求出，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当点在下方时，当点在上方时，结合“若的面积是面积的倍”，求出点的坐标，将点的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；
（3）①根据题意可得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，则，将其代入中，即可求解；②分为：当时，；当时，；分别解不等式即可求解．
【详解】（1）解：直线经过点，，
，
解得：，
，
点在直线上，
，
，
，
；
（2）①当点在下方时，
，
，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
把代入中，
得：，
；
②当点在上方时，
，
，
为的中点，
，，
，
把代入中，得：，
，
综上所述，点的坐标为或；
（3）① 由，沿射线方向平移个单位长度得到点，
得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，
，
点恰好在反比例函数的图象上，
，
；
②．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
时，函数有最大值，最大值为；
当时，，
解得：，
时，函数有最大值，最大值为；
．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
，即；
当时，，
解得：，
，即；
综上所述，函数的最大值为，
故答案为：．
20．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当时，的取值范围是_______．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____．
②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①20，28；②不存在，见解析；（3）存在，或或
【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解；
（2）①由题意得：且，即可求解；
②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解．
【详解】解：（1）联立和得：，
解得：或5，
观察函数图象知，当时，的取值范围是，
故答案为：；
（2）①设矩形的边长分别为：，，
由题意得：且，
而，，
则，，
故周长为28，面积为20，
故答案为：20，28；
②假设存在矩形，其边长为，，
同理可得：，，
则存在方程：，
，
∴方程无解，
故不存在矩形；
（3）存在，理由：
联立两个函数表达式得：，
解得：或5，
即点、的坐标分别为：、；
设点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：，即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或或．
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破十：反比例数中定义新运算（20道）
1．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称．
(1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ；
(2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值；
(3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围．
2．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于平面直角坐标系中的两个图形，，图形上的任意一点与图形的任意一点的所有距离的最小值为，那么图形与图形叫做“距”关联图形．当值小于等于1时，又称这两个图形互为“近邻图形”．
(1)已知点，点
①如图1，点与线段是“_________距”关联图形
点与线段是“_________距”关联图形
②如图2，将线段向上平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围；
(2)如图3，已知点，若双曲线与是“0距”关联图形，请直接写出的取值范围___________________________．
3．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，求出的值．
4．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）阅读下列材料
定义运算：，当时，；当时，．例如：；．完成下列任务
(1)①______；②______．
(2)如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于A、B两点．
①当时，请直接写出x的取值范围；
②当时，．求这两个函数的解析式．
5．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
(1)点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，求b的值．
(2)①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______；
②在①的条件下，在双曲线上，求的值．
(3)在（2）的条件下，平面内找一点G，使O，E，F，G四点组成平行四边形，直接写出G点坐标．
6．（2025·河南·二模）定义：在平面直角坐标系中，若函数W的图象经过的四个顶点，则称函数W是的“美好函数”．如图，反比例函数的图象经过点和点，且反比例函数是的“美好函数”．
(1)求k，a的值．
(2)已知，请在图中画出，并直接写出点C，D的坐标．
7．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）定义：对于平面直角坐标系内的点和反比例函数，若，则称点是反比例函数的“双曲点”．
已知点和反比例函数．
(1)判断点是否为反比例函数的“双曲点”，并说明理由；
(2)如图1，过点作轴，轴，分别与反比例函数的图象交于点和，将直线右侧的图象沿翻折，交轴于点，将直线下方的图象沿翻折，翻折后的曲线相交于点．
①求点到轴和轴的距离比；
②如图2，若点位于点上方，过点作轴，交轴左侧曲线于点，交轴右侧曲线（实线部分）于点．若，求的值．
8．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题：
(1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ；
(2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由；
(3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：．
9．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如果一个矩形的周长和面积都是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍矩形”．
【概念辨析】
（1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为________，面积为________；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？
我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意，，则，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数和反比例函数的图像来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽．
请观察图像，则长为3，宽为2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为________和________（结果精确到0.1）
我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意：，，则，，请完成以下解答过程．（结果保留根号）
10．（24-25八年级下·辽宁大连·开学考试）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且（或且），则称直线是图形与的 “区分直线”．
例如：如图，正方形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，直线是函数的图象与正方形的一条“区分直线”．
(1)在直线中，是图函数的图象与正方形的“区分直线”的为_____；
(2)若直线是图函数的图象与正方形的“区分直线”，且直线与函数的图象有公共点，求公共点的坐标；
(3)如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，点在点的右侧，点在点的上方，直角顶点的坐标是与的“区分直线”有且只有一条，求此“区分直线”的函数表达式；
(4)正方形的边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“区分直线”，
若，“区分直线”有且只有一条时，求的值；
若存在“区分直线”，直接写出的取值范围．
11．（24-25九年级上·山西晋中·期中）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ．
【深入探究】：
（2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ；
②在①的条件下，在双曲线上，求的值．
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围
②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
12．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题：
(1)试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由；
(2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式；
(3)若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围．
13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数．
(1)求函数的“镜子”函数．
(2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点．
①当时，求函数的“镜子”函数．
②若，且点的横坐标为，求点的横坐标．
14．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”．
(1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由．
①；②．
(2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围．
15．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形．
(1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点．
①分别求出两点的坐标；
②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形．
(2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标．
16．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为．
(1)①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______；
②如图，如果，作轴，那么______，______．
(2)直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标；
(3)反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式．
17．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．
【概念辨析】
（1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；
②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？
我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”．
那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；
（3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；
②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长．
18．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式．
19．（2024·山东济南·一模）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点作轴交直线于点，连接，，若的面积是面积的倍，请求出点坐标；
(3)平面上任意一点，沿射线方向平移个单位长度得到点，点怡好在反比例函数的图象上；
①请写出点纵坐标关于点横坐标x的函数关系式______；
②定义，则函数的最大值为______．
20．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当时，的取值范围是_______．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____．
②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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