第二章一元二次方程单元测试（含答案）

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第二章一元二次方程单元测试浙教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（　　）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
2．若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
3．若a﹣b＝3，则下列x的值一定是关于x的方程ax2+2bx﹣12＝0的根的是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣2
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2且k≠0 B．k≤2 C．k≤2且k≠1 D．k＜2且k≠1
5．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
6．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6＝0，则x﹣y的值是（　　）
A．﹣2或3 B．2或﹣3 C．﹣1或6 D．1或﹣6
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．方程x2﹣4＝0的解是　 　．
10．已知，关于x的方程x2+＝1，那么x++1的值为　 　．
11．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m＝　 　．
12．若a、b是方程x2+2x﹣2027＝0的两实数根，则a2+3a+b＝　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
14．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若8﹣3x1x2，求m的值．
17．某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售．
（1）若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为　 　元；
（2）水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
参考答案
一、选择题
1—8：CADCADCB
二、填空题
9.【解答】解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
故答案为：±2．
10．【解答】解：原方程可化为（x+）2﹣2+2（x+）＝1，即（x+）2+2（x+）﹣3＝0，
即（x++3）（x+﹣1）＝0，
∴x+＝﹣3，
∴x++1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．【解答】解：x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6＝（x+m）2+n，
则m＝3，
故答案为：3
12．【解答】解：由条件可知a2+2a﹣2027＝0，a+b＝﹣2，
∴a2+2a＝2027，
∴a2+3a+b＝a2+2a+（a+b）＝2027﹣2＝2025，
故答案为：2025．
三、解答题
13．【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x+2+2＝2，
x2﹣4x+4＝2，
（x﹣2）2＝2，
，
解得：，；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0，
x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
14．【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x1，x2（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商场获利4250元．
15．【解答】解：（1）∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°，
又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，
则90°+2∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝45°．
（2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根．
理由如下：
由勾股定理得：，
∴
解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，
（x+b）2＝a2+b2，
得，
∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根；
②∵D为AE的中点，
∴，
由勾股定理得：，
则b2﹣ab＝0，
故b﹣a＝0，
整理得：．
16．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，
解得：m．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1 x2＝m2，
∵8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为．
17．【解答】解：（1）∵售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，
∴每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤，
∴降价后的销售价格为：20﹣5＝15（元），降价后每公斤的利润为：15﹣8＝7（元），降价后的销售量为：60+50＝110（公斤），
∴每天的销售利润为：7×110＝770（元），
故答案为：770；
（2）水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能达到800元；理由如下，
设降价x元，则销售量为（60+10x）公斤，
∴（20﹣x﹣8）（60+10x）＝800，整理得，x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得，x1＝2，x2＝4，
当降价2元时，销售量为60+10x＝60+20＝80（公斤），当降价4元时，销售量为60+10x＝60+40＝100（公斤），
∵减少库存，80＜100，
∴降价4元，此时的销售单价为20﹣4＝16（元），
∴水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能达到800元；葡萄的销售单价为16元．
18．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
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