圆的有关概念与性质期末复习学案（1）
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圆的有关概念与性质期末复习学案（1）
【知识要点】
圆的确定：(1)圆心和半径；（2） 的三点确定一个圆。
2、 点与圆的三种位置关系：
若在平面内的一点P到半径为R的圆心O的距离为d,,
则点P 在圆外 ；则点P 在圆上 ；则点P 在圆内 。
3、圆是轴对称图形，它的对称轴是 ，有 条。
4、圆是中心对称图形，对称中心是 ，圆具有绕其圆心旋转的 性。
5、垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦， 弦所对的两条弧。
逆定理：平分弦（不是弦）的直径 ；平分弦所对的弧的直径 。
6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果 、
、 、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等。
7. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .
8. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .
9、三角形的外心：是三角形 的交点，它是三角形外接圆的圆心。
锐角三角形外心在三角形 ，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。
三角形外心到三角形 的距离相等。
10、知识网络：
【课前热身】
1.如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB是（ ）
A．正方形 B.长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
4.如图是⊙O的弦，于点，若，，则⊙O的半径为 cm．
5. 如图，半圆的直径AB＝___ ．
6、用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图1－3－54所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（）
7、如图1－3－14所示，直线AB交圆于点A，B，点 M的圆上，点 P在圆外，且点M，P在AB的同侧，∠AMB=50°．设∠APB=x°，当点P移动时，则x的变化范围是 。
8、P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 （ ）
A 4个 B 8个 C 12个 D 16个
【典例精析】
例1 如图：=，分别是半径和的中点，与 的大小有什么关系？为什么？
例2 已知：如图，，在射线AC上顺次截取AD =3cm，DB =10cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF 的长．
例3如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，BC=3．
（1）求sin∠BAC的值；
（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；
（3）求tan∠ADC的值．（结果保留根号）
【习题演练】
1.下列命题中，正确的是（ ）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③ 的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤ 同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
2.一蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图，已知AB＝16m，半径 OA＝10 m，高度CD为_____m．
3.如图，⊙O中，，则的度数为 ．
4、一个点到圆的最大距离为1l cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为______。
5、⊙O的半径为10 cm ，弦AB∥CD，AB=12cm ,CD =16cm,则AB和CD的距离为 。
6.如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且=．
（1）求证：AC = AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
7、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
8、如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E，F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以说明．
9、⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），M是圆上
一点，∠BMO=120°.
(1)求证:AB为⊙O的直径.
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.
班级 姓名
第3题
第2题
A
C
B
O
第4题
第1题
第5题
0
1
2
-1
-2
1
A
B
C
B
O
E
D
A
O
A
D
B
C
E
F
P
例4我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫
圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与
它所夹的两段弧BD弧AC的度数有什么关系
(1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号)
_______________________________________________________;
(2)证明你的结论.
第3题
B
A
O
C
D
第2题
A
B
C
D
E
M
N
10、 BC为⊙O的直径,AD⊥BC于点D,P是弧AC上的一动点,
连结PB分别交AD、AC于点E，F。
（1）当弧PA=弧AB时，求证：AE=BE；
（2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论。
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【知识要点】
圆的确定：(1)圆心和半径；（2） 的三点确定一个圆。
2、 点与圆的三种位置关系：
若在平面内的一点P到半径为R的圆心O的距离为d,,
则点P 在圆外 ；则点P 在圆上 ；则点P 在圆内 。
3、圆是轴对称图形，它的对称轴是 ，有 条。
4、圆是中心对称图形，对称中心是 ，圆具有绕其圆心旋转的 性。
5、垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦， 弦所对的两条弧。
逆定理：平分弦（不是弦）的直径 ；平分弦所对的弧的直径 。
6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果 、
、 、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等。
7. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .
8. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .
9、三角形的外心：是三角形 的交点，它是三角形外接圆的圆心。
锐角三角形外心在三角形 ，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。
三角形外心到三角形 的距离相等。
10、知识网络：
【课前热身】
1.如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB是（ ）
A．正方形 B.长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
4.如图是⊙O的弦，于点，若，，则⊙O的半径为 cm．
5. 如图，半圆的直径AB＝___ ．
6、用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图1－3－54所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（）
7、如图1－3－14所示，直线AB交圆于点A，B，点 M的圆上，点 P在圆外，且点M，P在AB的同侧，∠AMB=50°．设∠APB=x°，当点P移动时，则x的变化范围是 。
8、P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 （ ）
A 4个 B 8个 C 12个 D 16个
【典例精析】
例1 如图：=，分别是半径和的中点，与 的大小有什么关系？为什么？
例2 已知：如图，，在射线AC上顺次截取AD =3cm，DB =10cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF 的长．
例3如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，BC=3．
（1）求sin∠BAC的值；
（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；
（3）求tan∠ADC的值．（结果保留根号）
【习题演练】
1.下列命题中，正确的是（ ）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③ 的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤ 同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
2.一蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图，已知AB＝16m，半径 OA＝10 m，高度CD为_____m．
3.如图，⊙O中，，则的度数为 ．
4、一个点到圆的最大距离为1l cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为______。
5、⊙O的半径为10 cm ，弦AB∥CD，AB=12cm ,CD =16cm,则AB和CD的距离为 。
6.如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且=．
（1）求证：AC = AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
7、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
8、如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E，F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以说明．
9、⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），M是圆上
一点，∠BMO=120°.
(1)求证:AB为⊙O的直径.
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.
班级 姓名
第3题
第2题
A
C
B
O
第4题
第1题
第5题
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A
B
C
B
O
E
D
A
O
A
D
B
C
E
F
P
例4我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫
圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与
它所夹的两段弧BD弧AC的度数有什么关系
(1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号)
_______________________________________________________;
(2)证明你的结论.
第3题
B
A
O
C
D
第2题
A
B
C
D
E
M
N
10、 BC为⊙O的直径,AD⊥BC于点D,P是弧AC上的一动点,
连结PB分别交AD、AC于点E，F。
（1）当弧PA=弧AB时，求证：AE=BE；
（2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论。
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