2024-2025学年浙江八年级数学下学期第五章《特殊平行四边形》常考题
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对各小题分析判断后即可得解．
【详解】解：①平行四边形的对角线不一定相等，
②矩形的对角线一定相等，
③菱形的对角线不一定相等，
④正方形的对角线一定相等，
所以，对角线一定相等的是②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形，平行四边形，菱形，矩形的对角线的性质，熟记各性质是解题的关键．
2．（本题3分）（2023八年级下·浙江·专题练习）在下列条件中，能够判定为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判定平行四边形为菱形，只需满足一组邻边相等，或对角线相互垂直，据此分析选项．
【详解】能够判定为菱形的是，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴为菱形．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理是解题的关键．
3．（本题3分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，正方形的边长为8，为边上一点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正方形的边长为8，，得，，再求得，即可得．本题主要考查了正方形性质，解题关键是熟练运用勾股定理进行列式计算，即可作答．．
【详解】解：由正方形的边长为8，，
得，，
得，，
得．
故选：A．
4．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，，边上各有一点E，F，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识．首先根据勾股定理求出，，然后证明出四边形是菱形，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：C．
5．（本题3分）（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质和中点性质可得，所以，由勾股定理可求的长，由面积法可求，的长，进而根据勾股定理可求解．
【详解】解：如图，连接于交于点，
点是的中点，
，
将沿折叠，
，
，
，
是直角三角形，
，，，
，
将沿折叠，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，求的长是本题的关键．
6．（本题3分）（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使顶点A，C重合，折痕为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由和互余，可求出的度数，再利用折叠的性质及平角的定义，即可求出的度数，此题得解．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
，
由折叠的性质，可知：，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平角的定义以及角的计算，利用折叠的性质及平角等于，找出是解题的关键．
7．（本题3分）（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，点为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若分别为的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，连接，当点在线段上时，的值最小，则有最小值，根据矩形的性质，勾股定理的知识可求出的长，再根据题意可得是中位线，根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
在中，，
∴当点在线段上时，的值最小，则有最小值，
如图所示，点在线段上，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴在中，，
∵沿折叠，点落在处，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴在中，是中位线，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，三角形三边的数量关系，勾股定理求线段长度，三角形中位线的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键．
8．（本题3分）（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，在矩形中，对角线相关于点为边上的任意一点（不与点重合），过点作，垂足分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用，运用面积关系是本题的关键．连接．由勾股定理得出，可求得，由矩形的性质得出，，由，求得答案．
【详解】解：连接，如图：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，
∴；
故选：A．
9．（本题3分）（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为16，则的面积为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，连接和，可得，，即可得到，，然后利用解题即可．
【详解】连接和，
则，，
又∵点分别是边的中点，
∴，，
∴，
∵点分别是边的中点，
∴，
∴，
故选C．
10．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）如图正方形的边长为，是对角线上的点，连结，过点作交线段于点．当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作于，交于，根据正方形的性质得，，再判断为等腰直角三角形得到，接着利用等角的余角相等得到，于是可证明，所以，设，则，，在中用勾股定理即可算出．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作出辅助线构造是本题的关键．
【详解】解：过作于，交于，如图，
四边形为正方形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
而，
，
，
，
而，
，
在和中，
，
，
正方形的边长为，，
，
设，则，，
，
，
．
故选：C．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是 ．
【答案】有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一
【分析】根据菱形的判定即可求解．
【详解】解：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形，
故答案为：有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一．
【点睛】本题考查了正方形的判定,熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
12．（本题3分）（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，和为两条对角线，分别作和的角平分线交于点N和M，且，则 °．
【答案】60
【分析】本题考查菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
根据菱形的性质和角平分线的定义证明，进而可以解决问题．
【详解】解：，分别是和的角平分线，
，，，
∵四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：60．
13．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，点E在边上，若平分，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，由矩形的性质得，再由平行线的性质得，然后由角平分线的定义得，推出，则，最后由勾股定理即可得出答案．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得： ，
故答案为：．
14．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期中）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，此时，则点C的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键；由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
15．（本题3分）（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在菱形中，，是对角线，的交点，点在的延长线上，且．则 度．
【答案】52
【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质等知识点．根据菱形的性质易得，是的角平分线，且，所以由等腰三角形的判定与性质和三角形外角性质求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，是对角线，的交点，
，，是的角平分线．
．
又，
．
．
又，
，
．
．
故答案是：．
16．（本题3分）（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，由折叠的性质得到：，由勾股定理求出，由矩形的性质得到，求出，令，由勾股定理得到，求出，即可得到的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
∵垂直平分，
∴垂直平分，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
四边形是矩形，
，
，
令，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，图形折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键．
17．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，．
（1）比较，的大小： ；
（2）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质．
（1）证明即可；
（2）作交的延长线于点Q，设， ，则，，根据一线三垂直模型证明，可得， ，由可得，，即，再代入计算即可．
【详解】解：（1）∵为正方形，
∴，，
∵为正方形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）作交的延长线于点Q，则，
设， ，则，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，．
(1)请分别写出点A，点B的坐标；
(2)求出该菱形的周长．
【答案】(1)，
(2)20
【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，
（1）首先根据菱形的性质得到，，，然后根据对称的性质求解即可；
（2）首先求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据菱形的性质求解即可．
【详解】（1）∵四边形是菱形，
∴，，，
∴点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称，
∵点C、点D的坐标分别是，，
∴点，点；
（2）∵点C、点D的坐标分别是，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长．
19．（本题8分）（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，已知，，与交于点，且．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，且，，求的长．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2)
【分析】（1）四边形是菱形，由，，，得出，加上，得出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形；
（2）由四边形是菱形，得出，，利用勾股定理得出，由得出，加上得出平行四边形，即可求出．
【详解】（1）解：四边形是菱形；
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解：菱形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
菱形，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质与判定，菱形的判定和性质是解题关键．
20．（本题8分）（22-23八年级下·浙江·期末）图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按条件画图，要求所画图形的顶点均在格点上，不写画法．
(1)在图1中以线段为边画一个面积为12的平行四边形．
(2)在图2中以线段为边画一个面积为10的矩形．
(3)在图3中画一个面积最大且小于25的菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质进行解答即可；
（2）根据网格特点，结合矩形的性质，进行解答即可；
（3）根据菱形的性质进行作图即可．
【详解】（1）解：如图，四边形为所求作的平行四边形；
；
（2）解：如图，四边形为所求作的矩形；
，
，
．
（3）解：如图，四边形为所求作的菱形．
∵，
∴四边形为菱形，
．
【点睛】本题主要考查平行四边形、矩形、菱形的性质，网格作图，解题的关键是熟练掌握网格特点，进行作图．
21．（本题8分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，点E为边上的一点，连接并延长与的延长线交于F，若点 C是边的中点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先由的性质结合C是边的中点证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一得到，即可证明为矩形；
（2）由矩形的性质得到，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，
又∵C是中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：在矩形中，，
∴，
．
22．（本题9分）（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）在正方形中，E为对角线上的一点．
(1)如图1，过点E作，，连接，请猜想与的数量关系，并证明．
(2)如图2，连结，过点E作的垂线交于点P，在上找到一点Q，使得；
①求证：为等腰三角形；
②连结，若，且，求的长（用k表示）．
【答案】(1)．理由见解析
(2)①见解析②
【分析】（1）结论：．连接，延长交与点J，交于点K．分别证明，可得结论；
（2）①过点E作于点M，于点N，分别证明，可得结论；
②延长交与点K．则四边形是矩形，证明利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：结论：．
理由：连接，延长交与点J，交于点K．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①证明：过点E作于点M，于点N，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②延长交与点K．则四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23．（本题10分）（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点
(1)求证：是等腰直角三角形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，进而可得，再证明，即可证明结论；
（2）过点C作于点，于点H，证明四边形是正方形，结合角平分的性质定理可得，设，证明，易得，进而可得；由（1）可知，是直角三角形，由勾股定理解得；在中，由勾股定理得，易知；证明，易得，故，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案．
【详解】（1）证明：在中，，
，
和的角平分线相交于点C，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
是直角三角形，
又，
∴，
∴，
是等腰直角三角形；
（2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示，
，
四边形是矩形，
平分，，，，
，
矩形是正方形，且，
设，
在和中，
，
，
，
，
由（1）可知，是直角三角形，且，
∵，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质定理并正确作出辅助线是解题关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2024-2025学年浙江八年级数学下学期第五章《特殊平行四边形》常考题
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④
2．（本题3分）（2023八年级下·浙江·专题练习）在下列条件中，能够判定为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，正方形的边长为8，为边上一点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，，边上各有一点E，F，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．3
5．（本题3分）（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使顶点A，C重合，折痕为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，点为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若分别为的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，在矩形中，对角线相关于点为边上的任意一点（不与点重合），过点作，垂足分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
9．（本题3分）（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为16，则的面积为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
10．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）如图正方形的边长为，是对角线上的点，连结，过点作交线段于点．当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是 ．
12．（本题3分）（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，和为两条对角线，分别作和的角平分线交于点N和M，且，则 °．
13．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，点E在边上，若平分，则的长是 ．
14．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期中）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，此时，则点C的对应点的坐标为 ．
15．（本题3分）（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在菱形中，，是对角线，的交点，点在的延长线上，且．则 度．
16．（本题3分）（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为 ．
17．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，．
（1）比较，的大小： ；
（2）若，则的值为 ．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，．
(1)请分别写出点A，点B的坐标；
(2)求出该菱形的周长．
19．（本题8分）（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，已知，，与交于点，且．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，且，，求的长．
20．（本题8分）（22-23八年级下·浙江·期末）图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按条件画图，要求所画图形的顶点均在格点上，不写画法．
(1)在图1中以线段为边画一个面积为12的平行四边形．
(2)在图2中以线段为边画一个面积为10的矩形．
(3)在图3中画一个面积最大且小于25的菱形．
21．（本题8分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，点E为边上的一点，连接并延长与的延长线交于F，若点 C是边的中点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
22．（本题9分）（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）在正方形中，E为对角线上的一点．
(1)如图1，过点E作，，连接，请猜想与的数量关系，并证明．
(2)如图2，连结，过点E作的垂线交于点P，在上找到一点Q，使得；
①求证：为等腰三角形；
②连结，若，且，求的长（用k表示）．
23．（本题10分）（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点
(1)求证：是等腰直角三角形．
(2)若，，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2024-2025学年浙江八年级数学下学期第五章《特殊平行四边形》易错题
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（ ）
A．一定是矩形，但不一定是正方形 B．一定是菱形
C．一定是平行四边形，但不可能是矩形 D．一定是正方形
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟知矩形的判定定理和正方形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形的对角线与相等且互相平分，
∴该四边形一定是矩形，但不一定是正方形，
故选：A．
2．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握：菱形的面积公式是两条对角线的长度乘积的一半．据此列式解答即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积为：．
故选：B．
3．（本题3分）（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在菱形中，，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，连接，．则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→矩形→正方形→菱形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
【答案】B
【分析】根据对称中心的定义，菱形的性质，可得四边形形状的变化情况．
【详解】∵四边形的菱形，点为对称中心，
∴，
∵点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，如图，
当时，平行四边形是矩形，如图，
∵点继续向点运动（没有与点重合），
∴，，
∴四边形是平行四边形，如图，
当点与点重合时，四边形是菱形，
∴四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点与点重合时是菱形，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称、平行四边形、菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质．
4．（本题3分）（2025九年级下·浙江·学业考试）将两张矩形纸条按如图方式叠放．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．先根据矩形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进而可求解．
【详解】解：如图，
由矩形性质，得，，
∴，，
∴，
故选：B．
5．（本题3分）（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，先求得，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
是四个全等的直角三角形，，
，，
四边形为正方形，
，
，
故选：C．
6．（本题3分）（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，点E为边上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】根据四边形为矩形，，，推出，又因为点在线段的垂直平分线上，则，由折叠性质得：，，利用勾股定理求出，则可求，设，则，列出方程即，求解即可．本题考查翻折变换，勾股定理，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【详解】解：如图，
四边形为矩形，，，
，
又点在线段的垂直平分线上，
∴
∵
∴四边形是矩形
，
由折叠性质得：，，
在中，
，
，
设，则，
在中，，
即，
，
即的长为．
故选：C．
7．（本题3分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查中位线的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用中位线求出，利用矩形性质求出，，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】解：∵点是的中点，是的中点，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
8．（本题3分）（24-25八年级上·浙江金华·期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键．
分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
，是等腰直角三角形，
同理可得：，，都是等腰直角三角形，
于是：，，，，
，
．
故选：．
9．（本题3分）（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．15
【答案】D
【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据矩形到现在得到，，，由折叠的性质可得出，，，由，得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质可得出，，，
，
，，
，
，
，
，
，
点D的纵坐标为15．
故选：D．
10．（本题3分）（24-25八年级上·浙江金华·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理，如图，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而证明，设，则，，分别表示出，，然后作比值求解即可．
【详解】解：过点作于点，
，四边形是正方形，
，四边形是矩形，
，
四边形，四边形，四边形都是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
设，
则，，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
四边形的面积，
正方形的面积为：，
，
故选：D．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可)
【答案】（或或等）
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
添加，
为矩形；
添加，
，
为矩形；
添加，
，
为矩形．
故答案为：（或或）
12．（本题3分）（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在菱形中，，连接，则 度．
【答案】
【分析】此题考查了菱形的性质、等边对等角，解题的关键是熟练掌握菱形的四条边都相等，对角相等．
【详解】解：∵是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（本题3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点．根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答．
【详解】解：连接，
∵点B的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
故答案为：．
14．（本题3分）（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在矩形中，，过点作垂直交于点，连接，若直线恰好经过的中点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，延长交的延长线于点，交于点，证明，得出，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交的延长线于点，交于点，
依题意，是的中点，则，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
又∵，
∴，
故答案为：．
15．（本题3分）（23-24八年级下·浙江·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角与内角关系，解题关键是添加辅助线构造等腰三角形，掌握矩形对角线互相平分且相等，对边平行等性质．如图，连接，根据矩形对角线互相平分且相等，对边分别平行，得，，，根据“等边对等角”及平行线的性质得，已知，根据等量代换得，然后根据“等边对等角”，即可得，再根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”，得，求解即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于点，
四边形是矩形，
，，，
，则，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（本题3分）（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则 ．
【答案】
【分析】过点A作，交延长线于点F，连接，说明四边形是矩形，可得，再根据勾股定理求出，然后证明，可得，进而说明，接下来可知是的中位线，最后根据三角形中位线的性质得出答案．
【详解】解：过点A作，交延长线于点F，连接，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
∵
∴，
∴
∵点G是的中点，
∴，
∴，
即．
∵点H是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的定义和性质，作出辅助线构造三角中位线是解题的关键．
17．（本题3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）．记①，②，③，④的面积分别为，，，，已知．
（1） ；
（2）若的周长比图2正方形的周长大18，则图2正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查图形的拼剪，平行四边形的性质，矩形，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
（1）由题意设，则，，，分别求出和，即可得到答案；
（2）根据的周长比图2正方形的周长大18，构建方程求出即可．
【详解】（1）如图，
由题意设，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，由勾股定理可得，，
，，
又平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．先利用三线合一得出，，利用四边形是平行四边形结合，推出四边形是平行四边形，再结合，即可证明．
【详解】证明：∵，是的角平分线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
19．（本题8分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在方格纸中按要求画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形．（图中每个小方格的边长为1，点A，B，C，D都必须在格点上）
(1)在图1中画一个，使．
(2)在图2中画一个，使其中一条对角线长度为5．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了网格作图，正方形的性质，平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即，证明四边形是平行四边形，结合小正方形网格的对角线平分对角，即可作答．
（2）结合平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即，证明四边形是平行四边形，以及对角线，即可作答．
【详解】（1）解：的，如图所示：
（2）解：一条对角线长度为5的，如图所示：
20．（本题8分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，菱形中，，，，垂足分别为点E，点F．
(1)求证：是等边三角形．
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、中位线定理以及含度角的直角三角形的性质，熟记相关几何结论即可．
（1）证得，再证即可；
（2）作，可推出是的中位线得，求出即可求解；
【详解】（1）证明：由题意得：
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴是等边三角形
（2）解：作，如图所示：
由（1）可得：
∴是的中位线
∴
∵，
∴
∴
∴
21．（本题8分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）在平行四边形中，E，F分别在，上，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接，，当，满足________时，四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)时, 四边形是矩形
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键.
（1）首先根据平行四边形的性质可得,再证明，可证明四边形是平行四边形；
（2）由矩形的性质得出．
【详解】（1）证明: ∵四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴,
∴四边形是平行四边形；
（2）当时, 四边形是矩形，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
22．（本题9分）（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，．
(1)求的长；
(2)若．
①证明四边形是菱形；
②若，求四边形的周长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②10
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明得到即可求解；
（2）①先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定可证的结论；
②根据平行四边形的性质和菱形的性质证明是等边三角形，进而得到可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，即，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是平行四边形，,
∴,，，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．
23．（本题10分）（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若．
①若，，求的面积；
②连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，据此可证得结论；
（2）①由已知条件，得到，结合勾股定理，求得的长，从而得到平行四边形的面积；②由条件，得到四边形是矩形，在中，，结合图形，得到，，且，从而证得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：①，，
，
在中，，，
，
的面积为；
②证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，
，
，即，
，
，
在中，由勾股定理，且，
，
．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2024-2025学年浙江八年级数学下学期第五章《特殊平行四边形》易错题
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（ ）
A．一定是矩形，但不一定是正方形 B．一定是菱形
C．一定是平行四边形，但不可能是矩形 D．一定是正方形
2．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在菱形中，，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，连接，．则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→矩形→正方形→菱形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
4．（本题3分）（2025九年级下·浙江·学业考试）将两张矩形纸条按如图方式叠放．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（ ）
A．5 B． C． D．4
6．（本题3分）（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，点E为边上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．（本题3分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（本题3分）（24-25八年级上·浙江金华·期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．15
10．（本题3分）（24-25八年级上·浙江金华·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理，如图，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可)
12．（本题3分）（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在菱形中，，连接，则 度．
13．（本题3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长度是 ．
14．（本题3分）（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在矩形中，，过点作垂直交于点，连接，若直线恰好经过的中点，则 ．
15．（本题3分）（23-24八年级下·浙江·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则 ．
16．（本题3分）（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则 ．
17．（本题3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）．记①，②，③，④的面积分别为，，，，已知．
（1） ；
（2）若的周长比图2正方形的周长大18，则图2正方形的边长为 ．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形．
19．（本题8分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在方格纸中按要求画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形．（图中每个小方格的边长为1，点A，B，C，D都必须在格点上）
(1)在图1中画一个，使．
(2)在图2中画一个，使其中一条对角线长度为5．
20．（本题8分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，菱形中，，，，垂足分别为点E，点F．
(1)求证：是等边三角形．
(2)若，求的面积．
21．（本题8分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）在平行四边形中，E，F分别在，上，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接，，当，满足________时，四边形是矩形．
22．（本题9分）（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，．
(1)求的长；
(2)若．
①证明四边形是菱形；
②若，求四边形的周长．
23．（本题10分）（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若．
①若，，求的面积；
②连接，求证：．
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