浙教版八下数学期末总复习学案--平行四边形
一．多边形概念：
任意多边形的内角和为：；任意多边形的外角和为：
例题1.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）A．27 B．35 C．44 D．5421·cn·jy·com
巩固练习：
1.已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6www.21-cn-jy.com
2.若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，
∠EAB=120°，则∠DCB=（ ）
A．150° B．160° C．130° D．60°
二．中心对称图形的概念：
中心对称的概念：一个图形绕着某个点旋转与另一个图形完
全重合，则这两个图形成中心对称，这个点叫对称中心。
中心对称图形的性质：中心对称图形为全等图形，每一对对应点的连线必经过对称中心，且到对称中心的距离相等。2·1·c·n·j·y
例题2．下面图形中是一个中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正五边形
巩固练习：
4.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A.直角三角形 B. 正三角形 C. 平行四边形 D. 正六边形
三．反证法：
反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
例题3.求证：若实数，则。用反证法证明则应假设（ ）
A. B. C. D.
巩固练习：
6.用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（ ）
A．三角形三内角中至多有一个角不大于60°
B．三角形三内角中至少有一个角不小于60°
C．三角形三内角中至少有一个角大于60°
D.三角形三内角中没有一个角不大于60°（即假设三角形三内角都大于60°）
平行四边形的性质与判断：
<一>平行四边形的性质：
1.平行四边形的对边平行且相等；2.平行四边形的对角相等，
邻角互补；3.平行四边形的对角线互相平分；
<二>平行四边形的判断：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
例题4.如图，□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添
加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( )
A. BE=DF B. BF=DE C. AE=CF D. ∠1=∠2
巩固练习：
7.如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8.如图，?ABCD中，下列说法一定正确的是（ ）
A． AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC
9．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是（ ）
A． 若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形
B． 若BO=2AO，则平行四边形ABCD是菱形
C． 若AB=AD，则平行四边形ABCD是菱形
D． 若∠ABD=∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形
例题5.如图，在?ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点．21教育网
巩固练习：
10.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．
11．已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交CD、AB于E、F，求证：AE=CF．
例题6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
巩固练习：
12.如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．
13.如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD上的三等分点．21cnjy.com
（1）求证：△AGD≌△CHB；（2）求证：四边形GEHF是平行四边形．
14.如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、C两点，过点B（6，0），E（0，﹣6）的直线上有一点P，满足∠PCA=135°21世纪教育网版权所有
（1）求证：四边形ACPB是平行四边形；（2）求点P的坐标及线段PB的长度．
浙教版八下数学期末总复习学案--平行四边形答案
一．多边形概念：
例题1.解析：设这个内角度数为x，边数为n，∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，180n=1870+x，∵n为正整数，∴n=11，∴，故选C．21世纪教育网版权所有
巩固练习：
1.答案：B
解析：设多边形的边数为，根据题意得：
故选择B
2.答案：C
解析：设这个多边形的边数为，由题意可得：，
故选择C
答案：A
解析：因为，所以，因为，所以，
设，，，，
，因为五边形ABCDE，
所以内角和为：，所以，
所以，所以，故选择A
二．中心对称图形的概念：
例题2．解析：因为三角形不是中心对称图形，故A选项错误；
因为等边三角形不是中心对称图形，故B选项错误；
因为平行四边形对角线互相平分，故平行四边形是中心对称图形，故C选项正确；
因为正五边形不是中心对称图形，故D选项错误。故选择C
巩固练习：
4.答案：B
解析：在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，这样的图形叫做中心对称图形.根据定义可以判定B既是轴对称图形，也是中心对称图形. 故选择B www.21-cn-jy.com
5.答案：B
解析：中心对称图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合；轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；据此判断出是轴对称图形，但不是中心对称图形的是哪个即可．2·1·c·n·j·y
【解答】：解：∵选项A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴此图形不是中心对称图形，它也不是轴对称图形，
∴选项A不正确；
∵选项B中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵选项C中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴此图形是中心对称图形，但它不是轴对称图形，
∴选项C不正确；
∵选项D中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴此图形是中心对称图形，它也是轴对称图形，
∴选项D不正确．
故选：B．
【分析】：（1）此题主要考查了中心对称图形问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．21·世纪*教育网
（2）此题还考查了轴对称图形，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
三．反证法：
例题3.解析：用反证法证明问题时，首先是假设，一般假设时应分析清楚结论可能产生的所有情况，然后一一排除，从而得证。本题结论有三种情况，即，，
要证明，只要假设即可，故选择C
巩固练习：
6.答案：D
解析：不大于的反面是大于，
则第一步应是假设三角形三内角都大于60°．
故选D．
例题4.答案：C
解析：根据平行四边形的性质和全等三角形的判定对各选项进行分析，作出判断：
∵四边形是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.
若添加BE=DF，则根据SAS可判定△ABE≌△CDF；
若添加BF=DE，由等量减等量差相等得BE=DF，则根据SAS可判定△ABE≌△CDF；
若添加AE=CF，是AAS不可判定△ABE≌△CDF；
若添加∠1=∠2，则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.
故选C.
巩固练习：
7.答案：C
解析：本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图. 设AE与BF交于点O，∵AF=AB，∠BAE= ∠FAE ，∴AE⊥BF，OB=BF=3在Rt△AOB中，AO=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠FAE= ∠BEA， 21教育网
∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE，∴AE=2AO=8. 故选择C
8.答案：C
解析： 根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．
【解答】：解：A、AC≠BD，故此选项错误；
B、AC不垂直BD，故此选项错误；
C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确；
D、AB≠BC，故此选项错误；
故选：C．
【分析】：此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．
9.答案：B
解析：由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出A正确；
由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得出C正确；
由平行四边形的性质得出∠ADB=∠CBD，证出∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出D正确；
B不正确．
【解答】：解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴A正确；
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴C正确；
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴D正确；
B不正确；
故选：B．
【分析】：本题考查了菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定方法是解决问题的关键．
例题5.解析：由在?ABCD中，点E为CD的中点，易证得△BCE≌△FDE（AAS），然后由全等三角形的对应边相等，证得结论．www-2-1-cnjy-com
【解答】：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠CBE=∠F，
∵点E为CD的中点，
∴CE=DE，
在△BCE和△FDE中，
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴BE=FE，BC=DF，
∴AD=DF，
即点E是BF的中点，点D是AF的中点．
【分析】：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2-1-c-n-j-y
巩固练习：
10.解析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB． 21*cnjy*com
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】：证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【分析】：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【出处：21教育名师】
11解析：利用平行四边形的性质得出∠DAE=∠BCF，AD=BC，∠D=∠B，进而结合平行线的性质和全等三角形的判定方法得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】：证明：∵?ABCD，∴AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，
又 AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE=CF．
【分析】：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，得出∠DAE=∠BCF是解题关键．21教育名师原创作品
例题6.解析：①若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ，进而求出t的值；②若四边形PQCD是平行四边形，则PD=CQ，进而求出t的值．21*cnjy*com
【解答】：解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：
AP=tcm，PD=（24﹣t）cm，CQ=2tcm，BQ=（30﹣2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形，
则AP=BQ，
∴t=30﹣2t，
解得：t=10，
∴10s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
则PD=CQ，
∴24﹣t=2t，
解得：t=8，
∴8s后四边形PQCD是平行四边形；
综上所述：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
【分析】：此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．
巩固练习：
12.解析：（1）利用“平行四边形ADCN的对边相等”的性质可以证得CD=AN；
（2）根据“直角△AMN中的30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM=，则S四边形ADCN=4=2．21·cn·jy·com
【解答】：（1）证明：∵CN∥AB，∴∠1=∠2．
在△AMD和△CMN中，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN．
又AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD=AN；
（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，
∴AN=2MN=2，
∴AM=，
∴=AM?MN=××1=．
∵四边形ADCN是平行四边形，
【分析】：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题时，还利用了直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
13.解析：（1）根据平行四边形的性质得到AD=CB，AD∥BC，∠ADB=∠CBD，由于G、H分别是对角线BD上的三等分点，于是得到BH=DG，结论即可得出；
（2）通过△DEH≌△BFG，即可得到EH=FG，∠DHE=∠BGF，EH∥FG，根据平行四边形的判定定理即可得到结论四边形GEHF是平行四边形．【版权所有：21教育】
【解答】：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵G、H分别是对角线BD上的三等分点，
∴BH=DG，
在△ADG与△CBH中，
∴△ADG≌△CBH；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=BF，
∵G、H分别是对角线BD上的三等分点．
∴DH=BG，
在△DEH与△BFG中，，
∴△DEH≌△BFG，
∴EH=FG，∠DHE=∠BGF，
∴∠EHG=∠FGH，
∴EH∥FG，
∴四边形GEHF是平行四边形．
【分析】：本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记这些定理是解题的关键．
14.解析：（1）根据题意确定出A与C的坐标，得到OA=OC，进而确定出三角形AOC为等腰直角三角形，得到∠CAO=45°，由已知角度数，得到一对同旁内角互补，得到AB与CP平行，同理得到AC与BP平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可得证；
（2）由平行四边形的对边相等得到AB=PC，PB=AC，根据OA+OB求出AB的长，确定出PC的长，确定出P的坐标；在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，即为PB的长．21cnjy.com
【解答】： 解：（1）∵直线y=x+3与x轴的交点为A（﹣3，0），与y轴交点为C（0，3），
∴OA=OC，
∵∠AOC=90°，
∴∠CAO=45°，
∵∠PCA=135°，
∴∠CAO+∠PCA=180°，
∴AB∥CP，
同理由E（0，﹣6），B（6，0）得到∠CAO=∠ABE=45°，
∴AC∥BP，
则四边形ACPB为平行四边形；
（2）∵OC=3，OA=3，OB=6，四边形ACPB为平行四边形，
∴PC=AB=9，PB=AC，
∴P（9，3），
根据勾股定理得：AC=，
则BP=AC=3．
