第一章 解直角三角形 训练试题（含解析）浙教版九年级数学下册

第一章 解直角三角形
一、单选题
1．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使．利用工具测得米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则 cos A的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（　　）
A．右转80° B．左转80° C．右转100° D．左转100°
4．如图，在 中， ，按以下步骤作图：①分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；②作直线 交边 于点D，连接 ，若 ，则 的长为（　　）
A． B．6 C．4 D．
5．一船向东航行，上午8时到达 处，观测到有一灯塔在它的南偏东60°且距离为72海里的 处，上午10时到达 处，此时观测到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（　　）
A．18海里/小时 B． 海里/小时
C．36海里/小时 D． 海里/小时
6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （ ， ）的图象经过矩形 的顶点 、 ， ，且 ， 点横坐标为 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的东北方向有一灯塔B，船继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，则此时船与灯塔的距离为（　　）
A．24 B． C． D．
8．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN,且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE.则下列说法错误的是（　　）
A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝ D．sin∠CBE＝
9．如图，在一笔直的沿湖道路l上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，.游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则（　　）
A． B． C．4 D．6
10．如图是墙壁上在l1，l2两条平行线间的边长为a的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为α，则两条平行线间的距离为(　　)
A．2asinα B．asinα+acosα C．2acosα D．asinα-acosα
二、填空题
11．如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为　 　（用含的式子表示）
12．如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度，那么路基的下底宽BC是　 　米．
13．计算：（﹣ ）﹣2﹣|1﹣ |+4cos45°=　 　．
14．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF= ，则CF=　 　．
15．计算sin60°cos60°的值为　 　．
三、解答题
16．如图， 内接于⊙ .若⊙ 的半径为6， ，求 的长．
17．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算 时，如图，在 中， ，延长 使 ，连接 ，得 ，所以 ，类比这种方法，计算 （画图并写出过程）
18．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连结OB，D为OB的中点。点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF。已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。
（1）如图1，当t=3时，求DF的长；
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1:2时，求相应t的值。
19．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
20．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
四、综合题
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是的中点，连接OD，交AC于点E，作BFCD，交DO的延长线于点F.
（1）求证：四边形BCDF是平行四边形.
（2）若AC=8，连接BD，tan∠DBF= ，求直径AB的长及四边形ABCD的周长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法可得。
2．【答案】C
【解析】【解答】因为在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，根据勾股定理可得： ，根据余弦三角函数的定义可得： ，故答案为：C.
【分析】根据勾股定理算出AB的长，根据余弦三角函数的定义可得：cosA的值。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：60°+20°＝80°．
由北偏西20°转向北偏东60°，需要向右转．
故答案为：A．
【分析】将射线BC绕点B顺时针旋转80°可使A、B、C三点共线，据此解答即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由作图知PQ为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD,
∵ ,
∴CD=2,AD=6,
∴AC= = = .
故答案为：A
【分析】由 , ，求出CD=2,AD=6,再根据勾股定理即可得出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】∵此船从上午8时的B处向东航行2小时后到C处，
且从C观测处到灯塔A在它的正南方向，
∴∠BCA＝90°，
∵ 处在 处的南偏东60°且距离为72海里
∴∠ABC＝30°，AB=72海里，
∴在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，
∴ =sin60°，
∴ 海里，
速度为 海里/小时，
故答案为：B．
【分析】先画图，在构造直角三角形，利用勾股定理求出8时到10时航行的距离，在求速度即可解答。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥x轴于F，过点D作DE⊥x轴于E
∵ ， 点横坐标为
∴AF=1－（-1）=2
∵
∴BF=AF·tan∠BAO=
∴点B的坐标为（-1， ）
∵四边形ABCD为矩形
∴∠BAD=90°
∴∠DAE=180°－∠BAO－∠BAD=30°
∴sin∠DAE=
设DE= ，则AE=3a
∴OE=AO－AE=3a＋1
∴点D的坐标为（3a＋1， ）
∵四边形ABCD为矩形
∴BC可看作由AD平移得到
∵点A到点B的平移方式为：先向左平移2个单位，再向上平移 个单位
∴AD到BC的平移方式为：先向左平移2个单位，再向上平移 个单位
∴点C的坐标为（3a－1， ＋ ）
将C、D的坐标代入反比例函数解析式中，得
①－②并整理，得
4a=2
解得：a=
将a= 代入②，解得：k=
故答案为：B.
【分析】过点B作BF⊥x轴于F，过点D作DE⊥x轴于E，由 且 ， 点横坐标为 ， 可得AF=2，根据锐角三角函数可得BF=AF·tan∠BAO，设DE=m，则AE=，故可得点D（，m）由AD∥BC且AD=BC可得点C坐标（-1+，）由点C、D在反比例函数图象上，可得k=点C横纵坐标的乘积=点D横纵坐标的乘积，即可得m的值，即可得k的值.
7．【答案】D
【解析】【解答】解： 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
船以每小时36海里的速度向正北行驶了40分钟，所以AC=36×=24(海里).
在Rt△ACD中，AC=24海里，∠A=45°，
所以CD=AC×sin45°=24×=(海里).
因为∠ACB=180°-75°=105°，∠A=45°，
所以∠DCB=60°.
在Rt△BCD中，CD=海里，∠BCD=60°，
∴(海里).
故答案为：D.
【分析】 要求BC的长，构造直角三角形，并且含有特殊角，为此过C作AB的垂线CD. 在Rt△ACD中求CD，在Rt△BCD中再求BC，即可解答.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；
∵AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；
作EH⊥BC于H，如图，
若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，∴CH=CE=1,EH=,
在Rt△BEH中，利用勾股定理得：BE=，所以C选项的说法错误；
sin∠CBE=,所以D选项的说法正确.
故答案为:C.
【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系的逆用得出∠DAE=30°，进而根据三角形的内角和得出∠D=60°，根据菱形的对角相等得出∠ABC=60°；利用平行线间的距离相等，由同高三角形的面积之间的关系等于两底之间的关系，由AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，根据含30°直角三角形的边之间的关系计算出CH，EH，进而根据勾股定理算出BE的长，最后根据锐角三角函数的定义，由sin∠CBE=即可算出答案 sin∠CBE 的值，从而一一判断得出答案。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵设开往码头、的游船速度分别为、，回到、所用时间相等，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=AC=2，由勾股定理可得BC的值，由题意可得v1：v2=AC：CB，据此求解.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点A作HQ⊥l1于点H，交l2于点Q，
∴∠BHA=∠AQD=90°
∵正方形ABCD，
∴AB=AD=a，∠BAD=90°
∴∠2+∠DAQ=90°，∠ADQ+∠DAQ=90°，
∴∠2=∠ADQ=α
在Rt△ADQ中，
AQ=ADsin∠ADQ=asinα；
在Rt△ABH中，
AH=ABcos∠ADQ=acosα；
∴两条平行线间的距离为AH+AQ=asinα+acosα.
故答案为：B.
【分析】过点A作HQ⊥l1于点H，交l2于点Q，利用垂直的定义可得到∠BHA=∠AQD=90°；再利用正方形的性质可以推出AB=AD=a，∠BAD=90°，同时可证得∠2=∠ADQ=α；然后利用解直角三角形分别表示出AQ，AH，从而可求出两条平行线之间的距离。
11．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：在A点处观察B点的仰角为，即，
∵，
∴，
∴在B点处观察A点的俯角为，
故答案为：．
【分析】顶点在x轴上，根据平行线的性质得出，即可得出答案。
12．【答案】6
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，
AE=DF=1米，AD=EF=3米，
∵坡度===，
∴BE=CF=1.5米，
∴BC=BE+EF+CF=1.5+3+1.5=6米．
故答案为6．
【分析】过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，先根据坡度可求出BE=CF=1.5米，再利用BC=BE+EF+CF计算即可。
13．【答案】10
【解析】【解答】解：原式=9﹣2 +1+2 =10，
故答案为：10
【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
14．【答案】
【解析】【解答】∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴
又∵AB∥DC，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 .
又∵ ∠ B=∠D，所以 ， .
由题，AF=4，AE=6，
则根据勾股定理，易得 ， ，
∴ .
所以本题的正确答案为 .
【分析】可作辅助线EG⊥AF交AF于点G，可发现∠EAF=∠B，由此可根据余弦值于AE长度得到AB与BE的长度；再根据∠D=∠B可得△ADF与△ABE相似，那么根据相似比可得到AD，DF的长度，平行四边形对边相等，从而得到CF的长度。
15．【答案】
【解析】【解答】解：原式＝ × ．
故答案为： ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
16．【答案】解：过点A作射线AO交☉O于点D，连接CD．∵AD为直径，∴AD=12，∠ACD=90°．∵∠B=60°，∴∠D=60°．在Rt△ADC中，∵sin∠D= ，∴AC=AD·sin60°=12× = ．
【解析】【分析】抓住已知条件∠B=60°，添加辅助线，作直径AD，连接CD，利用同弧所对的圆周角相等得出∠B=∠D=60°，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长即可。
17．【答案】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= ，
∴tan22.5°= = ．
【解析】【分析】在等腰直角△ABC中，延长CB至点D，使得AB= BD，则∠BAD=∠D.设AC= 1，求出CD，即可求解.
18．【答案】（1）解：当t=3时，如图1，点E为AB中点.
∵点D为OB中点，
∴DE//OA，DE=OA=4，
∵OA⊥AB,
∴DE⊥AB,
∴∠OAB=∠DEA=90°,
又∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3.
（2）解： ∵∠DEF大小不变，如图2，
过D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分别是M、N,
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB,
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM//AB,DN//OA,
∴,,
∵点D为OB中点，
∴M、N分别是OA、AB中点，
∴DM=AB=3,DN=OA=4,
∵∠EDF=90°,
∴∠FDM=∠EDN.
又∵∠DMF=∠DNE=90°,
∴△DMF∽△DNE
∴,
∵∠EDF=90°,
∴tan∠DEF=
（3）解：过D作DM⊥OA，DN⊥AB。垂足分别是M,N.
若AD将△DEF的面积分成1：2的两个部分，设AD交EF于点G，则易得点G为EF的三等分点.
①当点E到达中点之前时.
NE=3-t，由△DMF∽△DNE得
MF=（3-t）.
∴AF=4+MF=-t+.
∵点为EF的三等分点。
∴（.t）.
由点A（8，0），D（4，3）得直线AD解析式为y=-χ+6.
(.t)代入，得t=.
②当点E越过中点之后.
NE=t-3,由△DMF～△DNE得MF=（t-3）.
∴AF=4-MF=-+.
∵点为EF的三等分点.
∴(.).
代入直线AD解析式y=-χ+6.
得t=.
【解析】【分析】（1）当t=3时，如图1，点E、D分别为AB、OB中点，得出DE//OA，DE=OA=4，根据OA⊥AB得出DE⊥AB，从而得出四边形DFAE是矩形，根据矩形性质求出DF=AE=3.
（2）如图2，过D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分别是M、N,四边形OABC、DMAN都是矩形，由平行得出,,由D、M、N是中点又可以得出条件判断△DMF∽△DNE，从而得出tan∠DEF=。
（3）过D作DM⊥OA，DN⊥AB。垂足分别是M,N；若AD将△DEF的面积分成1：2的两个部分，设AD交EF于点G，则易得点G为EF的三等分点.
分点E到达中点之前或越过中点之后来讨论，得出 NE，由△DMF∽△DNE得 MF和AF的长度， 再算出直线AD的解析式，由点G为EF的三等分点得出G点坐标将其代入AD直线方程求出t值。
19．【答案】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD=12米，∠DCE=60°，
∴DE=CD sin60°=12× =6 米，CE=CD cos60°=12× =6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴DE=D′E′=6 米．
∵∠D′CE′=39°，
∴CE′= ≈ ≈12.8，
∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
【解析】【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．
20．【答案】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH= ，
∴CH=AH tan∠CAH，
∴CH=AH tan∠CAH=6tan30°=6× =2 ，
∵DH=1.5，
∴CD=2 +1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED= ，
∴CE= =4+ ≈5.7（米），
答：拉线CE的长约为5.7米
【解析】【分析】过点A作AH⊥CD，垂足为H，在Rt△ACH中求出CH，在Rt△ECD中，再求出EC即可．
21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵点D是的中点，
∴DO垂直平分AC，且AD=DC，
∴CA⊥DF，AE=EC，
∴∠AEO=90°，
∴，
∵，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（2）∵，
∴∠DBF=∠CDB，
又∵根据圆周角定理有∠CDB=∠BAC，
∴∠DBF=∠BAC，
即tan∠BAC=，
∵AC=8，
∴CB=6，
则在Rt△ACB中，利用勾股定理可得AB=10，即AO=5=OD，
∵AE=EC=AC，
∴AE=EC=4，
在Rt△AEO中，利用勾股定理得OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
在Rt△AED中，利用勾股定理，得AD=2，则有CD=2，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=10+6+2+2=16+.
【解析】【分析】 （1）根据圆周角定理可得∠C=90°，由题意可得DO垂直平分AC，且AD=DC，则CA⊥DF，AE=EC，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）根据平行线的性质可得∠DBF=∠CDB，根据圆周角定理有∠CDB=∠BAC，则∠DBF=∠BAC，结合三角函数的概念可得CB=6，利用勾股定理求出AB=10，则AO=5=OD，AE=EC=4，利用勾股定理求出OE、AD，进而得到DE、CD，据此不难求出四边形ABCD的周长.