第三章圆的基本性质能力提升测试卷B（含参考答案）

第三章 圆的基本性质能力提升测试卷B
班级 姓名 学号
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B C D
2、若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D． 不能确定
3、如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC的度数是（）
A．15° B．30° C．60° D． 120°
4、．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于( )．21教育网
A．55° B．90° C．110° D．120°
5、一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是( )．
A．60° B．90° C． 120° D．180°
6、如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )．2·1·c·n·j·y
A．(2，-1)
B．(2，2)
C．(2，1)
D．(3，1)
7、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）
A. 45° B. 90° C. 135° D. 270°
8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
9、在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有(　 )
A. 1条 　　 　B. 2条 　 　　C. 3条 　　　D. 4条
10、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A． 3 B． 2 C． 1 D． 0
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.www-2-1-cnjy-com
12、如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC的大小等于 （度）
13、已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB＝2：3，CP＝2cm，DP＝12cm，则弦AB的长为 cm。
14、正六边形的边长是2cm，那么它的外接圆的直径是 cm．
15、如图，已知两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，一条直线经过点A，分别与两圆相交于点C、D，MC切⊙O1于点C，MD切⊙O2于点D，若∠BCD＝30°，则∠M等于 （度）
16、如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　 　倍，第n个半圆的面积为
　 　（结果保留π）
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，求油的最大深度.21cnjy.com
18、（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，求证：
（1）CB∥PD；
（2）=．
19、（8分）在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。
（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论。
20、（10分）如图，已知BC是⊙O的弦，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC＝60°.2-1-c-n-j-y
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若E、F分别是AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
21、（10分）已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.
(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.【版权所有：21教育】
(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.
(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函
数关系式，并写出自变量x的取值范围
22、（12分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
(1)如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
(2)如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
23、（12分）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；www.21-cn-jy.com
②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．21·世纪*教育网
然后运用类似的思想提出了如下命题：
③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．21教育名师原创作品
　　
　　任务要求：
　　(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；
　　(2)请你继续完成下面的探索；
①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；
②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论21世纪教育网版权所有
BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
答案详解
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
3、如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC的度数是（）
A．15° B．30° C．60° D． 120°
【解答】解：∵∠BOC=2∠A，
而∠A=60°，
∴∠BOC=120°．
故选D．
4、．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于( )．　　21*cnjy*com
A．55° B．90° C．110° D．120°
【解答】解：由切线性质、等腰三角形性质找出数量关系式．
由AC切O于A，则∠OAB＝35°，
所以∠AOB＝180°-2×35°＝110°．
5、一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是( )．
A．60° B．90° C． 120° D．180°
【解答】解：设底面半径为r，母线长为，
则，∴ ，
∴ ，
∴ n＝120，∴ ∠AOB＝120°．
6、如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )．
A．(2，-1) B．(2，2)
C．(2，1) D．(3，1)
【解答】解：横坐标相等的点的连线，平行于y轴；
纵坐标相等的点的连线，平行于x轴．
结合图形可以发现，
由点(2，5)和(2，-3)、(-2，1)和(6，1)构成的弦都是圆的直径，
其交点即为圆心(2，1)．
7、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）
A. 45° B. 90° C. 135° D. 270°
【解答】解：圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，
则所分的劣弧的度数是90°，
当圆周角的顶点在优弧上时，
这条弦所对的圆周角等于45°，
当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，
这条弦所对的圆周角等于135°。
如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．
连接OA、OB；则∠AOB=90°；
①当所求的圆周角顶点在优弧上，即位于D点时，
这条弦所对的圆周角∠ADB=∠AOB=45°；
②当所求的圆周角顶点在劣弧上，即位于C点时，
这条弦所对的圆周角∠ACB=180°－∠ADB=135°。
故选C.
8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC=AC?BC=AB?CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：
AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，
解得：AM=，
∴AD=2AM=．
故选C．
9、在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有(　 )
A. 1条 　　 　B. 2条 　 　　C. 3条 　　　D. 4条
【解答】解：根据题中条件，
在 Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
所以AB=5，
而两圆半径为 和，且，
即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，
所以两圆相外切，共有 3条公切线.
10、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（　　）
A． 3 B． 2 C． 1 D． 0
解答： 解：如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．
∴∠C=∠BDC=30°，
∴BD=BC，②成立；
∴AB=2BC，③成立；
∴∠A=∠C，
∴DA=DC，①成立；
综上所述，①②③均成立，
故答案选：A．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.
【解答】解：本题中由弦AB=CD可知，
因为同弧或等弧所对的圆周角相等，
故有∠1 =∠6=∠2=∠5.
12、如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC的大小等于 （度）
【解答】解：连接AC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴根据弦切角定理得到∠A=∠BCD=40°。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°。
∴∠ABC=50°。
13、已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB＝2：3，CP＝2cm，DP＝12cm，则弦AB的长为 cm。21*cnjy*com
【解答】解：根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算：
设AP=2x，由AP：PB=2：3得PB=3x。
由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD，
∴2x·3x=2·12，解得x=2（舍去负值）。
∴AB=AP+PB=5x=10（cm）。
14、正六边形的边长是2cm，那么它的外接圆的直径是 cm．
【解答】解：如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六变形，
则其中心O即为该六变形外接圆的圆心；
易知：∠AOB=∠BOC=∠COD=，
∴∠AOD=180°，
即AD为⊙O的直径；
∵OA=OB，且∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=AB=2cm，
∴AD=4cm，
即正六边形的外接圆的直径是4cm．
15、如图，已知两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，一条直线经过点A，分别与两圆相交于点C、D，MC切⊙O1于点C，MD切⊙O2于点D，若∠BCD＝30°，则∠M等于 （度）
【解答】解：
如图，连接BD，O1C，O1B，O2B，O2D，
∵MC切⊙O1于点C，MD切⊙O2于点D，
∴∠O1CM=∠O2DM=90°。
∵⊙O1与⊙O2是等圆，∠BCD=30°，
∴∠CDB=∠BCD=30°。∴∠CBD=120°，BC=BD。
∴△O1BC≌△O2BD。∴∠O1CB=∠O2DB。
∴∠O1CM+∠O2DM=∠BCM+∠BDM=180°。
∴∠M=1800－∠CBD=60°。
16、如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　 　倍，第n个半圆的面积为
　 　（结果保留π）
【解答】解：由已知，第3个半圆面积为：，第4个半圆的面积为：，
∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的=4倍。
由已知，第1个半圆的半径为，第2个半圆的半径为，第3个半圆的半径为，
······第n个半圆的半径为。
∴第n个半圆的面积是。
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，求油的最大深度.【出处：21教育名师】
【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB=160cm，
∴OA=OE=100cm，AM=80cm，
∴OM===60cm，
∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．
18、（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，求证：
（1）CB∥PD；
（2）=．
【解答】解：（1）证明：∵∠P，∠C所对的弧都是，
∴∠P=∠C．
∵∠1=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD；
（2）证明：∵∠1=∠C，
∴=．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，
∴=，
∴=．
19、（8分）在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。
（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论。
【解答】解：（1）证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴．
∴∠COB=∠DOB=∠COD．
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB．（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180°．
20、（10分）如图，已知BC是⊙O的弦，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC＝60°.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若E、F分别是AB、AC上的两个动点，
且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，
试问BE＋CF的值是否为定值，
若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：(1)证明：∵△ABC为正三角形，
D为BC的中点，
∴OD⊥BC，AO平分∠BAC.∴∠BAD＝30°.
∵∠BMC＝60°，∴∠BOA＝∠BMC＝60°.
∴∠BAD＋∠BOA＝90°.
∴∠ABO＝90°.∴OB⊥AB.
∵OB是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．
(2)∵∠BAD＝30°，OB⊥AB，OB＝2，
∴AB＝2.
取AB的中点G，连接DG，∴AG＝BG＝.
∵∠ABD＝60°，∴△BDG是等边三角形．
∴∠DGE＝60°，GD＝BD.
∵∠FCD＝60°，CD＝BD，
∴∠FCD＝∠EGD，GD＝CD.
∵∠EDF＝120°，∴∠FDC＋∠BDE＝60°.
∵∠BDG＝60°，∴∠EDG＋∠BDE＝60°.
∴∠EDG＝∠FDC.
∴△EGD≌△FCD.∴FC＝EG.
∴BG＝BE＋EG＝BE＋CF＝.
即BE＋CF的值是定值，这个值是.
21、（10分）已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.
(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.
(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.
(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
【解答】解：(1)在BF上取点P，连AP交⊙O于点D，
过D作⊙O切线，交OF于E，如图即为所求.
(2)∠EDP=∠DPE，或ED=EP或△PDE是等腰三角形.
(3)根据题意，得△PDE是等腰三角形，
∴ ∠EDP=∠DPE，
∴ ，
在 Rt△OAP中，，
∴ ，自变量x的取值范围是且.
22、（12分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
(1)如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
(2)如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；
23、（12分）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；
②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：
③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．
　　
　　任务要求：
　　(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；
　　(2)请你继续完成下面的探索；
①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；
②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论21·cn·jy·com
BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【解答】 解：(1)如选命题①．
　　　 证明：在图(1)中，
　∵ ∠BON＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°．
　∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3．
　又∵ BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，
　　∴ △BCM≌△CAN，∴ BM＝CM．
　　如选命题②．
　证明：在图(2)中，
∵ ∠BON＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°．
∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3．
又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，
∴　△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．
如选命题③．
证明：在图(3)中，
∵ ∠BON＝108°，∴　∠1+∠2＝108°．
∵ ∠2+∠3＝108°，∴　∠1＝∠3．
又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，
∴ △BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．
(2) ①答：当∠BON＝时结论BM＝CN成立．
②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．
证明：如图(4)，连接BD、CE
在△BCD和△CDE中，
∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，
　∴ △BCD≌△CDE．
∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．
∵ ∠CDE＝∠DEN＝108°，
∴ ∠BDM＝∠CEM．
∵ ∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．
∴ ∠MBC＝∠NCD．
又∵ ∠DBC＝∠ECD＝36°，
∴ ∠DBM＝∠ECM．
∴ △BDM≌△CEN，
∴ BM＝CN．