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第五章：特殊平行四边形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（ ）
A． B． C．条件不足，无法计算 D．
2．如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
3．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=3cm，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，分别在轴正半轴和负半轴上，顶点在轴正半轴上，直线的表达式为 ，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
8．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点是线段的中点，连接，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、F．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（ ）
A．当时，四边形ABQP是矩形 B．当时，四边形PQCD是平行四边形
C． D．当时，四边形PQCD是菱形
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，且．则的度数为 ．
12．如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为________
13．如图，在矩形中，点为边上一个动点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
14.如图，正方形的边长为4，点E在上且，F为对角线上一动点，则周长的最小值为
15．如图，在中，，．当时，正方形恰好有三个顶点落在的边上，则正方形的面积为 ．
16．如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为 ．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED、EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝6，AF＝2，求菱形CDEF的面积．
18．(本题6分）如图，在 ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：四边形CDMN为菱形；（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的长．
19．（本题8分）如图，在等腰梯形中，，、分别是、边的中点，与相交于点．(1)求证：；(2)连接、，当时，求证：四边形是菱形．
20．（本题8分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连结DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB的中点，请求出AE的长．
21．（本题10分）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，连接，．(1)求证：；
(2)若．①若，，求的面积；②连接，求证：．
22．（本题10分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是AD和BC的中点，且AF＝BF．在BC的延长线上取一点G，连接OG，使得．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）若AC＝8，EF＝6，求OG的长．
23.（本题12分）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点．
(1)如图①，当时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标．
24．（本题12分）如图1，四边形中，对角线，互相垂直平分，过A作于H交于K，延长至M，作的平分线，交于E，交于F．
(1)判断四边形的形状并证明；
(2)如图2，连接，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)补全图形：延长，交延长线于G，延长，交延长线于I，探究当时，比较和的大小关系，并说明理由．
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第五章：特殊平行四边形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：根据题意，可知平分，被垂直平分，在的垂直平分线上，
四边形为矩形，
，
平分，
，
，
被垂直平分，在的垂直平分线上，
，
，
，
，
故选择：D．
2.答案：C
解析：∵四边形ABCD是矩形，且
，
又
∴四边形OCED是菱形，
∴四边形OCED的周长为8．
故选择：C．
3.答案：B
解析：∵四边形ABCD是平行四边形， OA=3cm，
∴AC=2OA=6cm，BD=2OB，
∵ 要使平行四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=6cm，
∴OB=3cm.
故选择：B.
4.答案：B
解析：令，则令则
解得：
，，
，
四边形是菱形，
，
，
故选择：B．
5.答案：C
解析：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故选择：C．
6.答案：C
解析：如图，连接并延长交于点G，连接．
．
∵M，N分别是，的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
，
∴，
，即N是的中点．
∴是的中位线．
．
∵，，，，
∴，，．
在中
．
，
故选择：C．
7.答案：B
解析：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
由折叠的性质得：，
∴，，，
∴，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
即
解得：，
故选择：B．
8.答案：D
解析：在矩形中，，，，
由折叠可知，，
取AD中点N，连接CN，MN，则，
∴，
又∵点是线段的中点，
∴是的中位线，
∴
由三角形三边关系可知，，当M在上时取等号，
∴CM的最小值为
故选择：D．
9.答案：A
解析：如图，连接AC交BD于，延长交于，
∵菱形的顶点的坐标为点的坐标为
点C在第一象限，对角线与轴平行，
，
∴点D的坐标为
当时，
解得：
∴点的坐标为
，
∴当时，点落在的内部（不包括三角形的边）．
故选择：A．
10.答案：D
解析：根据题意得：，
，，，
在四边形ABCD中，，
A. 当时，,
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形ABQP是矩形，故A正确，不符合题意；
B. 当时，，
∴
又则
∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意；
C. 如图，过点作于点
∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∴
在中，故C正确，不符合题意
D. 当时，,,
∴则四边形不是菱形，故D选项错误，符合题意，
故选择：D．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，
，
，
，
故答案为：．
12.答案：
解析：菱形的对角线交于坐标原点O，点
∴
故答案为：
13.答案：15
解析：设则
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：15
14.答案：6
解析：如图所示，连结，．
当，，在一条直线上时，可以取得最小值，最小值为．
∵ 正方形的边长为4，
∴AB=AD=4，∠DAB=90°.
∵BE=1，
∴AE=AB-BE=3，
∴．
是正方形的对角线，
，
在和中，
，
∴．
∴．
∴的最小值为．
∴周长的最小值为．
故答案为：．
15.答案：5
解析：过点作，则：，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴正方形的面积为5，
故答案为：5．
16.答案：
解：如图，连接BD交EF于点O，
根据题意可得，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
即点O是正方形中心，
连接CO，取CO的中点M，连接BM．
∴
∵，，
∴
∴，
．
在中，
当三点共线时，最小，最小值为
故答案为：
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，点F在AB上，
∴CD∥EF，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE，
∴四边形CDEF是菱形．
（2）解：∵∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝90°，BC⊥EF，
∵四边形CDEF是菱形，AF＝2，
∴DE＝EF＝AE+2，
∵AE2+AD2＝DE2，AD＝BC＝6，
∴AE2+62＝（AE+2）2，
解得AE＝8，
∴EF＝8+2＝10，
∴S菱形CDEF＝EF BC＝10×6＝60，
∴菱形CDEF的面积为60．
18.解析：（1）证明：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，
∴NM＝AM＝MD，
∵BN＝NC＝AM＝DM，
∴NC＝MN＝DM，
∵NC∥DM，NC＝DM，
∴四边形CDMN是平行四边形，
又∵MN＝DM，
∴四边形CDMN是菱形．
（2）解：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，
∴MN＝MDAD，
∴∠1＝∠MND，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠CND，
∵∠1＝∠2，
∴∠MND＝∠CND＝∠2，
∴PN＝PC，
∵CE⊥MN，
∴∠CEN＝90°，
∠END+∠CNP+∠2＝180°﹣∠CEN＝90°，
又∵∠END＝∠CNP＝∠2，
∴∠2＝∠PNE＝30°，
∵PE＝1，
∴PN＝2PE＝2，
∴CE＝PC+PE＝3，
∴NC．
19.解析：（1）证明：连接，如图所示：
四边形ABCD是等腰梯形
．
又，
．
．
是中点，
，
，
，
；
（2）证明：连接，如图所示：
，
，
又是中点，
，
是中点，
，
，
是边中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形AFCD是菱形．
20.解析：（1）证明：作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC，∠BAD＝90°，
∵EM⊥AD，EN⊥AB
∴EM＝EN，∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°
∴四边形ANEM是矩形，
又∵EM＝EN，
∴矩形ANEM是正方形，
又∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝∠MEN＝90°，
∴∠DEM+∠MEF＝90°，∠MEF+∠FEN＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
在△EMD和△ENF中，
，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，AD＝CD＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AG+AE＝CE+AE＝AC，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC，
∴AG+AE；
（3）作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，连接DF，如图2所示：
∵点F恰为AB的中点，AB＝4，
∴AFAB＝2，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF2＝AD2+AF2＝20，
由（1）可知：四边形DEFG是正方形，则DE＝EF，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝2EF2，
∴2EF2＝20，
∴EF，或EF（不合题意，舍去），
设EN＝x，
由（1）可知：四边形ANEM是正方形，
∴AN＝EN＝x，
∴FN＝AN﹣AF＝x﹣2，
在Rt△EFN中，由勾股定理得：EN2+FN2＝EF2，
∴AN＝EN＝3，在Rt△AEN中，由勾股定理得：
21.解析：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：①，，
，
在中，，，
，
的面积为；
②证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，
，
，即，
，
，
在中，由勾股定理，且，
，
．
22.解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E，F是AD和BC的中点，
∴AE＝DEAD，CF＝BFBC，
∴AE＝CF＝BF，
∵AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AF＝BF，
∴AE＝AF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴CE＝CF，CA⊥EF，
∴∠ACE＝∠ACF，
∴∠G∠ACE∠ACF，
∴∠ACF＝2∠G＝∠G+∠COG，
∴∠G＝∠COG，
∵∠COF＝90°，AC＝8，EF＝6，
∴GC＝OC＝OAAC＝4，OF＝OEEF＝3，
∴CF，
作OH⊥BC于点H，则∠OHG＝90°，
∵S△COF5OH3×4，
∴，
∴CH,
∴GH＝GC+CH＝4，
∴OG,
∴OG的长是．
23.解析：（1），四边形是矩形，
，，
，
，
；
（2）过作轴于F，如图：
四边形OABC是矩形，
，，
，
，
点D与点A重合时，沿CD折叠该纸片，得点B的对应点，
，，
，，
，
，
；
设，则，
，
，
解得，
，
24.解析：（1）四边形是菱形，证明如下：
四边形中，对角线，互相垂直平分，
四边形是菱形；
（2）解：．
理由：由（1）知四边形的形状是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∵的平分线，交于E，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：当时，；当时，；当时，
如图
设，由（2）可得
∵四边形是菱形；
∴
∴
∵
∴
当时，即，是等腰直角三角形，则
∴
即当时，；
当时，则
∴
∵，则
∵，
∴，即
∴；
当时，同理可得，．
综上所述，当时，；当时，；当时，．
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