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专题6.2.3 反比例函数的图象和性质（三）六大题型（一课一讲）
（内容：反比例函数与几何的综合应用）
【浙教版】
题型一：反比例函数综合之交点问题
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数和一次函数．
(1)当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？
(2)若一次函数和反比例函数的图象相交于点，
①求m和k的值．
②根据函数图象回答：当时，x的取值范围是什么？
【答案】(1)(2)①；②或
【分析】本题主要查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）函数的图象有两个不同的交点，可得反比例函数位于二、四象限，即可求解；
（2）①把点代入，可得m的值，再把交点坐标代入，可得k的值；②根据题意得到一次函数和反比例函数的图象另一个交点为，然后画出函数图象，即可求得x的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴一次函数经过二、四象限，
∵反比例函数与一次函数有两个不同交点，
∴反比例函数位于二、四象限，
即；
（2）解：①把点代入，得：，
∴一次函数和反比例函数的图象相交于点，
把点代入，得：，
∴；
②∵一次函数和反比例函数的图象相交于点，
∴一次函数和反比例函数的图象另一个交点为，
画出函数图象，如图，
观察图象得：当时，x的取值范围是或．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求、的值；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较的大小．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）先把点代入一次函数，求得，再将点代入一次函数，得到，将代入反比例函数，即可求出的值；
（2）根据反比例函数的增减性即可解答．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与y轴交于点，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴．
（2）解：∵反比例函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小，
且点在第三象限， ，在第一象限，
∴．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，已知点A的坐标为．
(1)求m及k的值；
(2)直接写出点的坐标；
(3)根据图像直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)和．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数的解析式以及交点的求法，合理运用数形结合思想是解题的关键．
（1）由题意将分别代入一次函数和反比例函数即可解得m及k的值；
（2）根据反比例函数的对称性可知两点关于直线对称，可得点坐标；
（3）由题意直接根据图象，观察即可求得答案．
【详解】（1）解：将分别代入一次函数与反比例函数，
可得，,
解得：;
（2）将两个函数进行联立得：,
解得：或，
∴点坐标为：
（3）观察图象，当时，自变量的取值范围是和．
【变式训练1-3】（2025·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为．一次函数的解析式为(2)存在，交点坐标为
【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数解析式、一次函数图象平移问题、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握求函数解析式、正确计算是解题的关键．
（1）将点A代入反比例函数，求出解析式，然后求出点坐标，在代入直解析式中计算得出答案即可；
（2）根据一次函数图象的平移，得出平移后直线的解析式，结合反比例函数的解析式计算求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得；
反比例函数的解析式为．
在反比例函数中，
当时，，
点的坐标为．
把A，两点的坐标代入，得
解得．
一次函数的解析式为．
（2）一次函数的图象向下平移1个单位长度后与的图象仍有一个交点，理由如下：
将直线向下平移个单位长度，平移后所得直线解析式为，
令，整理得，
解得．
把代入，得．
交点坐标为．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点．
(1)求一次函数解析式和反比例函数解析式；
(2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】(1)，(2)或
【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，利用图像求不等式的解集等知识；
（1）把点B的坐标代入反比例函数式中求得k的值，从而求得反比例函数解析式，进而可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）当时，表明一次函数的图像在反比例函数的图像上方，观察图像即可求得自变量的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数相交于点和点，
∴，
解得，
即；
把点A坐标代入中，，
即；
把A、B两点坐标分别代入中，得，解得：，
即．
（2）解：由图像知，当时，或．
【变式训练1-5】（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点．
(1)求b和m的值；
(2)将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与组成的图形为G．若双曲线与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围．
【答案】(1)；(2)或
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式．数形结合结合思想的运用是解题的关键．
（1）把点代入，得，再求出，即可作答．
（2）先求出，再作图，然后运用数形结合思想，即可作答．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴
．
又∵直线经过点，
∴
．
（2）解：∵将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，
∴．
则函数的图象经过点A时，．
则函数的图象经过点D时，，此时双曲线也经过点B，
结合图象可得k值得范围是或．
【变式训练1-6】（2025·湖北襄阳·一模）如图，一次函数与反比例函数（为常数，）交于两点，且一次函数与数交于点．
(1)求m，n，k的值；
(2)若若是反比例函数图象上的两点，，请直接写出点M，N各位于哪个象限．
【答案】(1)(2)M位于第三象限，N位于第一象限
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式，通过代入法求出函数中的未知参数．
（1）先将点坐标代入一次函数求出，进而得到一次函数解析式，再将点坐标代入一次函数求出，最后将点坐标代入反比例函数求出；
（2）根据反比例函数的性质以及和的大小关系判断点所在象限．
【详解】（1）解：把代入中，可得，
解得，
此时一次函数的解析式为．
点在一次函数的图象上，
把代入，
解得，
，
又点在反比例函数的图象上，
将代入中，可得，
解得，
综上，；
（2）解：由（1）知反比例函数解析式为，其图象在一，三象限，在每个象限内随的增大而减小．
已知，说明不在同一象限．
在第三象限值恒小于0，在第一象限值恒大于0，且，
位于第三象限，位于第一象限．
题型二：反比例函数综合之面积问题
【经典例题2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点与点关于轴对称，求的面积；
(3)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，(2)3(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点坐标满足两个函数的解析式是解题的关键．
（1）先将B点坐标代入反比例函数中求出m，再将点坐标代入反比例函数的解析式中求出n，从而确定A点的坐标，最后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）先利用一次函数确定C点的坐标，根据对称求出D点的坐标，再利用割补法，将分为与两个部分，分别求得其面积后相加即可．
（3）因为一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，这两点，运用数形结合思想，得时的x的取值范围，即可作答．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵点在反比例函数图象上，
，
则A点坐标为，
将，两点的坐标代入得：
，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：∵一次函数交y轴于点C，当时，
∴C点坐标为，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D点坐标为，，
将分为与两个部分，
，
，，
；
（3）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，这两点，
∴结合图象，当时， x的取值范围为或．
【变式训练2-1】（2025·四川泸州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1．将直线沿轴向上平移2个单位长度后与反比例函数图象交于点，．
(1)求该反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)连接，，求的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求函数的解析式，整理掌握待定系数法以及数形结合是解题的关键．
（1）将代入，可得．把代入，可得，
则反比例函数的表达式为；联立一次函数和反比例函数解析式，解方程即可求出；
（2）先求出直线平移后的直线表达式为，联立求得D、E横坐标的差的绝对值为，过作轴交于，则，，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵点在一次函数上，且点的横坐标为1，
∴将代入，可得，
∴．
又∵点在反比例函数上，
∴把代入，可得，
∴反比例函数的表达式为；
联立方程得到，
即，解得，，
∴；
（2）解：∵直线沿轴向上平移2个单位长度，得到平移后的直线表达式为，
∴联立，得，即：，
解得，
∴D、E横坐标的差的绝对值，
过作轴交于，
∵当时，，则，
∴，
∴．
【变式训练2-2】（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为(2)6
(3)或
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用．
（1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式；
（2）先求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案．
【详解】（1）解：把代入，
得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，
得：，
∴．
把，代入，可得，
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图：
令，则，
∴，
∵
；
（3）当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴当时，或．
【变式训练2-3】（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限内交于点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若有一点P在x轴上，且的面积等于5，求点P的坐标．
【答案】(1)，(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：待定系数法，三角形的面积的计算方法，求出点B坐标是解本题的关键．
（1）由一次函数与轴、轴分别交于B，C两点，得到，得到，把两函数的交点A的坐标分别代入，可得到两函数解析式；
（2）设点的坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出t得到P点坐标．
【详解】（1）解：一次函数与轴、轴分别交于B，C两点，
当；
当，
解得：，
．
，
∴，
解得：（舍负），
∴，
一次函数的解析式为；
点在一次函数上，
∴，
点．
把点代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：设点的坐标为．
当时，，解得，则点．
的面积等于5，
，
解得或，
点的坐标为或．
【变式训练2-4】（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)或
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标．
（1）利用待定系数法求出，再求得点P的坐标为，利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题；
（3）根据，求出的面积，再根据的面积是面积的一半，构建方程求得的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵点P的纵坐标为3，且点P也在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴点P的坐标为，
∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或；
（3）解：令，，
∴点的坐标为，
∴，
由题意得，即，
∴，
∴点的坐标为或．
【变式训练2-5】（2025·河南驻马店·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点．与轴相交于点．
(1)分别求直线和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)直接写出当时，关于的不等式的解集．
【答案】(1)，(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立两解析式，求出点B的坐标，然后根据计算即可；
（3）根据点A、B的坐标，结合函数图象判断即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积，根据函数图象确定不等式解集等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
【详解】（1）点在上，
，
，
；
点均在上，
，
，，
；
（2）联立得，，
，
解得，，
，，
作，垂直轴于，两点，
∵
；
（3）由图象可得，当或时，直线在双曲线下面
∴关于的不等式的解集为或．
【变式训练2-6】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．
(1)k的值为_____，点B的坐标为_____．
(2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积．
(3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标．
【答案】(1)8；(2)153)或
【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点A的横坐标代入，求出点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，联立两个函数解析式，求出点B的坐标即可；
（2）求出点C的坐标为，过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形，得出，，，，，根据，求出结果即可；
（3）设点P的横坐标为（且），则，分两种情况：当时，当时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点A横坐标为4，
∴把代入得：，
∴，
∵点A是直线与双曲线的交点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为：；
（2）解：如图，
∵点C在双曲线上，纵坐标为8，
∴把代入得：，
∴点C的坐标为，
过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形，
则，，，，，，
∴
；
（3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设点P的横坐标为（且），则，
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴，
若，如图所示，
∵，
∴，
∴．
∴，（舍去），
∴；
若，如图所示，
∵，
∴．
∴，
解得，（舍去），
∴．
∴点P的坐标是或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，反比例函数几何综合，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质，注意进行分类讨论．
【变式训练2-7】（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式．
(2)连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积．
【答案】(1)，，直线的函数表达式为(2)15
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（1）分别代入点的坐标到，求出的值，设直线的函数表达式为，代入点的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴交于点，先求出直线的函数表达式，得出点的坐标，再根据反比例函数的性质求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：代入到，得，
代入到，得，
，，
设直线的函数表达式为，
代入，得，，
解得：，
直线的函数表达式为．
（2）解：过点作轴交于点，
设直线的函数表达式为，
代入得，，
解得：，
直线的函数表达式为，
令，则，
，
，
反比例函数图象关于原点对称，
点与点关于原点对称，
，
，
的面积为15．
题型三：反比例函数综合之最值问题
【经典例题3】（2025·四川绵阳·二模）如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知，
(1)求点D的坐标；
(2)若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标．
【答案】(1)点D的坐标为(2)最大值为；点M的坐标为
【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合．
（1）根据，，可以构造直角三角形，求出点B坐标，利用点B在反比例函数上，求出的值，再根据，得直线AB的解析式，最后根据边与反比例函数的图象交于点B，D求出D点坐标．
（2）延长交y轴于点G．设，利用轴交于点N，用坐标表示出的面积，通过函数或导数求其最大值及对应点M的坐标．
【详解】（1）解：∵四边形OABC为菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
设的解析式为，
代入由，解得，
故的解析式为．
由解得或
∴点D的坐标为．
（2）解：如图，延长交y轴于点G．设，其中，
，
∴当时，的面积最大，最大值为．
当时，，
将代入，得点M的横坐标为，
∴点M的坐标为．
【变式训练3-1】（2025·四川南充·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标．
【答案】(1)，(2)点的坐标为
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求解析式，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，结合一次函数与反比例函数的图象交于点，，先求出，故，然后把代入进行求解，即可作答．
（2）先理解题意，则作点关于轴的对称点，结合，易得，再求出直线的解析式为，然后把代入进行求解，即可作答．
【详解】（1）解：把代入反比例函数解析式得：，
∴，
∴，
把代入反比例函数解析式得：，
∴；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，
连接交轴于，此时，的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，
∴当时，则，
∴，
∴点的坐标为．
【变式训练3-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与 轴交于点．
(1)求的值以及点坐标；
(2)为轴上的一动点， 的面积时，求点坐标．
(3)为轴上的一动点，连接和，当的值最小时， 求点的坐标．
【答案】(1)，(2)或(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，一元二次方程，直角坐标系中的面积，轴对称将军饮马问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键．
（1）将代入即可求出，联立反比例函数与直线解析式即可求出的坐标；
（2）利用一次函数求出，，设，则，利用列式求解即可；
（3）作点作轴的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时，取得最小值，此时与轴的交点即为点，求出直线的解析式，令，即可得．
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
由，
解得：或，
故；
（2）解：令，
解得：，
则，，
令，得，
则，，
设，
则，
则，
解得：或，
∴点的坐标为或；
（3）解：作点作轴的对称点，连接，
则，当且仅当，，依次共线时，取得最小值，
此时与轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
则．
【变式训练3-3】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)则 ；
(2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将点代入反比例函数，得，由此即可求出的值；
（2）作点A关于y轴的对称点，作直线交y轴于点P，则的最小值等于线段的长，而点即为所求，由点A与点关于y轴对称可得，设直线的解析式为，将，代入，得，解方程组即可求出、的值，进而可得直线的解析式，然后求出它与轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得：
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，作点A关于y轴的对称点，作直线交y轴于点P，则的最小值等于线段的长，而点即为所求，
点A与点关于y轴对称，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
．
【变式训练3-4】（24-25九年级上·广东江门·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在y轴上有一动点E，当最小时，求点E的坐标；
(3)将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值．
【答案】(1)(2)(3)或9
【分析】（1）由一次函数过，利用待定系数法求出m的值，则得出A点坐标，由反比例函数（k为常数且）过A点，求出k值，即可得反比例函数解析式；
（2）根据一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点，则，求出B点坐标，得到B关于x轴对称点，连接交y轴与E点，此时最小，求出的解析式即可求出结果；
（3）设一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（）后为，与联立转化为一元二次方程，当时，只有一个交点，即可求b的值．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点，
∴当时，，
，
，
反比例函数解析式：；
（2）根据题意可得：，
解得：，
则，
即，
关于x轴对称点，
连接交y轴与E点，此时最小，
设直线为：，
则，
解得：，
直线为：，
当时，，
；
（3）设一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（）后为，
平移后的图象与反比例函数只有一个交点，
，
则，
，
解得：或，
故或．
【变式训练3-5】（2023·贵州铜仁·模拟预测）如图，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．
(1)求反比例函数的表达式和、两点的坐标；
(2)点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标为________．
【答案】(1)反比例函数表达式为，点和点的坐标为，(2)
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得，从而可得反比例函数表达式；再求出点、坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．求出直线的解析式后令，即可得到点坐标．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
∴，，，
．
∴由中点坐标公式可得点坐标为，
反比例函数的图象经过线段的中点，
，
∴反比例函数表达式为．
在中，令，则；令，则．
∴点和点的坐标为，．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．如图．
由坐标可得对称点，
设直线的解析式为，代入点、坐标，
得：，
解得：．
∴直线的解析式为，
在中，令，则．
点坐标为．
【变式训练3-6】（2023·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的值；
(3)点P是坐标轴上一点，若求点P的坐标．
【答案】(1)，(2)(3)点P的坐标为或或或
【分析】（1）待定系数法求反比例函数的表达式，联立求出
（2）依题意，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．
当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，
此时的面积最小．求出，得出，则有；
（3）分类讨论，已知点P在坐标轴上，要分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况讨论．当点P在x轴上时，要分点P在点M的左侧和点P在点M的右侧两种情况；当点P在y轴上时，要分点P在点N的上方和点P在点N的下方两种情况．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，
∴，
∴．
将代入，
得
∴反比例函数的表达式为
联立
解得或
∴
（2）解：如图，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．
当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，
此时的面积最小．
联立
整理得
令
解得．
∵直线经过第二、三、四象限，
∴，即．
联立，
解得
∴，
∴．
∵
∴，
；
（3）解：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为．
如图，过点A作x轴的垂线，垂足为点M．
∵，
∴
∵，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或；
②当点P在y轴上时，设点P的坐标为．
如图，过点A作y轴的垂线，垂足为点N，
∵
∴
∵，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或
综上所述，点P的坐标为或或或．
【变式训练3-7】（23-24九年级下·广东汕头·期中）如图平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P是y轴上一点，若，求点P的坐标；
(3)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度．
【答案】(1)，(2)或(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用：
（1）将点代入一次函数的解析式，求出的值，再代入反比例函数的解析式，求出反比例函数的解析式，再联立两个函数解析式，求出点坐标即可；
（2）设，根据，列出方程进行求解即可；
（3）依题意，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，此时的面积最小．求出，得出，进而求出的长即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，
∴，
∴．
将代入，
得
∴反比例函数的表达式为
联立，
解得或，
∴；
（2）设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴点坐标为或；
（3）解：如图，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．
当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，
此时的面积最小．
联立
整理得
令
解得．
∵直线经过第二、三、四象限，
∴，即．
联立，
解得
∴，
∴．
题型四：反比例函数综合之存在性问题（三角形）
【经典例题4】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用：
如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)，(2)(3)存在，、、或
【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
（1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论；
（2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解；
（3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解．
【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点的坐标为也在上，
，
的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上，
代入可得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：直线与轴交于点，
当时，可得，解得
，
，
的坐标为，的坐标为，
；
（3）解：①若时，如图所示，
的坐标为，
点的坐标为；
②当时，如图，
设点，
，，
是直角三角形，
，
即，
解得，
点的坐标为．
③当时，如图，
当点在轴上时，设点，
，，
是直角三角形，
，
，
解得，
点的坐标为．
④若时，如图所示，
的坐标为，
点的坐标为．
综上可得点的坐标为、、或．
【变式训练4-1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积．
(3)根据图象直接写出时，x的取值范围．
(4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)4(3)或(4)点M的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）把A的坐标代入求出b，即可得出一次函数的表达式，把，代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入的，求出k即可；
（2）求出，分别求出和的面积，相加即可；
（3）根据C、D的坐标和图象得出即可；
（4）设，分两种情况讨论并结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
即一次函数的表达式为，
把，代入得：，，
解得，，
即，，
把C的坐标代入得：，
解得：；
（2）解：由可知：当时，，解得，即，
∴，
∴的面积为；
（3）解：由图象可知：时，x的取值范围是或；
（4）解：设，
则，，，
∵点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，
∴当时，，
解得：（不符合题意，舍去）或，
此时；
当时，，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时，
综上，点M的坐标为或．
【变式训练4-2】（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若点关于原点的对称点为，求的面积；
(3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解；
（2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数图象过点，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：如图，过点作，交于点，
，
点关于原点的对称点为的坐标为，
把代入，
可得，
，
，
；
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
点．
【变式训练4-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：如图所示，
设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
把和分别代入，
得
∴可得直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【变式训练4-4】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)P为x轴上的一动点，当的面积为9时，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点Q使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)(2)或；
(3)或或或或．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、等腰三角形定义、勾股定理等知识点．
（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据，构建方程求解即可；
（3）分，，三种情况分别进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴；
（2）当时，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）设点Q的坐标为，则
，，，
当时，
，
解得或，
∴点Q的坐标为或
当时，
，解得或，
∴点Q的坐标为或
当时，
，
解得，
点Q的坐标为，
综上可知，点Q的坐标为或或或或．
【变式训练4-5】（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；(2)存在，点的坐标为或；
(3)或或或
【分析】（1）反比例函数经过点，将代入，得，可得，再将点A代入正比例函数的解析式为，即可得出答案；
（2）设点的坐标为，则，，，根据勾股定理求得，根据的面积求出，再由即可列出方程，求解即可；
（3）由，分，，三种情形，分别得出答案．
【详解】（1）解：，
点A的纵坐标为3，
反比例函数经过点，
当时，，
∴，
，
∵正比例函数经过点，
∴，
解得，
∴正比例函数的解析式为：；
（2）解：轴于点，设点的坐标为，
∵，，
∴，，，
∴在中，，
过点作于，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点到直线的距离等于它到点的距离，即，
∴，
∴或，
综上所述，满足要求的点的坐标为或；
（3）解：分三种情况讨论：
①当时，
∵，
∴或；
②当时，
∵，
∴，
∴；
③当时，设，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得，
∴．
综上所述：或或或．
【变式训练4-6】（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①， ；②(2)或或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解；
（2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解；
【详解】（1）解：①将代入 得： ，
解得：；
∴反比例函数的表达式为： ；
∴，即：；
将、代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
②设一次函数与轴交于点，如图所示：
由得；
∴
∴
（2）解：设点，
，则，
解得：；
，则，
解得：或（舍）；
，则，
解得：；
综上所述：点P的坐标为或或
【变式训练4-7】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或或．
【分析】（1）先把代入求得m的值即可；
（2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）解：∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵A的坐标为都在一次函数的图像上
，解得，
∴一次函数的解析式为；
∵如图：直线与x轴交于点C，，
∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴
；
（3）解：当点P在x轴上，
设点，
①如图2：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为
如图3，当时，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
当点P在y轴上时，
设点，
如图4：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
如图5：当时，
∴，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
综上可得点P的坐标为或或或．
题型五：反比例函数综合之存在性问题（四边形）
【经典例题5】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 .
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当时.直接写出的取值范围；
(3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，点P的坐标为
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，矩形的性质：
（1）将点A代入函数中可得到函数表达式，进而可求得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点作交轴于点，勾股定理得出点的坐标，再求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【详解】（1）解：∵点，在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得到：，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像上方，
∴当时，；
（3）解：存在，理由如下：
如图所示，设直线交y轴于点，
∵四边形为矩形
∴，则以点A为直角顶点的直角三角形，
由一次函数解析式可得，
∵，
∴，，，
在中，
∴，
∴，
解得：，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
即点P的坐标为，
∴在双曲线上存在点P，使四边形为矩形，此时点P的坐标为．
【变式训练5-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标；
(3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)(2)(3)存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数解析式等知识点，掌握交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键．
（1）先根据一次函数解析式求得点A的坐标，然后运用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）如图：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，可得，则设点B，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标；然后分是平行四边形的对角线三种情况，并通过邻边验证即可解答．
【详解】（1）解：将代入得，解得：，
∴，
将代入 得：，解得，
∴反比例函数表达式为 ．
（2）解：设点，那么点，
由可得：，
∴，解得 （舍去），
∴．
（3）解：如图2：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，则，
∴，
∵点A绕点B顺时针旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点B，，
∴点，
∵点E在反比例函数图象上，
∴，解得 （舍去）．
∴，．
如图：当是平行四边形的对角线时，
设，
∵，，，四边形是平行四边形．
∴，解得：，
∴；
∵，
∴，
∴四边形是菱形，符合题意；
当是平行四边形的对角线时，同理可得：，
∵，
∴，
∴四边形不是菱形，不符合题意；
当是平行四边形的对角线时，．
∵，
∴，
∴四边形不是菱形，不符合题意．
综上，存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点
【变式训练5-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)点的坐标为或；(3)点的坐标为或．
【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键．
（1）由一次函数得，把代入得，故反比例函数的表达式为；再联立计算即可；
（2）设点，过点C作轴平行线交直线于，得点，由，得，再计算即可；
（3）由点C位于点B左侧，得．①当四边形为矩形时，构造一线三垂直得，得，求出直线解析式为，再联立计算即可．②当为矩形时，由得直线解析式为再联立计算即可．
【详解】（1）解：一次函数过点，
，
，
，
把代入得，，
反比例函数的表达式为；
，
或；
（2）解：设点，过点作轴平行线交直线于，
点，
，
，
，
解得或，（负数已舍），
点的坐标为或；
（3）解：点位于点左侧，
，
①当四边形为矩形时，
如图：过作直线轴，过作直线，过作直线，
，
，
，，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
设直线解析式为，
代入，
得，
直线解析式为，
联立得，
，
或2，
，
移动到，
移动到，
，
②当为矩形时，
，
设直线解析式为，
代入，得，
直线解析式为，
联立得，
，
或1，
，
移动到，
移动到，
，
综上所述，点的坐标为或．
【变式训练5-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与坐标轴交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，线段，的长是方程的两个根．
(1)求点，的坐标；
(2)直线与直线交于点，若点是线段的中点，反比例函数的图象的一个分支经过点，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点有多少个，并写出其中一个的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)
(3)存在，符合条件的点N有4个，、，或
【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出、的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；
（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；
（3）假设存在，设点M的坐标为，分别以为边、为对角线来考虑．根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标．
【详解】（1）解：，
∴，，
∵，
∴，，
∴，；
（2）解：将代入中，
得：，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为．
∵点E为直线上一点，
∴．
将点代入中，
得：，解得：；
（3）解：假设存在，设点M的坐标为，
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分三种情况（如图所示）：
①以线段为边，且点N在直线右侧时，
∵，，E为线段的中点，
∴，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，
解得：，，
∴或，
∵，，
∴或；
②以线段为边，且点N在直线左侧时，，
∴．
解得，．
∴．
∵，，
∴．
③以线段为对角线时，，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，即．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，
符合条件的点N有4个，坐标为、，或．
【变式训练5-4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为轴正半轴上的一个点，过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，连接．
(1)________，________（用含的代数式表示）；
(2)若，
求点的坐标；
点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，是否存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点、的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】本题考查了反比例函数的综合，列代数式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分析题意，结合过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，得出，即，再结合过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，得，故，即可作答．
（2）结合以及由（1）得，，得出，再代入，即可作答．
先求出，再设，，进行分类讨论，结合平行四边形的对角线互相平分，列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵点为轴正半轴上的一个点，过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，
∴，
∴，
∵过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
解得．
∴把代入，
得，
∴；
由得，
则，，
∴，
∵点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，
∴设，，
当和为以、、、为顶点的平行四边形的对角线时，
则，
∵，，
∴，
解得；
∴，
∴；
当和为以、、、为顶点的平行四边形的对角线时，
则，
∵，，
∴，
解得；
∴，
∴；
当和为以、、、为顶点的平行四边形的对角线时，
则，
∵，，
∴，
解得；
∴，
∴；
综上：或或满足题意．
题型六：反比例函数综合之定义新运算
【经典例题6】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)边长为2的正方形，是否存在一个新正方形，其周长和面积都是它的2倍？________（填“存在”或“不存在”）．
(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？针对此问题，呈现了两种求解思路：
小明同学的思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况；
小慧同学的思路：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：，．通过观察图象在第一象限的交点解决问题．
请你任选一种思路探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，求出新矩形的长和宽；若不存在说明理由．
(3)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
【答案】(1)不存在(2)不存在，理由见解析(3)存在，
【分析】本题以求矩形的周长和面积为背景，考查了学生对二元方程组的解法掌握情况和一次函数与反比例函数图象的关系．在解方程组的时候选用消元法，借助根的判别式的值可以快速得到结果．
（1）由已知正方形得到周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，两边长不相等，故不存在；
（2）小明同学思路：设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；小慧同学思路：根据图象得出结论；
（3）利用（2）中小明同学的思路，利用判别式求的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意得，给定正方形的周长为，面积为，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）不存在，小明同学思路：
设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：，
∵
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
小慧同学思路：
∵，
∴，，画出函数图象，如图：
从图象看来，函数和函数图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
（3）存在；
设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：
当时，，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的倍．
∴，
∵，
∴；
故当时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的倍．
【变式训练6-1】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”．
若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”．
(1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）；
(2)如图2，当时，函数（）的图象经过点，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由．
【答案】(1)或（答案不唯一）(2)是，理由见解析
【分析】本题考查求反比例函数、一次函数解析式，图形与坐标；
（1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可；
（2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数 是正方形的“函数”．
【详解】（1）解：如图：
当时，，，，
当一次函数图象过，时，
，
解得：，
∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点，
一次函数是正方形的“函数”；
当一次函数图象过，时，
，
解得：，
∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点，
一次函数是正方形的“函数”；
故答案为：或（答案不唯一）．
（2）解：当点时，代入中得：，
解得，
，
把代入得，
点的坐标为，
函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，
函数是正方形的“函数”．
【变式训练6-2】（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
(1)求直线和反比例函数的解析式；
(2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；
(3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上 若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，；(2)或；(3)存在，点的坐标为或．
【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式；
将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数；
根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标．
【详解】（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
【变式训练6-3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．
【答案】(1)是矩形的“友好函数”(2)①；②；③
【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论；
（2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k；
分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可；
分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图像上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
,
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
【变式训练6-4】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【答案】(1)和；(2)；(3)或．
【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解；
（）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解；
（）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由，得，，
∴点是点的等和点；
由，得，，，
∵，
∴不是点的等和点；
由，得，，
∴是点的等和点；
故答案为：和；
（2）解：设点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
设，点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴，
∵点在直线上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
∴点的坐标为或．
【变式训练6-5】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试．
【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点．
证明：在函数图象上任取一点，则点A关于原点对称的点B为（ ， ），因为 ，所以点也在反比例函数的图象上．因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上，所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点．
【拓展】反比例函数的图象关于直线对称，关于直线对称．请运用代数推理进行证明；
【提升】试证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小．
【答案】【理解】，
【拓展】证明见解析
【提升】证明见解析
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，坐标系中关于原点对称、关于直线对称和关于直线对称的点的特征，准确写出关于原点、直线和直线的对称点是解决本题的关键．
（1）根据题意补充完整即可；
（2）利用在平面直角坐标系中，设点，则点关于原点的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，在反比例函数的图象上任取一点，得出对称点，即可求解；
（3）设点，都是反比例函数的图象上的点，且，判断与大小即可．
【详解】解：【理解】在函数图象上任取一点，
则点A关于原点对称的点B为，
因为，
所以点也在反比例函数的图象上．
因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上，
所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点；
故答案为：，；
【拓展】①在反比例函数的图象上任取一点，
则点关于直线对称的点为，
∵，
∴点也在反比例函数的图象上，
∵点是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图象上，
∴反比例函数的图象关于直线对称；
②在反比例函数的图象上任取一点，
则点关于直线对称的点为，
∵，
∴点也在反比例函数的图象上，
∵点是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图象上，
∴反比例函数的图象关于直线对称；
【提升】设点，都是反比例函数的图象上的点，且，
∵，
∴，
即对于反比例函数，当时，随的增大而减小．
【变式训练6-6】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．
(1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长；
(2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形；
(3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值．
【答案】(1)6(2)见解析(3)或
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，， ，再根据题中定义得到，进而有，根据等角对等边求得即可求解；
（2）先根据平行四边形的性质得到，，进而得到，利用等腰三角形的性质得到，利用三角形的外角性质推导出，根据题中定义可证得结论；
（3）先求得点A、B、E及其平移后对应点的坐标，再分点和落在反比例函数的图像上和点和落在反比例函数的图像上两种情况，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到a和k的方程，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形平行四边形，，，
∴，，，，
∴，
∵四边形为半对角四边形，
∴，
∴，则，
∵，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，又，
∴四边形是半对角四边形；
（3）解：由（2）知，，
∵，
∴是等边三角形，则，，
过E作于H，
∴则，，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
将四边形向左平移a（）个单位后，点A的对应点坐标为，点B的对应点坐标为，点E的对应点坐标为，
∵平移后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，
∴分两种情况：
若点和落在反比例函数的图像上，则，
解得，此时；
若点和落在反比例函数的图像上，则，
解得，此时，
综上，满足条件的k值为或．
【变式训练6-7】（2024·江苏泰州·二模）定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
(1)若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值；
(2)命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”）
【答案】(1)(2)假
【分析】本题主要考查了新定义，反比例函数与综合．熟练掌握新定义，待定系数法求反比例函数的解析式，是解题的关键．
（1）过点E作轴于点C，作轴于点D，根据“美好点”定义，写出矩形的周长和面积表达式，布列方程，解方程，得到，即得；
（2）根点E是“美好点”，列方程，解方程，判断即可．
【详解】（1）过点E作轴于点C，作轴于点D，
∵是“美好点”，
∴，
解得，
∴，
代入反比例函数，
得，
（2）假设是“美好点”，
则，
∴，矛盾，
∴不是“美好点”，
∴原命题是假命题．
故答案为：假．
【变式训练6-8】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．
【概念辨析】
（1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】
长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，
联立由①得③，
将③代入②，得，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由．
（3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由．
【答案】（1）不存在；（2）不存在，见解析；（3）支持静静的观点
【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；
（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，可得，再运用根的判别式即可求得答案．
【详解】解：（1）假设存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体，则正方形B的周长是正方形A周长的2倍，
∵正方形A的边长为1，
∴正方形B的边长是2，
∴正方形B的面积是4，这与“完全2倍体”矛盾，所以不存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体．
故答案为：不存在；
深入探究：长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形，
理由：∵矩形的长为4，宽为3，
∴矩形的周长为14，面积为12，
小鸣方程流：
设新矩形长和宽为、，则依题意，，
联立，
整理得：，
解得：，，
∴新矩形的长为12，宽为2时，周长为28，面积为24，
∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形；
小棋函数流：如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，，
即，，利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，如图：
故长为4，宽为3的矩形存在完全倍体；
（2）方法1：设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，
联立，得，
∴，
∴方程无解，
∴长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体．
方法2：如图，
反比例函数：与一次函数：没有交点，所以不存在完全倍体；
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，
∴，
∴，
∴对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体，
∴静静的说法是正确的．中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.2.3 反比例函数的图象和性质（三）六大题型（一课一讲）
（内容：反比例函数与几何的综合应用）
【浙教版】
题型一：反比例函数综合之交点问题
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数和一次函数．
(1)当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？
(2)若一次函数和反比例函数的图象相交于点，
①求m和k的值．
②根据函数图象回答：当时，x的取值范围是什么？
【变式训练1-1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求、的值；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较的大小．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，已知点A的坐标为．
(1)求m及k的值；
(2)直接写出点的坐标；
(3)根据图像直接写出当时，自变量的取值范围．
【变式训练1-3】（2025·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点．
(1)求一次函数解析式和反比例函数解析式；
(2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围．
【变式训练1-5】（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点．
(1)求b和m的值；
(2)将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与组成的图形为G．若双曲线与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围．
【变式训练1-6】（2025·湖北襄阳·一模）如图，一次函数与反比例函数（为常数，）交于两点，且一次函数与数交于点．
(1)求m，n，k的值；
(2)若若是反比例函数图象上的两点，，请直接写出点M，N各位于哪个象限．
题型二：反比例函数综合之面积问题
【经典例题2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点与点关于轴对称，求的面积；
(3)当时，直接写出的取值范围．
【变式训练2-1】（2025·四川泸州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1．将直线沿轴向上平移2个单位长度后与反比例函数图象交于点，．
(1)求该反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)连接，，求的面积．
【变式训练2-2】（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【变式训练2-3】（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限内交于点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若有一点P在x轴上，且的面积等于5，求点P的坐标．
【变式训练2-4】（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标．
【变式训练2-5】（2025·河南驻马店·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点．与轴相交于点．
(1)分别求直线和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)直接写出当时，关于的不等式的解集．
【变式训练2-6】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．
(1)k的值为_____，点B的坐标为_____．
(2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积．
(3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标．
【变式训练2-7】（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式．
(2)连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积．
题型三：反比例函数综合之最值问题
【经典例题3】（2025·四川绵阳·二模）如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知，
(1)求点D的坐标；
(2)若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标．
【变式训练3-1】（2025·四川南充·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标．
【变式训练3-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与 轴交于点．
(1)求的值以及点坐标；
(2)为轴上的一动点， 的面积时，求点坐标．
(3)为轴上的一动点，连接和，当的值最小时， 求点的坐标．
【变式训练3-3】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)则 ；
(2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标．
【变式训练3-4】（24-25九年级上·广东江门·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在y轴上有一动点E，当最小时，求点E的坐标；
(3)将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值．
【变式训练3-5】（2023·贵州铜仁·模拟预测）如图，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．
(1)求反比例函数的表达式和、两点的坐标；
(2)点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标为________．
【变式训练3-6】（2023·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的值；
(3)点P是坐标轴上一点，若求点P的坐标．
【变式训练3-7】（23-24九年级下·广东汕头·期中）如图平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P是y轴上一点，若，求点P的坐标；
(3)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度．
题型四：反比例函数综合之存在性问题（三角形）
【经典例题4】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用：
如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标．
【变式训练4-1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积．
(3)根据图象直接写出时，x的取值范围．
(4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-2】（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若点关于原点的对称点为，求的面积；
(3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-4】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)P为x轴上的一动点，当的面积为9时，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点Q使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标．
【变式训练4-5】（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【变式训练4-6】（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-7】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标．
题型五：反比例函数综合之存在性问题（四边形）
【经典例题5】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 .
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当时.直接写出的取值范围；
(3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标；
(3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由
【变式训练5-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，点C位于点B左侧，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与坐标轴交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，线段，的长是方程的两个根．
(1)求点，的坐标；
(2)直线与直线交于点，若点是线段的中点，反比例函数的图象的一个分支经过点，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点有多少个，并写出其中一个的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为轴正半轴上的一个点，过点作轴的垂线，与函数的图像交于点，与函数的图像交于点，过点作轴的平行线，与函数的图像交于点，连接．
(1)________，________（用含的代数式表示）；
(2)若，
求点的坐标；
点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，是否存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点、的坐标；如果不存在，请说明理由．
题型六：反比例函数综合之定义新运算
【经典例题6】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)边长为2的正方形，是否存在一个新正方形，其周长和面积都是它的2倍？________（填“存在”或“不存在”）．
(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？针对此问题，呈现了两种求解思路：
小明同学的思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况；
小慧同学的思路：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：，．通过观察图象在第一象限的交点解决问题．
请你任选一种思路探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，求出新矩形的长和宽；若不存在说明理由．
(3)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
【变式训练6-1】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”．
若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”．
(1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）；
(2)如图2，当时，函数（）的图象经过点，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由．
【变式训练6-2】（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
(1)求直线和反比例函数的解析式；
(2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；
(3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上 若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【变式训练6-3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．
【变式训练6-4】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【变式训练6-5】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试．
【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点．
证明：在函数图象上任取一点，则点A关于原点对称的点B为（ ， ），因为 ，所以点也在反比例函数的图象上．因为A是反比例函数图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上，所以反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点．
【拓展】反比例函数的图象关于直线对称，关于直线对称．请运用代数推理进行证明；
【提升】试证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小．
【变式训练6-6】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．
(1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长；
(2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形；
(3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值．
【变式训练6-7】（2024·江苏泰州·二模）定义：如图所示，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
(1)若“美好点”在反比例函数（，且k为常数）的图像上，求k的值；
(2)命题“是美好点”是 命题（填“真”或“假”）
【变式训练6-8】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．
【概念辨析】
（1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】
长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，
联立由①得③，
将③代入②，得，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由．
（3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由．
