第五章特殊平行四边形单元测试卷（含答案）

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第五章特殊平行四边形单元测试卷浙教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B，添加下列条件，不能保证四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AD∥BC B．AB＝CD C．AC＝BD D．∠A＝∠C
2．在下列条件中，能够判定 ABCD为菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AC＝AD C．AC⊥BD D．AB⊥BC
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝（　　）
A．10 B．6 C．8 D．5
4．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，添加一个条件，使得 ABCD是菱形，则下列选项不符合题意的是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．∠ABD＝∠CBD
5．如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为（　　）cm2．
A．20 B．30 C．40 D．50
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．1.2
8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，矩形ABCD中，点G是AD边上任意一点，连接GB，GC．点E，F分别是GB，GC的中点，连接EF．若AB：AD＝2：3，S△GBC＝12，则EF的值为　 　．
10．在菱形ABCD中，对角线AC＝6，AB＝5，则菱形ABCD的面积为　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连接EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连接CE，若CE＝CF，则EF长为 　 ．
12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的两个点，连接AE、AF分别与对角线BD交于点G、H，连接GF，若AG⊥GF，DHBG，下列说法正确的序号是 　 　．
①AG＝FG；
②BG2+DH2＝GH2；
③∠BGE＝60°；
④若CE＝3，BE+DF值为3．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为24，CE＝2，∠BAD＝120°，求AE的长．
14．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
15．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF⊥AE于F，且DF＝DC．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长．
16．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CAD＝∠B，延长AD到点E，使DE＝AD，过点E作EF∥CB，交AC的延长线于点F．
（1）求证：点C是AF的中点；
（2）若EF＝CF＝2，求BD的长．
17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，CE，AE交于点E，连接DE交AC于点O．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）连接BE交AC于点F，交CD于点G，若DE＝CE，CD＝2，求OF的长．
18．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长．
参考答案
选择题
1—8：CCDAABCD
二、填空题
9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB：AD＝2：3，
∴设AB＝CD＝2a，AD＝BC＝3a，
∵S△GBC＝12，
∴，
解得a＝2，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
∵点E，F分别是GB，GC的中点，
∴，
故答案为：3．
10．【解答】解：如图，
由题意可得：AC⊥BD，，BO＝OD，
∴，
∴BD＝2BO＝8，
∴，
故答案为：24．
11．【解答】解：作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD为矩形，BD＝5，CD＝3，
∴AD＝BC＝5，∠CDE＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDEH为矩形，，
∴EH＝CD＝3，ED＝HC，
∵BF＝DE，CE＝CF，
设CE＝CF＝x，则BF＝DE＝4﹣x，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．【解答】解：①过点G作GP⊥AD于P，GQ⊥CD于Q，如图，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，
∵GP⊥AD，GQ⊥CD，
∴GP＝GQ，∠GPD＝∠GQD＝90°，
∴∠PGQ＝90°，即∠FGQ+∠FGP＝90°，
∵AG⊥GF，
∴∠FGP+∠PGA＝∠FGA＝90°，
∴∠FGP＝∠PGA，
∴△FGQ≌△AGP（ASA），
∴AG＝FG，故①正确；
②∵AG＝FG，∠FGA＝90°，
∴∠GAF＝∠GFA＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAF＝45°，
将△ABG绕点A逆时针旋转90度，得到△ADM，
则AM＝AG，DM＝BG，∠DAM＝∠BAG，∠ADM＝∠ABG＝45°，
∴∠HDM＝∠HDA+∠ADM＝45°+45°＝90°，
∴DM2+DH2＝HM2，
∴∠HAM＝∠HAD+∠DAM＝∠HAD+∠BAG＝45°＝∠GAH，
∵AH＝AH，
∴△AMH≌△AGH（SAS），
∴GH＝HM，
∴BG2+DH2＝GH2，故②正确；
③∵，
∴，
∴∠DHM＝30°，
∴∠GHM＝180°﹣∠DHM＝150°；
∵△AMH≌△AGH，
∴，
∴∠BGE＝∠AGH＝180°﹣∠GAH﹣∠GHA＝180°﹣45°﹣75°＝60°，故③正确；
④将△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADN，连接EF，
则DN＝BE，AN＝AE，
同理可得△AEF≌△ANF，
∴EF＝FN＝FD+DN＝FD+BE，∠AFE＝∠AFN，
由∠AHG＝75°，
∴∠FHD＝75°，
∵∠FDH＝45°，
∴∠AFD＝180°﹣∠FHD﹣∠FDH＝60°，
∴∠AFE＝∠AFN＝60°，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
即，
∴，
∴，故④错误；
∴正确有①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA，
∵O为BF的中点，
∴BO＝FO，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴BE＝FA，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵AD＝BC，AF＝BE，
∴DF＝CE＝2，
∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴菱形ABEF的周长为：24﹣4＝20，
∴AB＝20÷4＝5，
∵∠BAD＝120°，
∴，
又 AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝5．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，
∴CD2+CF2＝DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积DF×CECF×CD，
∴CE，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC＝90°，BF＝CE，
∴BC，
∴EF．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∵DF＝DC，
∴AB＝DF，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA，
∴BE＝AF＝4，AD＝BC，
∵∠B＝90°，
∴AE5，
∴BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．
16．【解答】（1）证明：∵EF∥CB，DE＝AD，
∴AC＝CF，即点C是AF的中点；
（2）解：∵DE＝AD，AC＝CF，
∴DE是△AEF的中位线，
∴CDEF＝1，
∵EF∥CB，
∴∠F＝∠ACB，∠E＝∠ADC，
∵EF＝CF，
∴EF＝AC，
在△FAE和△BCA中，
，
∴△FAE≌△BCA（AAS），
∴BC＝AF＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3．
17．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，
∴，
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵CD＝AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴AC⊥DE，CD＝CE，OD＝OE，
∵DE＝CE，CD＝2，
∴DE＝CE＝CD＝2，△CDE为等边三角形，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°，OD＝OE＝1，∠DEC＝60°，
∴BC∥DE，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵DE＝CE，
∴四边形BCED是菱形，
∴，
∴EF＝2OF，
由勾股定理得OF2＝EF2﹣OE2，即OF2＝（2OF）2﹣12，
解得．
18．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝2OE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴S△ABF，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
∴AE，
∴DF＝AE．
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