5.1 矩形-2024-2025学年浙教版八年级下册 同步分层作业（含解析）

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5.1 矩形 同步分层作业
1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖（如图）吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
4．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
5．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（　　）
A．36° B．27° C．18° D．9°
6．如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是矩形，该条件是（　　）
A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA
7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD
8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD，BC于E，F两点，若AC＝6，∠AEO＝120°，则OE的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点E，交AD于点F，若BE＝3，AF＝5，则矩形的周长为（　　）
A．8 B．20 C．24 D．30
11．如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，连接CE、DE，过点D作DF⊥CE，垂足为F．若CE＝CD，DF＝3，BE＝4，则DE＝　　 ．
12．如图所示，将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D、C的对应点分别为D'、C'，线段D'C'交线段BC于点G，若∠DEF＝55°，则∠FGC'的度数是 　　 ．
13．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，分别以点D，O为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE．若AE⊥OD，AD＝2，则AB＝ 　　 ．
14．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：BE＝AF．
15．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE、BA交于点F，连接AC、BD、DF．
（1）求证：BD＝DF；
（2）当CF平分∠BCD，且BC＝6时，求CD的长．
16．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）当△ADE满足什么条件时，四边形ABEC是矩形，请说明理由．
17．已知：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当AB与BD满足条件 　 　 时，四边形GEHF是矩形．
18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为（　　）
A． B．5 C．2.4 D．2.5
19．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　 　 ．（填一个条件即可）
20．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列三组条件：
①AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD；
②∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC；
③∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD；
其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 　　 ．（填写所有正确条件的序号）
21．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
22．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
23．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（　　）
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形 B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形
C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形 D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5
24．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S ABCD，正确的有（　　）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④
25．如图，在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发．在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 　　 ．
26．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： 　 ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；
（2）若AC⊥BD，OE＝10，AC＝16，求 ABCD的面积．
27．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，点使CF＝BE，连接AF、DE、DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，BF＝10，DE＝8，求AE的长．
答案与解析
1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【点拨】根据矩形的性质，即对角线平分相等，及是轴对称图形又是中心对称图形，进行解答即可．
【解析】解：A．矩形对角线互相平分且相等，不符合题意；B．矩形的四个角相等，不符合题意；C．矩形的对角线互相平分且相等，符合题意；
D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】根据矩形的性质得出AC＝BD，AO＝CO，求出AC，再求出BD即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，
∵AO＝3，
∴CO＝3，
∴AC＝3+3＝6，
∴BD＝AC＝6，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线互相平分且相等是解此题的关键．
3．周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖（如图）吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【点拨】利用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据．
【解析】解：由②测量地板砖的两条对角线是否相等，
即AC＝BD，
则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形ABCD是矩形；
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．
4．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
【点拨】由矩形的判定方法可求解．
【解析】解：∵三个角是直角的四边形是矩形，
∴选项A正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
5．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（　　）
A．36° B．27° C．18° D．9°
【点拨】利用矩形的性质结合∠ADE：∠EDC＝3：2，求解∠ADE＝90°×＝54°，再求解∠BDA＝∠OAD＝36°，再利用角的和差即可得到答案．
【解析】解：∵矩形ABCD中，
∴∠ADC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠ADE：∠EDC＝3：2，
∴∠ADE＝90°×＝54°，
∵DE⊥AC于E，
∴∠DAE＝90°﹣54°＝36°，
∵OA＝OD，
∴∠BDA＝∠OAD＝36°，
∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADO＝54°﹣36°＝18°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键．
6．如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是矩形，该条件是（　　）
A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA
【点拨】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故A错误；符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，OD＝2BD，
∵∠OAD＝∠ODA，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD
【点拨】根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得AB∥CD，则∠B+∠C＝180°，再根据∠B＝∠C得∠B＝∠C＝90°，然后根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解析】解：A、已知四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
B、已知四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时 ABCD为矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
C、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，
∴可以判定 ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
D、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，
∴不能判定 ABCD为矩形，
故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD，BC于E，F两点，若AC＝6，∠AEO＝120°，则OE的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【点拨】由矩形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解析】解：∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，
∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
又∵Rt△BOF中，OD＝OB＝＝3，
∴，
∴OE＝（负值舍），
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，需要熟练掌握并灵活运用．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】过点P作PM∥EF交AD于点M，易知EF是△APM的中位线，可得PM＝2EF，当PM取得最小值时，EF最小，根据垂线段最短求出最小值即可．
【解析】解：过点P作PM∥EF交AD于点M，
由条件可知EF是△APM的中位线，
∴AM＝2AE＝6，PM＝2EF，
当PM取得最小值时，EF最小，
当PM⊥AD时，PM最小，此时PM＝AB＝6，
∴EF最小＝PM最小＝＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是关键．
10．如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点E，交AD于点F，若BE＝3，AF＝5，则矩形的周长为（　　）
A．8 B．20 C．24 D．30
【点拨】根据作图过程可得，MN是AC的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明△AFO≌△CEO，可得AF＝CE＝AE＝5，再根据勾股定理可得AB的长，进而可得矩形的周长．
【解析】解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ECA，
根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，
∴∠FOA＝∠EOC＝90°，AO＝CO，
在△AFO和△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（ASA），
∴AF＝CE，
∵AE＝CE，
∴AE＝CE＝AF＝5，
∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
AB＝＝4，
∴矩形的周长为2（AB+BC）＝2（4+8）＝24．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
11．如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，连接CE、DE，过点D作DF⊥CE，垂足为F．若CE＝CD，DF＝3，BE＝4，则DE＝　　 ．
【点拨】根据矩形的性质得出AB∥CD，∠B＝90°，进而利用AAS证明△CFD≌△EBC，根据全等三角形的性质求出CF＝BE＝4，DF＝BC＝3＝AD，再根据勾股定理求解即可．
【解析】证明：在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F，
∴AB∥CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝90°，∠DFC＝90°，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠DFC＝∠B，∠DCF＝∠CEB，
在△CFD与△EBC中，
，
∴△CFD≌△EBC（AAS），
∴CF＝BE＝4，DF＝BC＝3＝AD，
∴CD＝＝＝5＝AB，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣4＝1，
∴DE＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
12．如图所示，将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D、C的对应点分别为D'、C'，线段D'C'交线段BC于点G，若∠DEF＝55°，则∠FGC'的度数是 　20°　 ．
【点拨】根据折叠的性质和矩形的性质、以及平行线的性质，可以求得∠EFC′、∠C′，∠GFC′的度数，然后根据三角形内角和，即可求得∠FGC′的度数．
【解析】解：由题意可得，
∠EFC＝∠EFC′，∠C＝∠C′＝90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG，∠DEF+∠EFC＝180°，
∵∠DEF＝55°，
∴∠EFG＝55°，∠EFC＝125°，
∴∠EFC′＝125°，
∴∠GFC′＝∠EFC′﹣∠EFG＝125°﹣55°＝70°，
∴∠FGC′＝180°﹣∠C′﹣∠GFC′＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，分别以点D，O为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE．若AE⊥OD，AD＝2，则AB＝ 　2　 ．
【点拨】由作图过程可得AE是DO的垂直平分线，得AD＝AO＝OB＝OD＝2，进而可以解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝OB＝OD，∠BAD＝90°，
由作图过程和AE⊥OD可知：AE是DO的垂直平分线，
∴AD＝AO，
∴AD＝AO＝OB＝OD＝2，
∴AB＝AD＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质、作图﹣基本作图、垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
14．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：BE＝AF．
【点拨】由矩形性质及DF⊥AE，导角可得∠ADF＝∠BAE．从而可证明△ADF≌△EAB（AAS），进而可证明结论．
【解析】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°＝∠DAF+∠BAE，∠B＝90°．
又∵DF⊥AE，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE．
在△ADF和△EAB中，
，
∴△ADF≌△EAB（AAS），
∴BE＝AF．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．
15．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE、BA交于点F，连接AC、BD、DF．
（1）求证：BD＝DF；
（2）当CF平分∠BCD，且BC＝6时，求CD的长．
【点拨】（1）证明△FAE≌△CDE得出CD＝FA，可证四边形ACDF是平行四边形，可得AC＝DF，即可得出结论；
（2）证出△CDE是等腰直角三角形，得出CD＝DE，得出AD＝BC＝2CD，即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD，
∴∠FAE＝∠CDE．
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE．
在△FAE和△CDE中，
，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴CD＝FA．
∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AC＝DF，
∴BD＝DF；
（2）解：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°．
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE．
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE＝2CD，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
16．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）当△ADE满足什么条件时，四边形ABEC是矩形，请说明理由．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，求出AB∥CE，AB＝CE，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，求出AE＝BC，根据矩形的判定得出即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE＝CD，
∴AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）解：当AE＝AD，四边形ABEC是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC，
由（1）知：四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
17．已知：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当AB与BD满足条件 　BD＝2AB　 时，四边形GEHF是矩形．
【点拨】（1）由三角形中位线定理得GF∥OA，GF＝OA，同理EH∥OC，EH＝OC，再由平行四边形的性质得OA＝OC，则EH∥GF，EH＝GF，即可得出结论；
（2）连接GH，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，再证四边形ABHG是平行四边形，得AB＝GH，然后证GH＝EF，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵G，F分别为AD，DO的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理可得：EH∥OC，EH＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴EH∥GF，EH＝GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形．
理由：如图，连接GH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB＝GH，
∵E，F分别是BO，DO的中点，
∴BE＝OE＝OF＝DF，
∴BD＝2EF，
∵BD＝2AB，
∴EF＝AB，
∴GH＝EF，
∴平行四边形GEHF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为（　　）
A． B．5 C．2.4 D．2.5
【点拨】作CH⊥AB于点H，连接CD，上∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，求得AB＝5，由S△ABC＝×5CH＝×3×4，求得CH＝2.4，由DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，证明四边形ECFD是矩形，则CD＝EF，由CD≥CH，得EF≥2.4，则线段EF的最小值为2.4，于是得到问题的答案．
【解析】解：作CH⊥AB于点H，连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝×5CH＝×3×4，
∴CH＝2.4，
∵DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，
∴∠DEC＝∠DFC＝∠ECF＝90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴CD＝EF，
∵CD≥CH，
∴EF≥2.4，
∴线段EF的最小值为2.4，
故选：C．
【点睛】此题重点考查勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　∠BED＝90°（答案不唯一）　 ．（填一个条件即可）
【点拨】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，进而证明OE＝OF，再证明四边形BEDF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解析】解：这个条件可以是∠BED＝90°，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵∠BED＝90°，
∴平行四边形BEDF是矩形，
故答案为：∠BED＝90°（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列三组条件：
①AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD；
②∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC；
③∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD；
其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 　②③　 ．（填写所有正确条件的序号）
【点拨】矩形的判定：需满足“三个角是直角”或“平行四边形+一个直角”或“平行四边形+对角线相等”等条件．
①需判断是否为平行四边形或等腰梯形，排除非矩形情况．
②通过构造反例验证是否可能形成非矩形的直角四边形
③利用对角线相等和直角条件，推导其他角是否为直角．
【解析】解：①条件：AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD．推理：AB∥CD且AD＝BC，可能为等腰梯形．等腰梯形满足AC＝BD，但等腰梯形不一定是矩形．结论：无法确定为矩形．
②条件：∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC．推理：∵，∴△ABD≌△CDB（HL），∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为矩形．结论：确定为矩形．
③条件：∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD．
推理：设A（0，0），D（0，a），B（b，0），C（c，d），
由∠BCD＝90°，得（c﹣b）c+（d﹣a）d＝0．
由AC＝BD，得，联立方程可得b＝0，a＝d，即B（0，0），C（a，a），此时四边形为矩形．结论：必为矩形．
故选：②③．
【点睛】本题主要考查矩形的判定条件，解题的关键是结合四边形的性质进行推理．
21．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【点拨】（1）由角平分线的定义得∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠GCF，再由平行线的性质得∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，则∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF，然后证明EO＝CO，FO＝CO，即可得出结论；
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明AC＝EF，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解析】（1）证明：如图，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠GCF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，
∴∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
当O为AC的中点时，AO＝CO，
由（1）可知，EO＝FO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OA+OC＝OE+OF，
即AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．
22．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
【点拨】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到∠ABC＝90°，即可得证；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后根据OD＝OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数．
【解析】（1）证明：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝20，
∵AB＝12，BC＝16，
∴AB2+BC＝122+162＝202＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC，
∴，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
23．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（　　）
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形 B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形
C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形 D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5
【点拨】由∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H可得∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG即可得HE＝EC＝EG，再根据A，B，C，D的条件，进行判断．
【解析】解：∵∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H，
∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG；
∵DE∥AC．
∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG．
∴EC＝EG；
同理：HE＝EC，
∴HE＝EC＝EG＝HG；
若CH∥BG，
∴∠HCG＝∠BGC＝90°，
∴∠EGB＝∠EBG，
∴BE＝EG，
∴BE＝EG＝HE＝EC，
∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，
∴CHBG是矩形；
故A正确；
若BE＝CE，
∴BE＝CE＝HE＝EG，
∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，
∴CHBG是矩形，
故B正确；
若HE＝EC，则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形，
故C错误；
若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5，
∴CE＝2.5，
故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，关键是灵活这些判定解决问题．
24．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S ABCD，正确的有（　　）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．①②④
【点拨】①证明四边形DEBF是平行四边形即可；②根据AG∥BD且AG＝DB可证四边形ADBG是平行四边形，结合AD⊥BD可证四边形ADBG是矩形；③连接DG，若FG＝AB，可证FG＝CD，显然不一定成立；④先证明S△BFC＝S△BFD，然后结合平行四边形的性质即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF∥BE，故①正确；
∵AG∥DB且AG＝DB，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AD⊥BD，
∴四边形ADBG是矩形，故②正确；
连接DG，
∵四边形ADBG是矩形，
∴DG过点E，AB＝GD．
若FG＝AB，则FG＝GD，显然FG与GD不相等，故③不正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵F为边CD的中点，
∴S△BFC＝S△BFD，
∴，
∴4S△BFC＝S ABCD，故④正确．
综上可知，正确的有①②④，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解答本题的关键．
25．如图，在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发．在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 　或4或或12　 ．
【点拨】根据运动表示出DP、CQ，结合矩形的判定得到当DP＝CQ时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案．
【解析】解：∵四边形是ABCD矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC，
∵AD＝12cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，
∴DP＝12﹣t，CQ＝4t或CQ＝24﹣4t或4t﹣24，
∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，
∴DP＝CQ，
∴12﹣t＝4t或12﹣t＝24﹣4t或12﹣t＝4t﹣24，
解得：或4或，
故答案为：或4或或12．
【点睛】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．
26．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：　AC⊥BD（答案不唯一）．　 ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；
（2）若AC⊥BD，OE＝10，AC＝16，求 ABCD的面积．
【点拨】（1）添加：AC⊥BD（答案不唯一）．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）利用矩形的性质求出AB，再利用勾股定理求出OB，可得结论．
【解析】解：（1）添加：AC⊥BD（答案不唯一）．
理由：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵AC⊥DB，
∴∠AOB＝90°，
∴四边形AOBE是矩形；
故答案为：
（2）由（1）可知，四边形AOBE是矩形，
∴AB＝OE＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝8，
∵AC⊥BD，
∴OD＝OB＝＝＝6，
∴BD＝12，
∴四边形ABCD的面积＝ AC BD＝×16×12＝96．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，点使CF＝BE，连接AF、DE、DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，BF＝10，DE＝8，求AE的长．
【点拨】（1）根据平行四边形性质得AD∥BC，AD＝BC，再根据CF＝BE得EF＝BC＝AD，由此可判定四边形AEFD为平行四边形，然后再根据AE⊥BC可得出结论；
（2）根据矩形性质得AF＝DE＝8，再根据勾股定理的逆定理证明∠BAF＝90°，然后根据三角形的面积公式即可求出AE的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF+CE＝BE+CE，
即EF＝BC，
∴AD＝EF，
又∵AD∥BC，
即AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，
∴AF＝DE＝8，
在△ABF中，AB＝6，AF＝8，BF＝10，
∵AB2+AF2＝100，BF2＝100，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△ABF为直角三角形，
即∠BAF＝90°，
由三角形的面积公式得：S△ABF＝BF AE＝AB AF，
∴AE＝＝＝4.8．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的性质是解决问题的关键．
基础过关
能力提升
培优拔尖
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